線性空間與線性變換

線性空間與線性變換第一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日前言一、課程介紹研究?jī)?nèi)容：矩陣與線性空間和線性變換以矩陣為工具研究問題在其中發(fā)展矩陣?yán)碚摼仃囋诟鞣N意義下的化簡(jiǎn)與分解矩陣的分析理論各類矩陣的性質(zhì)研究矩陣被認(rèn)為是最有用的數(shù)學(xué)工具，既適用于應(yīng)用問題，又適合現(xiàn)代理論數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)。第二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日二、教學(xué)安排學(xué)時(shí)配置講授第1章至第6章(48學(xué)時(shí))

第1章：10學(xué)時(shí);第2章：8學(xué)時(shí)第3章：8學(xué)時(shí)；第4章：6學(xué)時(shí)；第5章：8學(xué)時(shí)；第6章：6學(xué)時(shí)考核方式：課程結(jié)束考試（第13周）卷面成績(jī)?yōu)樽罱K成績(jī)第三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日三、教學(xué)指導(dǎo)意見背景要求：線性代數(shù)矩陣與計(jì)算工具：MATLAB，MAPLE,…矩陣與現(xiàn)代應(yīng)用：應(yīng)用選講教學(xué)參考書：余鄂西，矩陣論，高等教育出版社，1995。方保熔等，矩陣論，清華大學(xué)出版社，2004。FuzhenZhang，MatrixTheory，Springer，1999。DenisSerre，MatricesTheoryandApplications，Springer，2002。矩陣論歷年試題及其解答不交作業(yè)，但應(yīng)該重視練習(xí)環(huán)節(jié)。第四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日第1章：線性空間與線性變換內(nèi)容：線性空間的一般概念重點(diǎn)：空間結(jié)構(gòu)和其中的數(shù)量關(guān)系線性變換重點(diǎn)：其中的矩陣處理方法特點(diǎn)：研究代數(shù)結(jié)構(gòu)——具有線性運(yùn)算的集合?？粗氐牟皇茄芯繉?duì)象本身，而是對(duì)象之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。研究的關(guān)注點(diǎn)：對(duì)象之間數(shù)量關(guān)系的矩陣處理。學(xué)習(xí)特點(diǎn)：具有抽象性和一般性。第五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日1.1線性空間一、線性空間的概念幾何空間和n維向量空間的回顧推廣思想：抽象出線性運(yùn)算的本質(zhì)，在任意研究對(duì)象的集合上定義具有線性運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。定義1.1（P

.1）要點(diǎn)：集合V與數(shù)域F向量的加法和數(shù)乘向量運(yùn)算運(yùn)算的性質(zhì)刻畫第六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日常見的線性空間Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：xF}

運(yùn)算：向量加法和數(shù)乘向量Fmn

={A=[aij]mn：a

ijF}；

運(yùn)算：矩陣的加法和數(shù)乘矩陣Rmn

；Cmn

。Pn[x]={p(x)=：aiR}

運(yùn)算：多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上連續(xù)}

運(yùn)算：函數(shù)的加法和數(shù)乘eg5：V=R+，F(xiàn)=R，ab=ab，a=a

F=R或C第七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日線性空間的一般性的觀點(diǎn)：線性空間的一般形式：V（F），元素被統(tǒng)稱為向量：，，，線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)（共性）：

定理1.1：V（F）具有性質(zhì)：（1）V（F）中的零元素是惟一的。（2）V（F）中任何元素的負(fù)元素是惟一的。（3）數(shù)零和零元素的性質(zhì)：

0=0，k0=0，k=0=0

或k=0（4）=（1）數(shù)0向量0第八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日二、線性空間的基和維數(shù)向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)：定義形式和向量空間Rn中的定義一樣。有關(guān)性質(zhì)與定理和Rn中的結(jié)果一樣。例題1證明C[0，1]空間中的向量組{ex，e2x，e3x

…，enx}，x[0，1]

線性無關(guān)。第九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日二、線性空間的基和維數(shù)基與維數(shù)的概念：P.2，定義1.2常見線性空間的基與維數(shù)：Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim

Fn=nRmn

，自然基{Eij}，dim

Rmn

=mn。Pn[x]

，自然基{1，x，x2，x3…,xn-1}，dimPn[x]

