2022年新疆烏魯木齊高考文科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年新疆烏魯木齊高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（每題5分，共計60分）

1.(5分)已知集合4={川-10<x<5},B={x\-6<x<S],則AAB=()

A.{x\-6<x<5}B.{x|-10<x<8}C.{x\-10<x<-6)D.{x|5<x<8}

2.(5分)已知i為虛數(shù)單位，則在於+戶+―+泮21=()

A.iB.-iC.1D.-1

3.(5分)已知平面向量a=(1,2),b=(2.y),且。〃/7,則2+2b=()

A.(5,-6)B.(3,6)C.(5,4)D.(5,10)

4.（5分）《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡璇，周四丈八尺，高一丈一尺.問

積幾何？答日：二千一百一十二尺.術(shù)日：周自相乘，以高乘之，十二而一”.這里所說

的圓堡璇就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是說：圓堡璇

（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方X高），則由此可推得圓周率7T的取

值為（）

A.3B.3.1C.3.14D.3.2

、1

5.（5分）已知tana=4,tanp=一取則tan2a-tan2p=（）

16168

A--15B.0C,-D.一正

6.（5分）設(shè)a>0,b>0.若我是3"與3〃的等比中項，則三+：的最小值為（）

ab

A.4V3B.4+V3C.4+2%D.8

7.（5分）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是。1℃,空氣的溫度是。0℃,tmin

后物體的溫度可由公式。=+（%-Oo）e-024t求得.把溫度是100℃的物體，放在

KTC的空氣中冷卻切血后，物體的溫度是40℃,那么r的值約等于（）（參考數(shù)據(jù)：

比3取1.099,/〃2取0.693）

A.6.61B.4.58C.2.89D.1.69

8.（5分）已知正四棱錐的底面邊長為2,高為2,若存在點。到該正四棱錐的四個側(cè)面和

底面的距離都等于力則1=（）

V5-1V3-1V6—V2

A.-----B.C.D.------

2222

9.（5分）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)），=柩的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是（）

第1頁共17頁

A.y=ln(1-x)B.丁=加(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

10.（5分）雙曲線C：:T=l（a>0,b>0）的焦距為4,圓/+尸=4與雙曲線C及C

的一條漸近線在第一象限的交點分別為A,B,若點B的縱坐標(biāo)是點A縱坐標(biāo)的2倍，則

C的方程為（）

X222y2

A.——y=1B.%2—4-=1

3,3

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

2262

11.（5分）已知函數(shù)/Xx）=|4cos2（久一/）-3|,下列結(jié)論正確的是（）

A./（x）的值域為［1,3J

B.曲線y=/'（x）關(guān)于直線x=—與+上兀，k6Z對稱

C.f（x）在C，招）上單調(diào)遞增

D.方程f（x）=/在［-7T,71］上有4個不同的實根

12.（5分）己知正方形ABC。的邊長為2,動點P滿足|而|41,且而=%而+y則

2x+y的最大值為（）

V5V575

A.——2B.—+2C.-D.一

2222

二、填空題（每小題5分，共20分）

rx-y4-3>0

13.（5分）若心y滿足約束條件卜+丫-7W0,則z=2x-y的最小值為______.

（y+1>0

14.（5分）等比數(shù)列4〃中，41+3246=0,434445=1,則數(shù)列前6項和為.

15.（5分）若不等式2+;2」二對任意的。>0方>0恒成立，則加的最大值是.

16.（5分）已知函數(shù)/（x）=%+3&/nx+&（1-x）,若x=3是函數(shù)/（x）唯一的極值點，

則實數(shù)k的取值范圍為.

三、解答題（本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（12分）隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變，微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知

經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi)，每售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元，未售

出的商品，每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量

的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品.現(xiàn)以x

第2頁共17頁

（單位：噸，100Wx<150）表示下一個銷售季度的市場需求量，T（單位：萬元）表示

該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.

（1）將T表示為x的函數(shù)，求出該函數(shù)表達(dá)式；

（2）根據(jù)直方圖估計利潤7不少于57萬元的概率；

（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量x的平均數(shù)與中位數(shù)的大小

（1）求數(shù)列｛板｝的通項公式；

111

（2）設(shè)加=10g2a2+10g243+…+10g2Q〃+l,數(shù)歹羽L｝的前〃項和證明：Sn<-Q-.

