高二物理競賽金屬自由電子論課件

物理現(xiàn)象或?qū)嶒?yàn)結(jié)果物理模型決定因素修改結(jié)果與預(yù)言驗(yàn)證理論解釋第五章金屬自由電子論第一階段、自由電子學(xué)說－德魯特和洛倫茲第二階段、量子自由電子學(xué)說－F-S電子理論第三階段、能帶理論－單電子近似求解電子能譜的理論金屬電子認(rèn)識歷史M-B分布F-D分布1.自由電子學(xué)說：（德魯特和洛倫茲）金屬原子通過鍵合組成晶體時(shí)，價(jià)電子脫離相應(yīng)原子的束縛，在金屬中自由運(yùn)動(dòng)，如理想氣體，服從M-B統(tǒng)計(jì)規(guī)律。成功之處：金屬導(dǎo)電率和熱導(dǎo)率κ關(guān)系：Wiedemann-Franz定律：

κ/=LT，L：洛倫茲數(shù)（T>>θD）缺點(diǎn)：1、霍爾系數(shù)“反?！爆F(xiàn)象，2、電子平均自由程λexp>>λth，3.Xe~1/T，其實(shí)無關(guān)，

4、電子比熱:Cexp=Cth/100，5、材料的巨大差別。此理論有可取之處，是因?yàn)樽プ×私饘僦须娮印白杂伞边@一主要矛盾。存在的問題預(yù)示著金屬中實(shí)際運(yùn)動(dòng)的電子比M-B預(yù)言的少得多。討論固體中電子的運(yùn)動(dòng)，從金屬開始，推廣到半導(dǎo)體和絕緣體。2.量子自由電子學(xué)說(F-S理論)：價(jià)電子也是自由的但服從Fermi-Dirac量子統(tǒng)計(jì)，通過薛定諤方程求解自由電子的運(yùn)動(dòng)波函數(shù)，計(jì)算其能量。3.能帶理論：

在量子自由電子學(xué)說基礎(chǔ)上考慮了晶體原子的周期勢場對電子運(yùn)動(dòng)的影響?！?.1Sommerfeld的自由電子論

電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定的散射機(jī)制。一、自由電子模型

電子在一有限深度的方勢阱中運(yùn)

動(dòng)，電子間的相互作用忽略不計(jì)；

電子按能量的分布遵從Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)；

電子的填充滿足Pauli不相容原理；邊界或端點(diǎn)二、運(yùn)動(dòng)方程及其解V0：電子在勢阱底部所具有的勢能，取V0

＝0。令有1.運(yùn)動(dòng)方程方程的解：A：歸一化因子，由歸一化條件確定電子的能量：V:金屬的體積

：電子波矢金屬中原胞的總數(shù)：N＝N1N2N32.周期性邊界條件h為整數(shù)設(shè)N是金屬沿基矢

（＝1，2，3）方向的原胞數(shù)，周期性邊界條件：

，＝1,2,3k

空間中的狀態(tài)分布

狀態(tài)ψ=ψ(kx，ky

，kz)令：h為整數(shù)，＝1,2,3在k空間中，電子態(tài)的分布是均勻的，分布密度只與金屬的體積有關(guān).在

空間中，波矢

的分布密度為k

空間中的狀態(tài)分布

狀態(tài)b2/N2相格

一個(gè)角點(diǎn)(kx,ky,kz)代表一個(gè)量子態(tài)。每個(gè)相格有八個(gè)角點(diǎn)，每個(gè)角點(diǎn)都與其它七個(gè)相格共有。所以動(dòng)量空間中的相格數(shù)就決定了量子態(tài)的數(shù)目。每一個(gè)量子態(tài)在

空間中所占的體積為：3.能態(tài)密度考慮電子自旋，如將每一個(gè)自旋態(tài)看作一個(gè)能態(tài)，在能量為E的球體中，電子能態(tài)總數(shù)為在能量為E的球體中，波矢

的取值總數(shù)為定義：能態(tài)密度其中：

電子的能態(tài)密度并不是均勻分布的，電子能量越高，能態(tài)密度就越大。能態(tài)密度：在E－E＋dE之間單位能量間隔中的能態(tài)數(shù)三、Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)(金屬中自由電子的分布)1.量子統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識