=nC[a，b]，{1，x，x2，x3…xn-1…}C[a,b]，

dimC[a，b]=約定：Vn

（F）表示數(shù)域F上的n維線性空間。只研究有限維線性空間。第十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日三、坐標(biāo)1定義1.3（P.3)設(shè){1，2，…，n}是空間的一組基，，=，則x1，x2，…，

xn

是在基{i}下的坐標(biāo)。例1：求R22中向量在基{Eij}下的坐標(biāo)。要點(diǎn)：

坐標(biāo)與基有關(guān)坐標(biāo)的表達(dá)形式第十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例2

設(shè)空間P4[x]的兩組基為：{1，x，x2，x3}和{1，（x-1）1，（x-1）2，（x-1）3}求f（x）=2+3x+4x2+x3在這兩組基下的坐標(biāo)。歸納：任何線性空間Vn[F]在任意一組基下的坐標(biāo)屬于Fn。每一個(gè)常用的線性空間都有一組“自然基”，在這組基下，向量的坐標(biāo)容易求得。求坐標(biāo)方法的各異性。第十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日2、線性空間Vn（F）與Fn的同構(gòu)

坐標(biāo)關(guān)系Vn

（F）Fn

基{1，2，。。。n}由此建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系Vn

（F），XFn，（）=X（1+2）=（1）+（2）（k）=k（）在關(guān)系下，線性空間Vn

（F）和Fn同構(gòu)。第十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日同構(gòu)的性質(zhì)定理1.3:Vn

（F）中向量{1，2，…n}線性相關(guān)它們的坐標(biāo){X1,

X2,…,Xn}在Fn中線性相關(guān)。同構(gòu)保持線性關(guān)系不變。應(yīng)用：

借助于空間Fn中已經(jīng)有的結(jié)論和方法研究一般線性空間的線性關(guān)系。第十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例題2

設(shè)R22中向量組{Ai}1

討論{Ai}的線性相關(guān)性.2求向量組的秩和極大線性無關(guān)組.3把其余的向量表示成極大線性無關(guān)組的線性組合.第十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日四、基變換和坐標(biāo)變換討論：不同的基之間的關(guān)系同一個(gè)向量在不同基下坐標(biāo)之間的關(guān)系基變換公式設(shè)空間中有兩組基：過渡矩陣C的性質(zhì)：C為非奇異矩陣C的第i列是i

在基{i

}下的坐標(biāo)則過渡矩陣第十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日2坐標(biāo)變換公式已知空間中兩組基：滿足::;討論X和Y的關(guān)系

X=CY123第十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例題4、已知空間R中兩組基（I）{Eij}（II）；{}求從基（I）到基（II）的過渡矩陣C。求向量在基（II）的坐標(biāo)Y。例題3、（P6例題11）第十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日§1.1

五、子空間

概述：線性空間Vn（F）中，向量集合V可以有集合的運(yùn)算和關(guān)系：WiV，W1W2，W1W2，問題：這些關(guān)系或運(yùn)算的結(jié)果是否仍然為線性空間？第十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日1、子空間的概念

定義：

設(shè)集合WVn（F），W

，如果W中的元素關(guān)于Vn（F）中的線性運(yùn)算為線性空間，則稱W是Vn（F）的子空間。

判別方法：定理1·5W是子空間

W對(duì)Vn（F）的線性運(yùn)算封閉。子空間本身就是線性空間。子空間的判別方法可以作為判別線性空間的方法第二十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日重要的子空間：

設(shè)向量組｛1，2，···，

m｝Vn（F），由它們的一切線性組合生成的子空間：L{1，2，···，m}

=

｛}

矩陣AFm×n，兩個(gè)子空間：A的零空間：N（A）=｛X：AX=0｝Fn，A的列空間：

R（A）=L{A1，A2，···，An｝Fm，

Ai為A的第i列。第二十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日2、子空間的“交空間”與“和空間”

討論：設(shè)W1Vn（F），W2

Vn（F），且都是子空間，則W1W2和W1W2是否仍然是子空間？（1）

交空間交集：W1W2=｛

W1

而且W2｝Vn（F）定理1·6W1W2是子空間，被稱為“交空間”（2）和空間和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝，W1W2W1＋W2定理1·6