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCO為正方形，△%￡>是正三角形，側(cè)

面B4￡>_L底面ABC。，M是尸。的中點.

（I）求證：AM_L平面PCD-.

（II）求三棱錐A-MOC與四棱錐P-ABCD的體積比.

20.（12分）已知函數(shù)f（x）—X-siar,xG（0,+°°）.

TCTC

（1）求曲線y=/（x）在點I],/（-））處的切線方程；

（2）證明：（x）+cosx-ev>l.

21.（12分）過點A（0,1）作圓％2+y2=*的切線，兩切線分別與x軸交于點F|（XI,0）,

Fl（X2,0）（XI<X2）.以尸1,尸2為焦點的橢圓C經(jīng)過點4

（1）求橢圓C的方程；

第3頁共17頁

(2)直線AF2與橢圓C的另一個交點為B,求直線8人被橢圓C截得的線段長.

選做題

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為Q為參數(shù))，直線

(一石

C2的參數(shù)方程為4-5(機為參數(shù)).以。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐

2百

ly=-m

標(biāo)系.

(1)求曲線。的極坐標(biāo)方程和直線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C1與直線C2交于A,B兩點，點P的坐標(biāo)為(3,0),求解|儼8|的值.

—X2+2x,x>0

0,x=0是奇函數(shù).

{x2+mx，xVO

(1)求實數(shù)，〃的值；

(2)解不等式/(x)>|x-2|.

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2022年新疆烏魯木齊高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(每題5分，共計60分)

1.(5分)已知集合4=國-10VxV5},B={x|-6<x<8},則AAB=()

A.{x|-6<x<5}B.[x\-10<x<8)C.{x\-10<x<-6}D.{x|5<x<8}

【解答】解：?.?集合A="|-10VxV5},B={x|-6<x<8},

：.AQB={x\-6<x<5].

故選：A.

2.(5分)已知i為虛數(shù)單位，則計於+戶+“+泮21=()

A.zB.-iC.1D,-1

【解答】解：―2+戶+一.+產(chǎn)21==筆^=i,

故選：A.

3.(5分)已知平面向量"=(1,2),b=(2,y),且則2+2晝=()

A.(5,-6)B.(3,6)C.(5,4)D.(5,10)

【解答】解：..WIIb,

2X2=0,

解得y=4,

：.a+2b=(1,2)+2(2,4)=(5,10).

故選：D.

4.(5分)《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡璇，周四丈八尺，高一丈一尺.問

積幾何？答日：二千一百一十二尺.術(shù)日：周自相乘，以高乘之，十二而一”.這里所說

的圓堡璇就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是說：圓堡璇

(圓柱體)的體積為U=(底面圓的周長的平方X高)，則由此可推得圓周率7T的取

值為()

A.3B.3.1C.3.14D.3.2

【解答】解：?.?圓堡璇(圓柱體)的體積為V=^x(底面圓的周長的平方X高)，

x(27ir)2xh=71，X〃，

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解得n=3.

故選：A.

5.（5分）已知tana=4,tan。=—則lan2a-tan2p=（）

16168

A.一言B.0C.—D.

1515"15

【解答】解：因為tana=4,tan^=一上,

2tQ7lQ_2x48q2tan/?2x（一/）8

所以tan2a=tan2p=工研=咐7=

1—tan2a1—42,一田一田

所以tan2a-tan20=O.

故選：B.

13

6.（5分）設(shè)。＞0,匕＞0.若遍是3,與3〃的等比中項，則一+二的最小值為（）

ab

A.4V3B.44-V3C.4+273D.8

【解答】解：???遮是3。與3》的等比中項，

：.3a^b=（V3）2,

40,

:.一+/=（a+b）（一+?。?44--+孚＞4+2x-?孚=4+2V3,當(dāng)且僅當(dāng)b=\/3a時取

ababab7ab

等號.

13「

???一+工的最小值r為4+2V3.

ab

故選：C.

