河南省南陽(yáng)市第二十一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

河南省南陽(yáng)市第二十一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)f（x）=，直線x=0，x=e，y=0，y=1所圍成的區(qū)域?yàn)镸，曲線y=f（x）與直線y=1圍成的區(qū)域?yàn)镹，在區(qū)域M內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)P，則點(diǎn)P在區(qū)域N內(nèi)概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】首先分別求出兩個(gè)區(qū)域的面積，利用幾何概型的公式得到所求．【解答】解：由題意，區(qū)域M為長(zhǎng)為e，寬為1的矩形，面積為e，曲線y=f（x）與直線y=1圍成的區(qū)域?yàn)镹，面積為e﹣，其中，設(shè)t=lnx，則=1；所以曲線y=f（x）與直線y=1圍成的區(qū)域?yàn)镹，面積為e﹣=e﹣﹣1=e﹣，由幾何概型的公式得到；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型的概率求法；關(guān)鍵是利用定積分求出曲線y=f（x）與直線y=1圍成的區(qū)域?yàn)镹．2.已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的方程在上實(shí)根的個(gè)數(shù)是（

）A．7

B．8

C.9

D．10參考答案：C由題意知，，所以是以2為周期的函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象與的圖象，如圖所示，觀察圖象可知這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上的交點(diǎn)有9個(gè)，故選C.

3.函數(shù)的部分圖象大致是

（

）參考答案：C略4.設(shè)全集，則右圖中陰影部分表示的集合為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B,,圖中陰影部分為集合，所以，所以，選B.5.設(shè)全集為R，集合A={x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，則AI(CRB)＝ （

） A.(－3，0) B.(－3，－1] C.(－3，－1) D.(－3，3)參考答案：B6.已知函數(shù)，若的解集中有且只有一個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

（

）（A）（B）

（C）

（D）

參考答案：A，由所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以要使的解集中有且只有一個(gè)正整數(shù)，需，選A.

7.設(shè)集合，，R是實(shí)數(shù)集，則（

）A. B. C.或 D.參考答案：A【分析】先求出集合，再求解并集和補(bǔ)集.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的補(bǔ)集并集運(yùn)算，化簡(jiǎn)集合為最簡(jiǎn)是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案：D當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的兩個(gè)短軸端點(diǎn)時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)有2個(gè)。,若點(diǎn)不在短軸的端點(diǎn)時(shí)，要使為等腰三角形，則有或。此時(shí)。所以有，即，所以，即，又當(dāng)點(diǎn)P不在短軸上，所以，即，所以。所以橢圓的離心率滿足且，即，所以選D.9.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足，且在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，令，，，則的大小關(guān)系為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】由滿足，且在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，確定在上是增函數(shù)，再由奇函數(shù)性質(zhì)得在上遞增，在上單調(diào)遞增．然后把自變量的值都轉(zhuǎn)化到上，比較大?。驹斀狻吭O(shè)，則，又在上遞減，∴，而，，∴，即，∴在是遞增，∵是奇函數(shù)，∴在上遞增，從而在上單調(diào)遞增，，，，，，∴由得，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)在于由滿足，且在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，確定在上是增函數(shù)，然后就是這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)解法，確定出上單調(diào)性，轉(zhuǎn)化比較大小．10.若實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組則z=|x|+2y的最大值是(

) A．10 B．11 C．13 D．14參考答案：D考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由約束條件作出可行域，分類(lèi)化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．解答： 解：由約束條件作出可行域如圖，當(dāng)x≥0時(shí)，z=|x|+2y化為y=﹣x+z，表示的是斜率為﹣，截距為的平行直線系，當(dāng)過(guò)點(diǎn)（1，5）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z最大，zmax=1+2×5=11；當(dāng)x＜0時(shí)，z=|x|+2y化為，表示斜率為，截距為，的平行直線系，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（﹣4，5）時(shí)直線在y軸上的截距最大，z最大，zmax=4+2×5=14．∴z=|x|+2y的最大值是14．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，，若，則

．參考答案：已知，，,若,則則.故答案為：.