W1＋W2是子空間，被稱為“和空間”，W1W2不一定是子空間，W1W2

W1＋W2

第二十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例1·7

設(shè)R3中的子空間W1=L{e1}，W2=L{e2}

求和空間W1＋W2。比較：集合W1W2和集合W1＋W2。如果W1=L{1，2，…，

m}，

W2=L{1，2，…，

k}，則W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…，

k}

第二十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3、維數(shù)公式

子空間的包含關(guān)系：

dimW1W2dimWidimW1＋W2dimVn（F）。定理1·7：dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1W2）證明：第二十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日4、子空間的直和

分析：如果dim（W1W2）0，則

dim（W1＋W2）dimW1＋dimW2

所以：

dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2

dim（W1W2）=0W1W2={0}直和的定義：

定義1·6：

dim（W1W2）=0，則和為直和

W=W1＋W2=W1W2，第二十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日子空間的“和”為“直和”的充要–條件：定理1·8

設(shè)W=W1＋W2，則下列各條等價(jià)：（1）

W=W1W2（2）

XW，X=X1＋X2的表是惟一的（3）

W中零向量的表示是惟一的（4）

dimW

=dimW1＋dimW2第二十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例1

P12eg18例2

設(shè)在Rn×n中，子空間

W1={A

AT=A}，W2={BBT=–B}，證明Rn×n=W1W2。例3

子空間W的“直和補(bǔ)子空間”

第二十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日1·2

內(nèi)積空間

主題：定義內(nèi)積的概念，借助于內(nèi)積建立線性空間的度量關(guān)系。

一、

歐氏空間和酉空間1幾何空間中度量關(guān)系的定義基礎(chǔ)2內(nèi)積的定義定義1·7(P13)：要點(diǎn)內(nèi)積(，)是二元運(yùn)算：Vn(F)F

(，)的公理性質(zhì)

(，)是任何滿足定義的運(yùn)算。討論(，1＋2),(，k)

第二十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日

3.內(nèi)積空間的定義[Vn（F）；（，）]，

F=R，歐氏空間；F=C，酉空間4常見的內(nèi)積空間：[Rn

；(，)=

T],[Cn

；(，)=H],[Cm×n；(A，B)=tr(BHA)][Pn[X]；(f(x)，g(x))=]第二十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日5向量的長(zhǎng)度

定義：||

||=6

歐氏空間中向量的夾角：定義：0，0，夾角定義為：cos=性質(zhì)：

||

k||

=k||

||

；Cauchy不等式：

，

[Vn(F)；(，)],

|

(，)

|

||

||

||

||

。||

＋||

||

||

＋||

||

和正交（，）=0

第三十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日7線性空間的內(nèi)積及其計(jì)算：設(shè){1，2，…,n}是內(nèi)積空間Vn(F)的基，，Vn(F)，則有=x11＋x22＋…＋xn

n=

(12…n)X；=y11＋y22＋…＋yn

n=(1

2…n)Y(，)==YHAX，

定義內(nèi)積在一個(gè)基{1，2，…，

n}中定義內(nèi)積

定義一個(gè)度量矩陣A。

度量矩陣A度量矩陣的性質(zhì)：第三十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日二、標(biāo)準(zhǔn)正交基

1標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組：

定義：｛1，2，…，n｝為正交組(i，j)=0性質(zhì)：2標(biāo)準(zhǔn)正交基基｛1，2，…，n｝是標(biāo)準(zhǔn)正交基(i，

j)=標(biāo)準(zhǔn)正交基的優(yōu)點(diǎn)：第三十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正交基的優(yōu)點(diǎn)：

度量矩陣是單位矩陣，即A=I=(12…n)X，=(12…n)Y，(，)=YHX=x11＋x22＋…＋xn

n，xi=(，i)和正交其坐標(biāo)X和Y正交

坐標(biāo)空間Fn的內(nèi)積求標(biāo)準(zhǔn)正交基的步驟：

Schmidt正交化

標(biāo)準(zhǔn)化矩陣方法討論第三十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日正交補(bǔ)”子空間(i)

集合的U的正交集：U=｛Vn(F)：U，(，)=0｝(ii)

U是Vn(F)的子空間

U

是Vn(F)子空間(iii)

Vn(F)=UU

。U的正交補(bǔ)子空間第三十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日§1·3線性變換

一、

線性變換的概念定義1.11(P.19)要點(diǎn)：（i）T是Vn（F）中的變換：

T：Vn（F）Vn（F）。(ii)T具有線性性：

T（＋）=T（）＋T（）

T（k）=kT（）從一般性的角度給出的定義第三十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例題1

Vn（F）中的相似變換T

：是F中的數(shù)，Vn（F），T（）=

。特例：=1，T是恒等變換，

=0，T是零變換。

可以在任何線性空間中定義相似變換!例題2

Fn中的變換TA：設(shè)AFn×n是一個(gè)給定的矩陣，XFn，TA（X）=AX。例題3

Pn[X]中的微分變換：第三十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日2線性變換的性質(zhì)：（i）T(0)=0（ii）

