2018年數(shù)學第五章平面向量專題18平面向量的概念及線性運算、平面向量的基本定理考場高招大全

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題十八平面向量的概念及線性運算、平面向量的基本定理考點40平面向量的線性運算和幾何意義考場高招1向量的線性運算的解題規(guī)律1.解讀高招規(guī)律解讀典例指引轉化到圖形中進行向量運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解典例導引1(1)巧借幾何性質善于利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質,把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解典例導引1（2)善于利用結論記憶三角形中某些特殊點的向量線性表示對解題大有益處，常見的結論如下:(1)=0?P為△ABC的重心;（2）)?D是△ABC中BC邊的中點;（3)?P為△ABC的垂心；（4）（）·=（)·=（）·=0?|｜=|｜=||??O為△ABC的外心典例導引1（3)2。典例指引1（1）(2016湖北武漢調研)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內的任意一點，則等于(）A. B。2 C。3 D.4(2)(2016河北衡水中學質檢）若點M是△ABC所在平面內的一點,且滿足|3|=0,則△ABM與△ABC的面積之比等于（）A. B。 C. D。(3)（2016四川成都模擬）O是面α上一定點，A,B，C是面α上△ABC的三個頂點,∠B,∠C分別是邊AC,AB的對角.以下命題正確的序號是。

①動點P滿足，則△ABC的外心一定在滿足條件的P點集合中；②動點P滿足+λ(λ〉0），則△ABC的內心一定在滿足條件的P點集合中；③動點P滿足+λ（λ>0),則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；④動點P滿足+λ(λ>0),則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中?！窘馕觥?1)因為M是平行四邊形ABCD對角線AC，BD的交點,所以=2=2，所以=4,故選D。（3)對于①,由=0，故點P是△ABC的重心，故①錯；對于②,由+λ=λ,因為分別表示方向上的單位向量,故AP平分∠BAC，因此△ABC的內心一定在滿足條件的P點集合中,故②正確；對于③,由+λ可知=λ.在△ABC中,由于||sinB,｜｜sinC表示BC邊上的高h,故)=(其中D為BC的中點)，即點P在BC邊的中線所在直線上,因此△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中，故③正確；對于④，由已知可得=λ.則=λ，得=0,即點P在邊BC的高線所在直線上,因此△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中,故④正確?！敬鸢浮?1)D(2）C(3)②③④3.親臨考場1（2013四川,理12)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O,=λ,則λ=.（k∈Z）【答案】22.（2017廣東惠州二調）如圖,在正方形ABCD中,點E為DC的中點,點F為BC上靠近點B的三等分點，則=（）A. B。C. D.【答案】D在△CEF中,。因為點E為DC的中點，所以。因為點F為BC上靠近點B的三等分點，所以.所以，故選D考場高招2三法(定理法、坐標法、結論法)搞定平面向量共線問題解讀高招方法解讀適合題型典例指引定理法利用a∥b的充要條件a=λb（b≠0），可判斷兩個向量是否共線,三點是否共線等問題已知向量的幾何意義或線性表示典例導引2（3)坐標法利用坐標形式，設非零向量a=(x1,y1），b=(x2，y2）,則a∥b?(x1，y1)=λ(x2，y2）,即或x1y2-x2y1=0已知向量的坐標表示或能夠建系后利用典例導引2（1)結論法(1)對于向量a，b，|a·b|=|a｜·｜b｜?a與b共線。(2)利用三點共線的結論=λ+μ(λ,μ為實數(shù)),若A，B,C三點共線,則λ+μ=1已知向量滿足結論成立的條件典例導引2(2）2.典例指引2（1)已知向量a=（2，3）,b=（-1,2），若ma+4b與a-2b共線,則m的值為(）A。 B.2 C.— D.-2（2)（2017廣東佛山質檢)一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB,AD分別交于點E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點K,若=2=3=λ（λ∈R），則λ=()A.2 B. C。3 D.5(3)在△ABC中，點H是邊BC上異于端點B,C的一點，M是AH的中點，=λ+μ，則λ+μ=.

