2021北京豐臺高二（上）期中數(shù)學(xué)（B）（教師版）

16/162021北京豐臺高二（上）期中數(shù)學(xué)（B）一、選擇題：共10小題，每小題4分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．（4分）直線的傾斜角是A． B． C． D．2．（4分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程為A． B． C． D．3．（4分）已知向量，1，，，，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C．1 D．24．（4分）同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，則“兩枚硬幣均為正面向上”的概率是A． B． C． D．5．（4分）如圖，若直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．6．（4分）如圖，在長方體中，化簡A． B． C． D．7．（4分）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“只有一次中靶”互斥而不對立的是A．至少一次中靶 B．至多一次中靶 C．至多兩次中靶 D．兩次都中靶

8．（4分）如圖，已知正方體的棱長為1，設(shè)，，，則)A．1 B． C． D．29．（4分）已知向量，0，，，2，，，4，，若向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C．1 D．310．（4分）已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的合格率為0.9，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計4件產(chǎn)品中至少有3件為合格品的概率：先由計算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表4件產(chǎn)品．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983據(jù)此估計，4件產(chǎn)品中至少有3件是合格品的概率為A． B． C． D．二、填空題：每小題5分，共25分.11．（5分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸垂直，則直線的方程為．12．（5分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，3，在平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)為．13．（5分）已知事件與互斥，且（A），（B），則，．14．（5分）如圖，已知四面體的所有棱長都等于2，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則．

15．（5分）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源．傳說古代有神龜出于洛水，其甲殼上刻有圖案，如左下圖．結(jié)構(gòu)為戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)，其各行各列及對角線點(diǎn)數(shù)之和皆為15，洛書九宮格對照表如右下圖，若從五個陽數(shù)中隨機(jī)抽取三個數(shù)．（1）試驗(yàn)的樣本空間包含個樣本點(diǎn)；（2）使得這三個數(shù)之和等于15的概率是．492357816三、解答題：共6小題，共85分.16．（13分）已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（Ⅰ）求邊所在直線的方程；（Ⅱ）求邊的垂直平分線所在直線的方程．17．（14分）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標(biāo)號為1和，2個綠色球（標(biāo)號為3和，從袋子中依次不放回地摸出2個球．（Ⅰ）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（Ⅱ）求摸出的2個球顏色相同的概率．18．（14分）已知向量，2，，，1，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）若，求的值．

19．（14分）某單位響應(yīng)“創(chuàng)建國家森林城市”的號召，栽種了甲、乙兩種大樹各兩棵．設(shè)甲、乙兩種大樹的成活率分別為和，兩種大樹成活與否互不影響．（Ⅰ）求甲種大樹成活兩棵的概率；（Ⅱ）求甲種大樹成活一棵的概率；（Ⅲ）求甲、乙兩種大樹一共成活三棵的概率．20．（15分）在直三棱柱中，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成的角；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．21．（15分）如圖，在四棱錐中，底面，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面的夾角；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