經(jīng)典的Boltzmann統(tǒng)計(jì)：

量子統(tǒng)計(jì)：Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)和Bose－Einstein統(tǒng)計(jì)玻色子：自旋為整數(shù)n的粒子（如：光子、聲子等），

玻色子遵從Bose－Einstein統(tǒng)計(jì)規(guī)律，

玻色子不遵從Pauli原理。費(fèi)米子：自旋為半整數(shù)（n＋1/2）的粒子（如：電子、質(zhì)

子、中子等），費(fèi)米子遵從Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)規(guī)

律，費(fèi)米子的填充滿足Pauli原理。2.T＝0時(shí)電子的分布T＝0時(shí)，電子的分布函數(shù)為f(E)={1EEF00E>EF0EEF001f(E)T＝0——費(fèi)米半徑——費(fèi)米動(dòng)量——費(fèi)米能——費(fèi)米速度系統(tǒng)的自由電子總數(shù)為T＝0在E－E＋dE中的電子數(shù)為：——自由電子密度金屬：n：1022~1023cm－3EF0~幾個(gè)eV系統(tǒng)的總能量：T＝0定義Fermi溫度：金屬：TF：

104~105K物理意義：設(shè)想將EF0轉(zhuǎn)換成熱振動(dòng)能，相當(dāng)于多高溫度

下的振動(dòng)能。元素EF0

(eV)TF

(104K)元素EF0

(eV)TF

(104K)Li4.725.48Mg7.138.27Na3.233.75Ca4.685.43K2.122.46Sr3.954.58Rb1.852.15Ba3.654.24Cs1.581.83Zn9.3910.90Cu7.008.12Cd7.468.66Ag5.486.36Al11.6313.49Au5.516.39Ga10.3512.01Be14.1416.41In8.609.98一些金屬元素費(fèi)米能與費(fèi)米溫度的計(jì)算值3.T>0時(shí)的分布能量在E－E＋dE之間的電子數(shù)為：——Fermi－Dirac分布函數(shù)：電子的化學(xué)勢物理意義：在體積不變的情況下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所

需的自由能當(dāng)E＝時(shí)，f()＝1/2，代表填充概率為1/2的能態(tài)E，f(E)迅速趨于零當(dāng)E－>幾個(gè)kBT時(shí)，exp{(E－)/kBT}>>1，F(xiàn)ermi－Dirac分布過渡到經(jīng)典的Boltzmann分布E－>幾個(gè)kBT的能態(tài)基本上是沒有電子占據(jù)的空態(tài)

對金屬，T<<TF總是滿足的，將金屬自由電子氣稱為強(qiáng)簡并的費(fèi)米氣體。－

E>幾個(gè)kBT時(shí)，exp{(E－)/kBT}<<1，f(E)1。

這表明，－

E>幾個(gè)kBT的能態(tài)基本上是滿態(tài)。在強(qiáng)簡并情況下，EF（EF是T>0時(shí)的費(fèi)米能）量子力學(xué)中能量的簡并性：能量簡并性；金屬自由電子氣的簡并性：統(tǒng)計(jì)的簡并性，即指金屬自由電子氣與理想氣體遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的差異性。

對于半導(dǎo)體，n~1017cm-3，其TF~102K,

當(dāng)T~TF時(shí)，其分布已經(jīng)很接近于經(jīng)典分布了。T>0K時(shí)費(fèi)密分布函數(shù)T=300K,kBT=0.025eV,EF~5eV，帶入由F-D分布函數(shù)可知，只有E在EF附近kT范圍內(nèi)的電子吸收能量才能從EF以下能級跳到EF以上能級。成功解釋了金屬電子熱容C遠(yuǎn)小于德魯特理論值的實(shí)驗(yàn)事實(shí)。T越高，簡并性越差。狀態(tài)不變，無現(xiàn)象。

對于金屬而言，T<<TF總是成立的。雖然金屬中有大量的自由電子，但是，決定金屬許多性質(zhì)的并不是其全部的自由電子，而只是在費(fèi)米面附近的那一小部分。四、結(jié)果與討論（粗略的數(shù)量級估算）1.電子熱容量

對于金屬，當(dāng)T>0時(shí)，只有在費(fèi)米面附近幾個(gè)kBT的電子受熱激發(fā)，對電子熱容量的貢獻(xiàn)主要來自費(fèi)米面附近厚度~kBT的一層電子。