2022年天津市區(qū)重點中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）附答案詳解

2022年天津市區(qū)重點中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）

一、單選題（本大題共9小題，共45.0分）

1.設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2},={-2,-1,2),B={-2,-1,0,1}.則(C")介B=()

A.{-2,-1}B.[0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1}

2.設(shè)X6R,則“|x-l|<2”是"2>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.在一次高二數(shù)學(xué)單元評估中，共有500名同學(xué)參加調(diào)研測試，經(jīng)過評估，這500名

學(xué)生的得分都在［40,90］之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則得分在［40,60）之

間的學(xué)生人數(shù)是（

A.150D.300

5.設(shè)。=0.6°巴b=log0>60.4,c=log3().4,則Q,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

A

6.如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=^AA1=2百,

△ABC是等邊三角形，點。為該三棱柱外接球的球心，則

三棱柱外接球表面積與四棱錐力廣4AlGC體積之比為是

（）

A5百萬

?3

B2^371

*3

C5^371

,6

D5V57r

*2

7.將函數(shù)y=sin（2x+<p）的圖象沿%軸向左平移5個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象,

則3的一個可能取值為（）

371Ccnc37r

AA--B.0C.--D.--

8.過拋物線：y2=2Px（p>0）的焦點尸作傾斜角為60。的直線/,若直線I與拋物線在第

一象限的交點為4并且點A也在雙曲線:5—，=l（a>0,b>0）的一條漸近線上,

則雙曲線的離心率為（）

A.叵B.V13C.逋D.V5

33

9,定義：設(shè)不等式F（x）<0的解集為M,若M中只有唯一整數(shù)，則稱M是最優(yōu)解.若

關(guān)于久的不等式|一一2萬一3|-機芯+2<0有最優(yōu)解，則實數(shù)6的取值范圍是（）

A.（I，;]B.[-|,-2）

727

c.H，一?u修,曰D.嗚b

二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

10.復(fù)數(shù)器=.

11.在（2/+》6的展開式中，/的系數(shù)是

12.已知圓/+丫2+2刀-2丫+。=0截直線；（；+丫+2=0所得弦的長度為6,則實數(shù)a

的值為.

13.某志愿者召開春季運動會，為了組建一支朝氣蓬勃、訓(xùn)練有素的賽會志愿者隊伍,

欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取

第2頁，共17頁

的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是

;若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則E(X)=.

14,已知實數(shù)a>0,b>0,且滿足ab—a—2b-2=0,則(a+l)(b+2)的最小值為

15.如圖，在△ABC中，AB=a,AC=b，D,尸分別為BC,

AC的中點，P為4D與BF的交點，且荏=2限.若前=

xa+yb<貝反+y=;若4B=3,AC=4,Z.BAC=

p則麗.麗=.

三、解答題(本大題共5小題，共75.0分)

16.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bs譏A=3csinB,a=3,

b=A/6-

(1)求cosB的值；

(2)求sin(2B-$的值.

17.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為直角梯形，

^AD//BC,AD1BA,AD=3,AB=BC=2,PA1.

平面ABC。，且PA=3,點M在棱PD上，點N為BC中

點.

(1)證明：若DM=2MP,直線MN〃平面P4B；

(2)求二面角C-PD—N的正弦值；

(3)是否存在點例，使NM與平面PCD所成角的正弦值為?？若存在求出融；若不

存在，說明理由.

18.已知橢圓C的兩個頂點分別為4(-2,0),8(2,0),焦點在%軸上，離心率為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線y=k(x-l)(/c*0)與％軸交于點P,與橢圓C交于M,N兩點，線段MN的

垂直平分線與x軸交于Q,求翳的取值范圍.

19.已知正項等比數(shù)列｛an｝,滿足a2a4=1，%是12%與5a3的等差中項.

(1)求數(shù)列｛須｝的通項公式；

(2)設(shè)%=(*,_霏…一】)+(―1尸■凡求數(shù)列｛g｝的前n項和%?

20.設(shè)函數(shù)p(x)=e*,q(x)=ax+2,其中Q￡R,e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若直線y=Q%與曲線y=p(x)相切，求實數(shù)a的值；

(2)令f(%)=p(x)-q(x).

第4頁，共17頁

①討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

②若a=l,k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時，合（。）<1恒成立，其中/'（%）為/（X）的導(dǎo)

函數(shù)，求k的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：???C(M={O,1}，

(CMnB={0,1}.