7.（5分）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是臼℃,空氣的溫度是。0℃,由加

后物體的溫度可由公式。=拆+（%-Jo"一。?"求得.把溫度是100C的物體，放在

10℃的空氣中冷卻加血后，物體的溫度是40℃,那么，的值約等于（）（參考數(shù)據(jù)：

/〃3取1.099,加2取0.693）

A.6.61B.4.58C.2.89D.1.69

【解答】解：由題意可得40=10+（100-10）”24,化簡可得”24，=上,

1

:.-0.24/=加一=一加3,

3

???0.24，=歷3=1.099,

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，個4.58,

故選：B,

8.(5分)已知正四棱錐的底面邊長為2,高為2,若存在點0到該正四棱錐的四個側(cè)面和

底面的距離都等于％則”=()

V5-1V3-1V3—V2y/6—y/2

A.----B.----C.-----D.-----

2222

【解答】解：設(shè)NOSE=a,

由題意可得，sina=器=廿1

▽.OFd1

又$3=而=口=卮

解得d=與工

9.(5分)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是()

A.y—ln(1-x)B.y—ln(2-x)C.y—ln(1+x)D.y—ln(2+x)

【解答】解：首先根據(jù)函數(shù)的圖象，

貝|」：函數(shù)的圖象與)，=/〃(-%)的圖象關(guān)于y軸對稱.

由于函數(shù)y=/〃x的圖象關(guān)于直線x=1對稱.

則：把函數(shù)y=/〃(-x)的圖象向右平移2個單位即可得到：y=ln(2-x).

即所求得解析式為：y^ln(2-x).

故選：B.

10.(5分)雙曲線C：弓一4=l(a>0,b>0)的焦距為4,圓/+)?=4與雙曲線C及C

ab

的一條漸近線在第一象限的交點分別為A,B,若點8的縱坐標(biāo)是點A縱坐標(biāo)的2倍，則

。的方程為()

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A.——y2=1B./一除=1

3,3

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

2262

【解答】解：由題意，雙曲線C：今T=l(a>0,b>0)的焦距為4,

所以以=4,解得c=2,所以次+廿二%

又雙曲線的一條漸近線方程為y=

__ba2+b2

聯(lián)立方程組，整理可得一h/=%解得)出=6，

x2+y2=4b

國一雙=1

聯(lián)立方程組?Q?bZ，整理可得(/+貶)y2=4/?2-fl2/?2,

x2+y2=4

則4y2=(4-a2)k=段,

,2

所以以=缶，

因為點B的縱坐標(biāo)是點A的縱坐標(biāo)的2倍，

h2

所以/)=2乂2，解得b=l,

所以a=y/c2—b2=V3,

x2

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為三■-/=1.

故選：A.

11.(5分)已知函數(shù)/(%)=|4cos2(無一左)一3|,下列結(jié)論正確的是()

A./(x)的值域為［1,3］

B.曲線y=/(無)關(guān)于直線％=+/CTT,/ceZ對稱

C.f(x)在4，瑞)上單調(diào)遞增

D.方程/(X)=&在［-n,m上有4個不同的實根

【解答】解：/(x)=|4cos2(x--3|=|2sin2x-1|.

：.f(x)的值域為［0,3］,故A錯誤；

令2%=也+今得廣竽+,，蛇Z,.?.曲線y=f(x)關(guān)于直線尸竽+$&GZ對稱,

故B錯誤；

f(x)在［0,川上的大致圖象如圖：

第8頁共17頁

y

由圖可知，/(%)在4,,)上單調(diào)遞減，故C錯誤；

方程/(%)=或在［-TGIT］上有4個不同的實根，故。正確.

故選：D.

12.(5分)已知正方形A8CO的邊長為2,動點戶滿足|尾|41,且/=+則

2x+y的最大值為()

75

2VT5+2C--

A.?-B.2D.2

【解答】解如圖建立平面直角坐標(biāo)系，A(0,0),B(2,0),D(0,2),

設(shè)戶九)，

因為還=%幾+”5),

所以(m,H)=(2x,0)+(0,2y),

即(m,即=(2x,2y),

m=2x,n=2,y,

因為麗=(2—m,-n)

又因為動點尸滿足|病|Ml,

所以J(2一-)2+(一九)2<1,

J(2-2x)2+(_2y)2<1,即(x-1)2+/<

設(shè)z="+y,當(dāng)該直線與圓(x-1)2+)2=%目切時會取得z最大值，

|2xl+0-z|1_V5

/.=一，z=2土，

V22+l22

所以Zmax—2+當(dāng)，

即2x+y的最大值為2+亭，

故選:B.