2021北京豐臺高二（上）期中數(shù)學(xué)（B）參考答案一、選擇題：共10小題，每小題4分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，由直線的方程可得直線的斜率，進(jìn)而可得，據(jù)此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線，設(shè)其傾斜角為，其斜率，則有，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線的傾斜角與斜率，涉及直線的斜截式方程，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，把點(diǎn)代入方程解得，即可得出．【解答】解：設(shè)與直線平行的直線的方程為，把點(diǎn)代入可得：，解得，直線的方程為，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了直線方程、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由向量共線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：向量，1，，，，，若與共線，則，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】等可能事件的概率，需求出基本事件的個數(shù)和該事件發(fā)生的次數(shù)，再相除即可得到結(jié)果．【解答】解：由題知，本題是一個等可能事件的概率．同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，共有正正，正反，反反，反正四種情況，而兩枚硬幣均為正面朝上有一種，所以兩枚硬幣均為正面朝上的概率為．故選：．【點(diǎn)評】該題考查古典概型及其概率計算，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】直接由直線的傾斜角與斜率的關(guān)系得答案．【解答】解：由圖可知，直線，的斜率大于0，直線的斜率小于0，且的傾斜角大于的傾斜角，結(jié)合正切函數(shù)在上為增函數(shù)，可得，故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．6．【分析】由空間向量的線性運(yùn)算即可求解．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】利用互斥事件、對立事件的定義直接求解．【解答】解：某人打靶時連續(xù)射擊兩次，對于，至少一次中靶與事件“只有一次中靶”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤；對于，至多一次中靶與事件“只有一次中靶”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤；對于，至多兩次中靶與事件“只有一次中靶”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤；對于，兩次都中靶與事件“只有一次中靶”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立事件，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查互斥而不對立的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特性，用向量數(shù)量積定義計算判斷．【解答】解：連接、，因?yàn)槭抢忾L為1的正方體，所以，所以，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了正方體結(jié)構(gòu)特性，考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】利用空間向量共面的充要條件：存在唯一的實(shí)數(shù)對，使，列出方程組，即可求出的值．【解答】解：向量，0，，，2，，，4，，若向量，，共面，存在唯一的實(shí)數(shù)對，使，即，4，，0，，2，，，，，解得，，實(shí)數(shù)的值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量共面的基本定理的應(yīng)用問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，利用列舉法求出4件產(chǎn)品中至少有3件合格品包含的基本事件有19個，據(jù)此能估計4件產(chǎn)品中至少有3件合格品的概率．【解答】解：經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，49834件產(chǎn)品中至少有3件合格品包含的基本事件有19個，分別為：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，5336，2937，9507，4983據(jù)此估計，4件產(chǎn)品中至少有3件合格品的概率為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查列舉法、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：每小題5分，共25分.11．【分析】滿足條件的直線斜率不存在，進(jìn)而得出方程．【解答】解：直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸垂直，則直線的方程為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了直線斜率不存在時的直線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】一個點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)與該點(diǎn)坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)均相等，豎坐標(biāo)變?yōu)?，由已知中點(diǎn)，3，的坐標(biāo)，易得到答案．【解答】解：，3，在平面內(nèi)射影為則與的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相同，豎坐標(biāo)為0故的坐標(biāo)為，3，故答案為：，3，【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)，其中解答的關(guān)鍵是一個點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)與該點(diǎn)坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)均相等，豎坐標(biāo)變?yōu)?．13．【分析】利用對立事件概率計算公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【解答】解：事件與互斥，且（A），（B），（A），（A）（B）．故答案為：0.6，0.9．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式和互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．【分析】由向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算求解即可．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗拿骟w的所有棱長都等于2，所以．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】（1）五個陽數(shù)為1，3，5，7，9，從五個陽數(shù)中隨機(jī)抽取三個數(shù)，利用列舉法能求出基本事件的個數(shù)．（2）從五個陽數(shù)中隨機(jī)抽取三個數(shù)，使得這三個數(shù)之和等于15包含的基本事件有2個，從五個陽數(shù)中隨機(jī)抽取三個數(shù)，使得這三個數(shù)之和等于15包含的概率．【解答】解：（1）五個陽數(shù)為1，3，5，7，9，從五個陽數(shù)中隨機(jī)抽取三個數(shù)，基本事件有：，3，，，3，，，3，，，5，，，5，，，7，，，5，，，5，，，7，，，7，，共10個，故答案為：10．（2）從五個陽數(shù)中隨機(jī)抽取三個數(shù)，使得這三個數(shù)之和等于15包含的基本事件有：，5，，，5，，共2個，從五個陽數(shù)中隨機(jī)抽取三個數(shù)，使得這三個數(shù)之和等于15包含的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共6小題，共85分.16．【分析】（Ⅰ）利用斜率計算公式可得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得出．（Ⅱ）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得的垂直平分線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直線的斜率為，所以直線的方程為，即線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的垂直平分線的斜率為，的垂直平分線的方程為，即．【點(diǎn)評】本題考查了斜率計算公式、點(diǎn)斜式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）利用列舉法能求出試驗(yàn)的樣本空間．（Ⅱ）設(shè)事件“摸出的兩個球的顏色相同”，利用列舉舉求出（A），，由此能求出摸出的2個球顏色相同的概率．【解答】解：（Ⅰ）試驗(yàn)的樣本空間為：，，，，，，，，，，，．（Ⅱ）設(shè)事件“摸出的兩個球的顏色相同”，所以，，，，（A），，所以．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得解；（Ⅱ）由，展開，結(jié)合（1）中結(jié)論，得解；（Ⅲ）由，展開運(yùn)算，即可．【解答】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）因?yàn)椋?，，，1，，所以，，所以；（Ⅲ）因?yàn)?，所以，解得．【點(diǎn)評】本題考查空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，遇到模長問題，一般采用平方處理，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（Ⅰ）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出事件“甲種大樹成活兩棵”的概率．（Ⅱ）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出設(shè)事件“甲種大樹成活一棵”的概率．（Ⅲ）設(shè)事件“乙種大樹成活一棵”，事件“乙種大樹成活兩棵”，事件“甲、乙兩種大樹一共成活三棵”，利用（E）（A）（C）（B）（D），由此能求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件“甲種大樹成活兩棵”，則．（Ⅱ）設(shè)事件“甲種大樹成活一棵”，則．（Ⅲ）設(shè)事件“乙種大樹成活一棵”，則，設(shè)事件“乙種大樹成活兩棵”，則，設(shè)事件“甲、乙兩種大樹一共成活三棵”，則（E）（A）（C）（B）（D）．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．20．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量求解比較容易，求出向量的坐標(biāo)表示，證明垂直即可，求出直線的向量與平面的法向量，求夾角即可，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可．【解答】解：以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，，2，，（Ⅰ），，，，；（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，，由，令，則，，平面的一個法向量為，由，設(shè)直線與平面所成角為，，直線與平面所成角為，（Ⅲ）點(diǎn)到平面的距離．【點(diǎn)評】本題考查線線垂直，線面角，及點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求解比較容易，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面的一個法向量及，由向量公式可得法向量與垂直，進(jìn)而得證；（Ⅱ）平面的一個法向量為，再利用向量的夾角公式