故選：B.

進(jìn)行交集和補集的運算即可.

本題考查了集合的列舉法的定義，交集和補集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，|x-l|<2,即—2<x—1<2,解可得一l<x<3,不等式

的解集為(一1,3),

對于」7>1，解可得l<x<2,即不等式的解集為(1,2),

X—1

又由(1,2)是(一1,3)的真子集，故"氏一1|<2”是"9>1”必要不充分條件，

X—1

故選：B.

根據(jù)題意，求出兩個不等式的解集，由集合與充分必要條件的關(guān)系分析可得答案.

本題考查不等式的解法，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的圖象與圖象變換，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

由函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再求出/(》，則答案可求.

【解答】

解：函數(shù)/(%)=xZn巖的定義域為(―1,1),

由f(-x)==x"管=/(%),得/(x)為偶函數(shù)，排除A,C；

第6頁，共17頁

又/(；)=：ln—I=~>0,排除D.

N2.1—N

2

故選：B.

4.【答案】B

【解析】解：由頻率分布直方圖概率之和為1可得，10xa=1-(0.035+0.034-0.02+

0.01)x10,解得a=0.005,

得分在［40,60)之間的頻率為(0.005+0.035)X10=0.4,故得分在［40,60)之間的共有

500X0.4=200.

故選：B.

根據(jù)頻率分布直方圖概率之和為1可推得，a=0.005,再結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可

求解.

本題主要考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及平均數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：：0<O.605<1,0<a<1,

乂b=logo,6().4>logo60.6=1(

c=log30.4<log3l=0,

c<a<b,

故選：C.

由函數(shù)的單調(diào)性及特值0,1比較三個數(shù)的大小即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：設(shè)△4B1G外接圓的圓心為3，連接。OiG，

OCi，

由題意知：OiCi=|xV12^3=2,00i=：44i=l,則球。的

半徑為R=0cl=V5?

從而球。的表面積為4兀產(chǎn)=4兀x(V5)2=20兀，

連接AC],可得以-8&C=匕-B1GC=%1-4QC=-AAjCj>

xxx

,'-%I-A41cle=]匕BC-A181cl=]x5X2痘2遍~2=4V5.

二三棱柱外接球表面積與四棱錐/L4AGC體積之比為是箸=竽兀.

故選:A.

由題意畫出圖形，求出外接球的半徑，考查外接球的表面積，再由等體積法求得四棱錐

力「AAQC的體積，作比得答案.

本題考查多面體外接球表面積與多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考

查運算求解能力，是中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：函數(shù)y=sin(2x+0)的圖象沿%軸向左平移荽個單位，

得到f(x)=sin(2x+3+0),

由于函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

故：+9=k兀+p

整理得：9=/OT+?(keZ),

當(dāng)k=0時，(P=?

當(dāng)k=-1時，a=-?.

故選：D.

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的平移變換的應(yīng)用和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：函數(shù)的關(guān)系式的平移變換，三角函數(shù)的奇偶性，主要考查學(xué)生的

運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：如圖，

設(shè)4。。,%)，則|4尸|=2(沏一9，

第8頁,共人12Px

又|4F|=%)+12(3-柒=%)+今解得&=］，

y0=^\AF\=曰2P=gP，

???4(|p,Hp)在雙曲線：圣一《=l(a>0,b>0)的一條漸近線上，

V3p=?|p,解得：b2=^a2,

由a2+b2=c2,得a2+：a2=c2,即0=Z,...￡=旦.

3a23a3

故選：A.

由題意畫出圖形，把4的坐標(biāo)用p表示，代入雙曲線的漸近線方程得到a，b的關(guān)系，結(jié)

合a?+b2=c2求得雙曲線的離心率.

本題考查了拋物線與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思

想方法，是中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：\x2-2x-3|-mx+2<0即為由一2x-3|<mx—2,在同一平面直角

坐標(biāo)系中，分別作出/(x)=|/-2X-3|,g(x)=mx—2的圖象，如圖所示，

7(2)>5(2)(3>2m-2

當(dāng)m>0時，要存在唯一的整數(shù)的，滿足/(X。)<9(3，則｛/⑶<9(3)，即0<3m-2,

匕(4)>9(4)、5>47n—2

解得|<m<^

"(0)>g(。)

當(dāng)巾<o時，要存在唯一的整數(shù)殉，滿足/(而)<9(沏)，則i)<g(-i)，即

1/(-2)>5(-2)

3>-2

0<—m—2,解得一(<m<.—2；

.5之一2m—2

綜上，實數(shù)小的取值范圍為［一：,一2)1)(|冉.