T(－)=－T()（iii）

3線性變換的象空間和零空間設(shè)線性變換T：Vn(F)Vn(F)，象空間R(T)=｛：Vn(F)，=T()｝

零空間N（T）=｛：Vn(F)

，T()=0｝定義：T的秩=dimR（T）；T的零度=dimN（T）線性變換保持線性相關(guān)性不變！第三十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例題27

求Fn線性中的變換TA:Y=AX的象空間和零空間。R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）第三十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日4線性變換的運(yùn)算設(shè)T1，T2都是空間Vn(F)中的線性變換，常見的用它們構(gòu)成的新的變換：（i）

T1＋T2

Vn（F），（T1＋T2）（）=T1（）＋T2（）（ii）

T1T2

Vn（F），

(T1T2)（）=T1（T2（））（iii）

kT

Vn（F），（kT）（）=k（T（））（iv）

若T－1是可逆變換，T－1

T－1()=當(dāng)且僅當(dāng)T()=。定義第三十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日二、線性變換的矩陣

1線性變換的矩陣與變換的坐標(biāo)式Vn（F）上線性變換的特點(diǎn)分析：定義變換T

確定基中向量的象T（i）。定義T（i）確定它在基下{i}的坐標(biāo)Ai

。定義變換T

確定矩陣A=[A1，A2，…，An]（i）

A為變換矩陣（ii）

變換的坐標(biāo)式：Y=AX（iii）

應(yīng)用意義第四十頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例題1

對(duì)線性變換:P4[X]P4[X]，求D在基{1，X，X2，X3}下的變換矩陣。2求向量在變換D下的象。第四十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日

2線性變換運(yùn)算的矩陣對(duì)應(yīng)：設(shè)Vn（F）上的線性變換T1，T2，它們?cè)谕唤M基下的矩陣：T1A1；T2A2（i）（T1＋T2）（A1＋A2）（ii）（T1T2）

A1A2（iii）（kT）

kA（iv）T－1

A－1第四十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3不同基下的變換矩陣兩組基：{1，2，…,n}，{1，2，…,n}，（12…n）=（12…n

）CT（12…n

）=（12…n）AT（12…n）=（12…n）B

同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的B=C－1AC123例題2（P23，eg28）第四十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日例題2（P23，eg28）例題3（P24，eg29）

設(shè)單位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的線性變換P（x）=x-（x，u）u，求P在自然基{e1，e2，e3}下的變換矩陣。求P在標(biāo)準(zhǔn)正交基{u，u2，u3}下的變換矩陣。第四十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日三、不變子空間問題的背景：變換矩陣的化簡(jiǎn)和空間的分解的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.不變子空間的概念矩陣簡(jiǎn)化要求空間分解的特點(diǎn)定義(p24,定義1.14)2.不變子空間的判別W是T的不變子空間WT（）W。特別：W=L{1，2，…，m}，

W是T的不變子空間T（i）W。

T（W）W。第四十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日P24，例題30R3上的正交投影P：P（x）=x–（x，u）u，u是單位向量。證明L（u）和

u

={x：（x，u）=0}是P的不變子空間。第四十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日3空間分解與矩陣分解Vn（F）=WU，W，U是T的不變子空間，W=L

{1，…，r}，U={r

+1，

…，n}則T

{1，…，r，r

+1，

…，n}Vn（F）=U1U2

…Uk，則T矩陣Ai的階數(shù)=dimUi第四十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，2022年，8月28日四、正交變換和酉變換討論內(nèi)積空間[V；（，）]中最重要的一類變換。1定義1.15

（P25）2正交（酉）變換的充要條件：

（定理1.15,P26

）T是內(nèi)積空間V（F）上的線性變換，則下列命題等價(jià)：T是正交變換T保持向量的長(zhǎng)度不變T把V（F）的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基T在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣3正交矩陣和酉矩陣的性質(zhì)正交矩陣C：CTC=I

酉矩陣U：UHU=I定理1.16(P27)

第四十八頁(yè)，共五