(2)由平行四邊形法則，知，∴)=(2+3)=.∵E,K，F(xiàn)三點共線,∴=1,解得λ=5.故選D.（3)∵點H是邊BC上異于端點B,C的一點，∴存在實數(shù)t使得=t(0<t<1),∴+t+t()=（1-t）+t?！進為AH中點，∴，∴∴λ+μ=?！敬鸢浮浚?）D(2)D（3）3。親臨考場1。（2012四川,理7）設a,b都是非零向量，下列四個條件中,使成立的充分條件是(）A。a=—b B。a∥bC.a=2b D。a∥b且|a|=|b|【答案】C因為,則向量是方向相同的單位向量，所以a與b共線同向,即使成立的充分條件為選項C.2.（2015課標Ⅱ，理13)設向量a，b不平行,向量λa+b與a+2b平行，則實數(shù)λ=。【答案】考點41平面向量的基本定理和坐標運算考場高招3平面向量基本定理的應用方法1。解讀高招方法解讀典例指引基底法通過觀察圖象直接尋求向量之間的關系.具體步驟為:第一步，觀察待求向量所在的三角形或平行四邊形，利用三角形法則或平行四邊形法則將待求向量表示成兩個(或多個)相關向量的和或差；第二步，把相關向量分別進行分解，直到用基底表示出來;第三步，代入第一步中的式子,從而得到結果典例導引3(1）坐標法建立平面直角坐標系，根據(jù)向量的坐標運算求解.其一般步驟為:第一步，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；第二步，把基底e1,e2，待求向量m的坐標分別表示出來;第三步，設m=xe1+ye2;第四步,根據(jù)向量e1，e2，m的坐標列出相應的方程組,求出x，y，從而得到結果典例導引3（2）2。典例指引3(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F。若=a,=b,則=(）A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b(2）(2017河北石家莊一檢）已知的夾角為90°,|｜=2，｜｜=1,=λ+μ(λ，μ∈R），且=0，則的值為.

(2)根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0，0)，B(0，2），C(1，0),所以=（0,2)，=（1,0)，=（1，—2）。設M（x,y)，則=(x，y),所以=（x，y)·（1,-2）=x—2y=0。所以x=2y.又=λ+μ，即(x,y)=λ(0，2)+μ（1,0)=(μ,2λ）,所以x=μ,y=2λ。所以。3.親臨考場1。（2015課標Ⅰ,理7）設D為△ABC所在平面內一點,=3,則()A.=- B.C. D.2。（2017四川四市第一次聯(lián)考）如圖,四邊形ABCD是正方形,延長CD至點E，使得DE=CD，若點P為CD的中點，且=λ+μ，則λ+μ=(）A.3 B. C.2 D.1【答案】B由題意，不妨設正方形的邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標系,則A（0,0)，B（1，0），E(-1,1),P,所以=(1，0），=（-1,1)。由=λ+μ=（λ-μ,μ)=，得解得所以λ+μ=。故選B。考場高招4向量的坐標表示及運算常用技巧1。解讀高招技巧解讀向量問題坐標化向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來,通過建立平面直角坐標系,就可以使很多幾何問題的解答轉化為我們熟知的數(shù)量運算巧借方程思想求坐標向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行,若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標,解題過程中要注意方程思想的運用妙用待定系數(shù)法求系數(shù)利用坐標運算求向量的基底系數(shù)，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標,再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù)2.典例指引4已知向量滿足｜｜=｜|=1,=λ+μ(λ，μ∈R）。若M為AB的中點,并且｜|=1，則λ+μ的最大值是（）A.1- B。1+C. D.1+因為=λ+μ（λ,μ∈R),所以=λ+μ=λ(1，0)+μ（0，1）=（λ,μ）,即點C（λ,μ)。所以.因為||=1，所以=1，即點C(λ,μ）在以為圓心，1為半徑的圓上。令t=λ+μ，則直線λ+μ-t=0與此圓有公共點，所以d=≤1，解得-+1≤t≤+1，即λ+μ的最大值是1+.故選B.【答案】B3。親臨考場1.（2014福建，理8）在下列向量組中，可以把向量a=(3，2)表示出來的是(）A.e1=(0，0)，e2=(1，2) B.e1=(—1,2)，e2=（5，—2)C。e1=（3,5)，e2=(6，10) D.e1=(2,-3），e2=(—2,3）【答案】B由平面向量基本定理可知，平面內任意一個向量可用平面內兩個不共線向量線性表示,A中e1=0·e2,B中e1，e2為兩個不共線向量，C中e2=2e1,D中e2=—e1.故選B.2.(2014陜西,理13)設0<θ〈,向量a=(sin2θ,cosθ）,b=（cosθ，1),若a∥b，則tanθ=。

【答案】3.（2013北京,理13）向量a,b,c在