故選：D.

\x2-2x-3|-mx+2<0等價于—2x-3|<mx-2,在同一坐標(biāo)系中，分別作出

fix')=|x2-2x-3|,g(x)=mx-2的圖象，通過數(shù)形結(jié)合，分析求解即可.

本題以新定義為載體考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，要求考生將新定義問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利

用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算，邏輯推理，直觀想象等核心素養(yǎng)，屬于中檔

題.

10.【答案】2+i

【解析】解：器=巖黯=2+心

故答案為：2+i.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】60

【解析】解：在(2/+》6的展開式中，通項公式為圖+1=口.26々.-8-什，

令18-針=2,求得r=4,可得展開式中/的系數(shù)為纏?22=60,

故答案為：60.

先求出二項式展開式的通項公式，再令x的事指數(shù)等于2,求得r的值，即可求得展開式

中/的系數(shù).

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】一9

22

【解析】解：圓％2+y2+2%-2y+Q=。即(x+I)4-(y—I)=2—a,

故弦心距d=匕芍詈=6

V2

再由弦長公式可得2A/2-a-2=6,a=-9,

第10頁，共17頁

故答案為：—9.

把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出弦心距，再由條件根據(jù)弦長公式求得a的值.

本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

13.【答案】舒

【解析】解：記全是男志愿者為事件4至少有一名男志愿者為事件B,

則PG4B)=P⑷=詈=盤，P(B)=1-*=言

4

故P(4|B)=需=普=卷，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽

取的3人中全是男志愿者”的概率是看，

由題意可知，X服從超幾何分布，E(X)=3x言=*

29

「-

7

17

根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，以及超幾何分布的期望公式，即可求解.

本題主要考查離散型隨機變量期望的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】25

【解析】解：因為a>0,b>0,且滿足ab-a-2b-2=0,

所以8=竺|>0,

a—2

所以Q>2,6=1—a-2,

則(a+1)(2?+2)=QZ?+2Q+b+2=3(Q+b)+4=3Q+W+7=3(a—2)+名+

13>2J3(a-2)?若+13=25,

當(dāng)且僅當(dāng)3(a-2)=*;，即a=4,b=3時取等號.

a—2

故答案為：25.

由已知得b=詈>0，代入(a+1)3+2)=ab+2a+b+2=3(a+b)+4=3a+

=+7=3(a-2)+三+13,然后結(jié)合基本不等式可求.

本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是基本不等式積為定值的配湊,

屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】——

【解析】解：由題意可知點P為三角形4BC的重心，

因為豆尸=荏一荏=-a+|K,

所以前=|喬=|（一方+之3）=一|五+1反

所以x=_|,y=jJill]%+y=-i；

因為ZB=3,AC=4,^BAC=p

所以五不=|a||K|cos^=3x4xi=6,

又4E=2EB,所以前=而+前=：五+：@—3）=-ia+ifo,

3262

所以前?粉=（一4+"）?（-/+與）=工片+工2—二己方="9+”16—

k33yv627961896

——7x/6=4~,

183

故答案為：

由題意可知點P為三角形4BC的重心，所以而=|麗，然后根據(jù)三角形法則化簡即可求

解；由已知可得前=麗+而，根據(jù)平面向量基本定理以及向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)

即可求解.

本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到三角形的重心的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】解：（1）vbsinA=3csinB,

:.ab=3bc,

CL—3c,

???c=1,

ca2+c2-b29+1-62

???COSB=-------------=-----=-；

2ac2X3X13

2

（2）vcosB=

第12頁，共17頁

???sinB—V1-cos2B—

3

sin2B=2sinBcosB=2x-x—=—,cos2B=2cos2B-l=2x^-l=-i

33999

???sin(2B--)=sin2Bcos--cos2Bsin-——x——-x-=---

、6’66923293

【解析】(1)根據(jù)正弦定理可得C=1，再根據(jù)余弦定理即可求出;

(2)利用二倍角公式和兩角差的正弦公式即可求出.

