10 《大衍歷》的九服晷影算法及其正切函數(shù)表

鳳凰初中數(shù)學(xué)配套教學(xué)軟件識(shí)拓展《大衍歷》的九服晷算法及其正切函數(shù)表我國(guó)古代歷法從東《四分歷開(kāi)始就有各節(jié)氣初日晷影長(zhǎng)度和太陽(yáng)去極度的觀測(cè)記錄漏刻晷影成為古代歷法的重要計(jì)算項(xiàng)目隋朝劉焯發(fā)明二次等間距插值法之后李淳風(fēng)首先將二次插值法引入到漏刻計(jì)算中由每氣初日的漏刻、晷影長(zhǎng)度數(shù)求該氣各日的漏刻、晷影數(shù)．但是，各歷法中所記載和計(jì)算的漏刻和晷影大多是陽(yáng)城（今河南登封東南告成鎮(zhèn)）的數(shù)值．一行在編制《大衍歷》時(shí)，曾進(jìn)行了大規(guī)模的天文測(cè)量，通過(guò)觀測(cè)知道，隨去極度變化的影長(zhǎng)，又因地方而異，但同太陽(yáng)的天頂距有固定的對(duì)應(yīng)關(guān)系．一行在《大衍歷》中發(fā)明了求任何地方每日影長(zhǎng)和去極度的計(jì)算方法，叫做“九服晷影”．古人把陽(yáng)城作為測(cè)影的標(biāo)準(zhǔn)地點(diǎn)所謂的地中為陽(yáng)城的北極高度，S、、……為陽(yáng)城夏至、小暑、大暑等日的太陽(yáng)上中天位置，則、PS、12312…為陽(yáng)城夏至、小暑、大暑……諸氣太陽(yáng)的去極度，取a＝－PS、3121

2＝PS－……，則、分別為陽(yáng)城夏至到小暑、小暑到大暑的去極度差數(shù)，3212也是太陽(yáng)天頂距的差數(shù)．且這個(gè)差數(shù)對(duì)任何地點(diǎn)的相應(yīng)季節(jié)都是相等的．設(shè)有某地北極高度為夏至小暑暑等日的太陽(yáng)上中天位置為′1SS……．顯然，有23a′′a′′．121232陽(yáng)城夏至、小暑、大暑太陽(yáng)天頂距為ZS、等，故123aZS－a＝121232同樣，有aZS－ZS，a＝ZS′－ZS．122232歷法中已給出陽(yáng)城各氣初日的太陽(yáng)去極度則各氣的去極度差即為已知同樣各氣的太陽(yáng)天頂距差亦為已知而這個(gè)差數(shù)對(duì)于任一地點(diǎn)都是相等的這樣一來(lái)，對(duì)于任一地方，只要知道某一節(jié)氣（如夏至）的太陽(yáng)天頂距，其他各氣的太陽(yáng)天頂距都可以通過(guò)加減這個(gè)差數(shù)求出剩下還要解決以下兩個(gè)問(wèn)題其一如何求某地夏（或冬至太陽(yáng)天頂距二已知天頂距如何換算出晷影長(zhǎng)這兩個(gè)問(wèn)題都可以通過(guò)建立一個(gè)影長(zhǎng)與太陽(yáng)天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表來(lái)解決．如果列出一張以天頂距為引數(shù)每隔一度的影長(zhǎng)的數(shù)值表則以上兩個(gè)問(wèn)題都可以解決：先在所測(cè)地測(cè)出（冬）夏至晷影長(zhǎng)度（在一行領(lǐng)導(dǎo)的大地測(cè)量中，ii鳳凰初中數(shù)學(xué)配套教學(xué)軟件識(shí)拓展在每處都進(jìn)行了這樣的測(cè)量由影長(zhǎng)查表得出太陽(yáng)天頂距再加減一個(gè)如前所述的差數(shù)a即可求出該地各氣的天頂距，返回再查表得影長(zhǎng)．一行在《大衍歷》“步晷漏術(shù)”中就建立了這樣一個(gè)從到度每度影長(zhǎng)與太陽(yáng)天頂距對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一張正切函數(shù)表．在國(guó)外，大約920年左右，阿拉伯學(xué)者阿爾·巴坦尼（al-Battani約858—929）根據(jù)影長(zhǎng)與太陽(yáng)仰角之間的關(guān)系，編制0度-90度每隔一度時(shí)尺竿子的影長(zhǎng)表，這實(shí)際上是一個(gè)12的數(shù)表．另一位阿拉伯學(xué)者阿爾·威發(fā)（Abul-Waha940-998在980年左右編成了正切和余切函數(shù)表，每隔15度和10度給出一個(gè)值．他還首次引進(jìn)了正割和余割函數(shù)．一行和阿爾·巴坦尼差不多沿著相同的途徑編成正切和余切函數(shù)表一行用太陽(yáng)天頂距阿爾巴坦尼用太陽(yáng)仰角兩者互為余角所以他們兩人的發(fā)現(xiàn)是相同的而一行的正切函數(shù)表比阿爾巴坦尼的余切函數(shù)表