12.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為

．參考答案：a=b＞c【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求得a=＞1，b=＞1，再根據(jù)c=log32＜1，可得a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：∵已知a=log23+==＞1，b=log29﹣==＞1，c=log32＜1，∴a=b＞c，故答案為a=b＞c．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，對(duì)數(shù)大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．13.不等式選做題）若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

；參考答案：14.某輕軌列車(chē)有4節(jié)車(chē)廂，現(xiàn)有6位乘客準(zhǔn)備乘坐，設(shè)每一位乘客進(jìn)入每節(jié)車(chē)廂是等可能的，則這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車(chē)廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的概率為

參考答案：15.在中，角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，若，則的最小值等于.參考答案：因?yàn)椋?，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)去等號(hào)。所以，所以的最小值等于.16.已知，，且，則cos=

．參考答案：略17.在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，，且，則的值為_(kāi)_______________參考答案：-80略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在x∈[－1，1]內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若對(duì)任意的a∈[3,6]，不等式在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),又a>0，∴當(dāng)x<－a或x>時(shí)f′(x)>0；當(dāng)－a<x<時(shí)，f′(x)<0.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－a），(，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－a，).(4分）（Ⅱ）由題設(shè)可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上沒(méi)有實(shí)根∴，解得a>3.

（8分）（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3又x∈[－2,2]∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}而f(2)－f(－2)=16－4a2<0f(x)max=f(-2)=－8+4a+2a2+m（10分）

又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立∵9－4a－2a2的最小值為－87∴m≤－87.

（13分略19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，如果存在曲線上的點(diǎn)， 且，使得曲線在點(diǎn)處的切線∥,，則稱(chēng)為弦的伴隨切線.

特別地，當(dāng)時(shí)，又稱(chēng)為弦的-伴隨切線.①求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；②是否存在曲線，使得曲線的任意一條弦均有-伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：（II）（i）設(shè)P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲線y=f(x)上的任意兩點(diǎn)，要證明弦P1P2有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)Q(x0,f(x0))，x1<x0<x2，使得，且點(diǎn)Q不在P1P2上?！?分，即證存在，使得，即成立，且點(diǎn)Q不在P1P2上。以下證明方程在（x1,x2）內(nèi)有解。記F(x)=，則F(x)=，令g(t)=lnt-t+1，t>1。，g(t)在內(nèi)是減函數(shù)，g(t)<g(1)=0。取，則，即F(x1)<0…………9分同理可證F(x2)>0,F(x1)F(x2)<0。函數(shù)F(x)=在（x1,x2）內(nèi)有零點(diǎn)。即方程=0在（x1,x2）內(nèi)有解x=x0?！?0分又對(duì)于函數(shù)g(t)=lnt-t+1，取t=，則，可知，即點(diǎn)Q在P1P2上。F(x)是增函數(shù)，F(xiàn)(x)的零點(diǎn)是唯一的，即方程=0在（x1,x2）內(nèi)有唯一解。綜上，曲線y=f(x)上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。……………11分（ii）取曲線C：y=h(x)=x2，則曲線y=h(x)的任意一條弦均有-伴隨切線。￥高#考#資%源*網(wǎng)證明如下：設(shè)R（x3,y3）,S(x4,y4)是曲線C上任意兩點(diǎn)（x3y4），則又即曲線C：y=x2的任意一條弦均有-伴隨切線?！?4分

略20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)是圓：上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的連線段的垂直平分線和相交于點(diǎn).（I）求點(diǎn)的軌跡方程；（II）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交軌跡于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸不重合.是軌跡上的一點(diǎn)，若的面積是4，試問(wèn)直線，的斜率之積是否為定值，若是，求出此定值，否則，說(shuō)明理由.參考答案：（I）由題意，，又∵∴，∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，∴橢圓的方程為.（II）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立，得∴設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得或，點(diǎn)到直線的距離.∴，即，解得，∴直線，的斜率之積是定值21.某校從參加市聯(lián)考的甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)110分以上的同學(xué)中各隨機(jī)抽取8人，將這l6人的數(shù)學(xué)成績(jī)編成莖葉圖，如圖所示．

(I)莖葉圖中有一個(gè)數(shù)據(jù)污損不清(用△表示)，若甲班抽出來(lái)的同學(xué)平均成績(jī)?yōu)閘22分，試推算這個(gè)污損的數(shù)據(jù)是多少?

(Ⅱ)現(xiàn)要從成績(jī)?cè)?30分以上的5位同學(xué)中選2位作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法介紹，請(qǐng)將所有可能的結(jié)果列舉出來(lái)，并求選出的兩位同學(xué)不在同一個(gè)班的概率．參考答案：

略22.某廠家舉行大型的促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售量萬(wàn)件滿足（其中，為正常數(shù)），現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)件還需投入成本萬(wàn)元（不含促銷(xiāo)費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為萬(wàn)元/萬(wàn)件.（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；（2）促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大.參考答案：（1）由題意知，利潤(rùn)y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x由銷(xiāo)售量t萬(wàn)件滿足t