第9頁共17頁

fy

oAX

二、填空題（每小題5分，共20分）

fx—y+3>0

13.（5分）若x,y滿足約束條件卜+'-740,則z=2x-y的最小值為—-7

（y+1>0

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,

聯(lián)立《二;；3=0,解得4「4,7）,

由z=2_r-y,得y=2x-z,由圖可知，當(dāng)直線y=2x-z過A時，直線在y軸上的截距最

大，

z有最小值為-7.

故答案為：-7.

14.（5分）等比數(shù)列a”中，G+32a6=0,a3a4a5=1,則數(shù)列前6項和為_-

【解答】解：..?等比數(shù)列｛“"｝中，m+32a6=0,

?〃5_a6__1

??夕一正一顯，

即公比4=一%

又a304a5=1,

第10頁共17頁

??44=1i

該數(shù)列的前6項和為

,16

G_。1(1一勺6)_一8(1-(-2))_21

*=1-Q=1-(4)二一不

故答案為：—爭.

m

15.(5分)若不等式3+~>對任意的a>Ob>0恒成立，則m的最大值是9.

ab2、a+bf

【解答】解：b>0,不等式一+工N----^恒成立，

ab2a+b

21

A/n^[(2a+b)(一+-)血血，

ab

V(2a+b)(：+￡)=5+1+等N5+2X楞號=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

???，”的最大值等于9.

故答案為：9.

16.(5分)已知函數(shù)/(x)=^+3klnx+k(1-x),若x=3是函數(shù)/(x)唯一的極值點，

則實數(shù)上的取值范圍為_(一8,|1]_.

【解答】解：由函數(shù)的解析式可得：f(x)=(X-3)(ef-fcx3),

由題意可知x=3是/(x)=0的實數(shù)根，

故然-小20恒成立，即k<.恒成立，

令g(x)=5,則o'。)=竺竽拉，

當(dāng)xe(0,3)時，g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)(3,+°°)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

據(jù)此可知g(x)的最小值為g(3)=||，

結(jié)合恒成立的結(jié)論可知實數(shù)Z的取值范圍是(-8,|1].

三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(12分)隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變，微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知

經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi)，每售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元，未售

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出的商品，每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量

的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品.現(xiàn)以x

（單位：噸，100WxW150）表示下一個銷售季度的市場需求量，T（單位：萬元）表示

該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.

（1）將T表示為x的函數(shù)，求出該函數(shù)表達(dá)式;

（2）根據(jù)直方圖估計利潤7不少于57萬元的概率;

（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量x的平均數(shù)與中位數(shù)的大小

當(dāng)尤［130,150］時,7=0.5X130=65,…(2分)

…f0.8x-39,100<%<130

所以，T=…（3分）

165,130<x<150

（2）根據(jù)頻率分布直方圖及（I）知,

當(dāng)x€［100,130）時,由T=0.8x-39257,得120Wx<130,…（4分）

當(dāng)在［130,150］時,由7=65257,…（5分）

所以，利潤7不少于57萬元當(dāng)且僅當(dāng)120WxW150,

于是由頻率分布直方圖可知市場需求量在［120,150］的頻率為

（0.030+0.025+0.015）X10=0.7,

所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤7不少于57萬元的概率的估計值為0.7；…（7

分）

（3）估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量x的平均數(shù)為

x=105X0.1+115X0.2+125X0.3+135X0.25+145X0.15=126.5（噸）；…（9分）

由頻率分布直方圖易知，由于xenoo,120）時，

對應(yīng)的頻率為(0.01+0.02)X10=0.3<0.5,

第12頁共17頁

而xe[100,130）時，對應(yīng)的頻率為（0.01+0.02+0.03）X10=0.6>0.5,…（10分）

因此一個銷售季度內(nèi)市場需求量x的中位數(shù)應(yīng)屬于區(qū)間[120,130）,

于是估計中位數(shù)應(yīng)為120+（0.5-0.1-0.2）4-0.03?=126.7（噸）.…（12分）

18.(12分)設(shè)數(shù)列｛麗｝滿足41=1,42=4,an+2-an+l=2n+l.