本題考查了三角恒等變換和正余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】(1)證明：如圖所示，在線段AD上取一點Q,使連接MQ,NQ,

???DM=2MP,

QM//AP,

又4D=3,AB=BC=2,

:.AQ'^BN，四邊形ABNQ為平行四邊形，

NQ//AB,

又NQDMQ=Q,ABf}AP=A,

所以平面MNQ〃平面PAB,

MNu平面MNQ,

MN〃平面P4B；

(2)解：如圖所示，以點4為坐標(biāo)原點，以48為%軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，

則B(2,0,0),C(2,2,0),￡>(0,3,0),P(0,0,3),

又N是BC中點，則N(2,l,0),

所以麗=(0,3,一3),CD=(-2,1,0).DN=(2,-2,0).

設(shè)平面PCD的法向量%=

則欺?三=3%-3zI=°,令，則％=Q2,2),

(CD-Th=-2/+yi=0

設(shè)平面PND的法向量涇2=(x2/y2,z2)f

則”號3y2-3Z2=0],=(1)1,1),

(DN?記=2X2-2y2=0

所以COS伍'1,記2〉=V/l2+22+方22V：l；2+l2+l32二苧9，

則二面角C-PD-N的正弦值為J1_(爭2=,；

(3)解：存在，等=：或霽=1.理由如下：

假設(shè)存在點M,設(shè)云'二九即PM'=4PD，AG[0,1],

由(2)得。(0,3,0),P(0,0,3),N(2,l,0),且平面PCD的法向量五=(1,2,2),

則而=(0,3，-3)，麗=(0,34,-34)，

則M(0,32,3-32),

MN=(2,1-34,34-3)，

一,__

L12+2(1-3入)+2(3；1-3)._\f2

sinO=|cos〈MN,?ii)|=|X/12+22+22V22+(1-3A)2+(3A-3)2'-T

解得4=：或4=1,

故存在點M,此時霽=，或翳=1.

第14頁，共17頁

【解析】(1)利用面面平行證明線面平行；

(2)利用坐標(biāo)法求二面角余弦值與正弦值；

(3)設(shè)兩=%而，可表示點M與祈N，再根據(jù)線面夾角求得；I的值.

本題主要考查線面平行的證明，空間向量的應(yīng)用，立體幾何中的探索性問題等知識，屬

于中等題.

&=2

18.【答案】解:⑴由題意知■”?，可得a=1,6=2,故橢圓C的方程為9+y2=

<a2=b2+c2

1.

y=k(x—1)

{蘭+y2=i，可得(4k2+1)%2-8憶2%+4-—4=0,

設(shè)M(xi，yi)，/V(x2,y2)>則+型=獲不，%=獲三p

yi+y2=kg+%2-2)=

線段MN的中點為(

4k2+1'4k2+i

線段MN的垂直平分線方程為y-京費D

令y=°,得"若'所以Q(若，0),

又P(l,0),貝IJ|PQ|=|1—若|=若，

又|MN|=廳中出一次|=J(1+H)[(就)2_4?套]=4j(k)￡Z+】),

4l(k2+i)(3k2+i)

所以二13k2+1.n~2

|MN|4k￡1^^7=父3一昕，?J々W0,1<3———<3,

\PQ\一

4k2+i

故盟的取值范圍為(4,4b).

【解析】(1)由頂點和離心率直接求a,b,c即可；

(2)先聯(lián)立直線和桶圓方程，借助弦長公式表示出弦長|MN|,再求出垂直平分線和Q坐

標(biāo)，表示出|PQ|,最后分離常數(shù)求取值范圍即可.

本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線中的最值與范圍

問題等知識，屬于中等題.

19.【答案】解:(1)正項等比數(shù)列｛%｝的公比設(shè)為q，q>。，

由a2a4=1，可得。3=1，

是12al與5a3的等差中項，可得2a5=12al+5a3,

即為2q2=￡+5,解得q=2,

n3n

則。?=a3q~—2一%nEN

⑵%=(a…就…+(R?n='；")+㈠尸?n

2n1-1

=(2J)(2"+I)+(T)n,n=m-+(T)"-n>

則S"=(-------4+4-------4+…+--------=一)+[-1+2-34-4-5+6+-+

nk2-l22-122-l23-l2n-l2n+1-JL

當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=l--^-+^

當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=l—G—等.

【解析】(1)運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得公比q,即可

得到所求通項公式；

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