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項公式；

111

(2)設(shè)d=Iog242+log243+-,+log2〃〃+1,數(shù)歹U行~｝的前〃項和Sn,證明：Sn

【解答】解：(1)因為如=[〃入2)+…+(。3-〃2)]+〃2(〃23),

所以麗=[2〃-1+27r2+???+22]+4=2〃(幾23),

當(dāng)〃=2時，。2=4,滿足?！?2〃，當(dāng)〃=1時，m=L不滿足〃"=2”,

所以，數(shù)列3｝的通項公式為0n=｛黑;?；

證明：(2)因為勾=log2a2+log2a3------Hlog2cin+i=2+34------F(n4-1)=/法乏),

“，12211

所以，=-(—7?=g(———7)，

bnn(n+3)3nn+3

-

所以5n=3((1-5)+(2-5)+(3-+(4-7)+-+(?-^)]=311+2+3

i____i____i_,=2rn__1_______1___

n+ln+271+3^-36n+1n+2n+3」,

所以*V得.

19.(12分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為正方形，△以。是正三角形，側(cè)

面B4C_L底面ABCD,用是尸。的中點.

(I)求證：AMJ_平面PCD-.

(II)求三棱錐A-MDC與四棱錐P-A8CC的體積比.

【解答】（I）證明：在正方形A8C。中，CCAD,

又側(cè)面外Z）J_底面ABCD,側(cè)面以。C底面ABCD=AD,C￡）u平面ABCD,

所以CD_L平面PAD,又AMu平面PAD,

所以CDYAM,

第13頁共17頁

因為是正三角形，歷是的中點，則AMLPZ),

又C￡>CP￡>=。，CD,POu平面PCD,

所以AM_L平面PCD；

(II)解：設(shè)AB=mVp-ABCO=gxa?x瞪a=電。3,

?,71121731V3,

VM-ADC—VAMCD=2x2ax2xx~^a<

1

所以三棱錐A-MDC與四棱錐P-ABCD的體積比：--

20.(12分)已知函數(shù)/(冗)=x-sinx,xE(0,+°°).

7171

(1)求曲線y=/(x)在點(刁，/(-))處的切線方程;

(2)證明：(冗)+cosx?/>1.

【解答】解：(1)?"答)=x-sinx,xE(0,+°°),

:?f(x)=1-cosx,

TC_7T77-

(一)=1,又/'(一)=5—1,

2J22

7171

???曲線y=/(x)在點(了/(]))處的切線方程為廠(--1)=x-5,BPx-y-1=

22

0；....................5分

(2)證明：設(shè)g(x)=2/(x)+cosx?F=(2x-2sinx+cosx)

；?g'(x)=[(2-2cosx-sinx)+2x-2siiir+cosx]e'=[2(x-sinx)+2—V2sin(x+彳)]/,

由/(x)=l-cosx20,得/(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增，

Ax>sinx,又2—V^sin(x+?)>0,

：.g'(x)>0,

：.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

：.g(x)>g(0)=1,

即VxW(0,+8),2/(x)+cosx?/>1.........................................12分

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21.(12分)過點A(0,1)作圓/+y24的切線，兩切線分別與x軸交于點尸1(xi,0),

Fl(X2,0)(xi<x2).以正2為焦點的橢圓C經(jīng)過點A.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線AF2與橢圓C的另一個交點為8,求直線被橢圓C截得的線段長.

【解答】解：(1)顯然過4(0,1)點的切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為：y=kx+\,

HPAx-y+1=0,

則圓心。到切線的距離d=-1=,

荷

2

因為圓。的方程/+y=則、/]+々2=專，

解得k=±lf

可得切線的方程為：y=±x+l,

可得Fi(-1,0),尸2(1,0),

由題意橢圓中的c=l,b=l,

所以a1=b2+c2=l+\=2,

x2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：萬+/=1;

x2

(2)由(1)可得直線A放的方程為y=-x+1,代入橢圓號+尸=1；

3，-4x=0,可得x=0或x=*

所以可得B的橫坐標(biāo)為$代入橢圓的方程可得yB=-J1—疆=-1,

4i

即B(一，一5)，

33

1

3

所以直線BF1的方程為:=4

-1-

3-

即x=-7y-1,代入橢圓的方程可得51y?+]4y-1=0,解得尸或產(chǎn)五

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代入直線BF\的方程可得x=1或—符，

即直線BF\與橢圓的另一個交點。（-碧，右

所以直線BF1被橢圓C截得的線段長|BQ|=雪尸+忌+扔=嚕1.

選做題

22.（10分）在直角坐標(biāo)系g中，曲線C1的參數(shù)方程為｛；;算◎（f為參數(shù)），直線