新教材高中數(shù)學(xué)一元二次函數(shù)方程和不等式.1第課時等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教A版必修第一冊

04/505/5/第2課時等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)[目標]1.掌握不等式的有關(guān)性質(zhì)；2.能利用不等式的性質(zhì)比較大小、證明不等式、求代數(shù)式的取值范圍．[重點]不等式的性質(zhì)及應(yīng)用．[難點]對不等式性質(zhì)的理解．知識點一等式的性質(zhì)[填一填]知識點二不等式的性質(zhì)[填一填][答一答]1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d，是否有a>b，c>d則a－c>b－d成立？提示：不一定，如3>1，－1>－10，則3－(－1)>1－(－10)不成立．2．兩個不同向不等式的兩邊可以分別相除嗎？提示：不可以．兩個不同向不等式的兩邊不能分別相除，在需要商時，可利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為同向不等式相乘．3．對不等式變形時，要注意什么？提示：對不等式的每一次變形，都要有相應(yīng)的性質(zhì)為依據(jù)，否則，變形就是錯誤的．4．由a≥b，b≥c能否得到a≥c呢？如果a≥b，b>c，能否一定得到a≥c呢？提示：由a≥b，b≥c可以得到a≥c；而如果a≥b，b>c，我們一定可以得到a>c.又“a≥c”包含“a>c”或“a＝c”，所以a≥c是一定成立的．故如果a≥b，b>c，一定可以得到a≥c.類型一判斷命題的真假[例1]判斷下列命題是否成立，若不成立，適當增加條件使之成立．(1)若a>b，則ac≤bc；(2)若ac2>bc2，則a2>b2；(3)若a>b，c>d，則eq\f(a,d)>eq\f(b,c)；(4)若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).[分析]本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，可結(jié)合不等式的性質(zhì)找出所缺少的條件．[解](1)不成立．命題“若a>b且c≤0，則ac≤bc”成立，即增加條件“c≤0”(2)不成立．由ac2>bc2可得a>b，但只有b≥0時，才有a2>b2，即增加條件“b≥0”(3)不成立.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)成立的條件有多種(如a>b>0，c>d>0)，因此，可增加條件“b>0，d>0”．(4)成立．a(chǎn)>b>0?－a<－b<0?0<c－a<c－b，兩邊同乘以eq\f(1,?c－a??c－b?)，得0<eq\f(1,c－b)<eq\f(1,c－a)，又a>b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(a,c－b)>eq\f(b,c－b).1.判定一個命題是假命題，有下面兩種方法：(1)從已知條件入手，推出與結(jié)論相反的結(jié)論；(2)舉出反例，反例法簡捷、快速、有效，是解決該類問題行之有效的好方法．2．應(yīng)用不等式基本性質(zhì)時，一定要注意“保序”時的條件，如“非負乘方保序”，其中“乘負反序”“同時取倒反序”兩種情況極易忽視，應(yīng)特別注意．[變式訓(xùn)練1](1)已知a，b，c∈R，且c≠0，則下列命題正確的是(D)A．如果a>b，那么eq\f(a,c)>eq\f(b,c)B．如果ac<bc，那么a<bC．如果a>b，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D．如果a>b，那么eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)(2)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，有下面四個不等式：①|(zhì)a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3，則不正確的不等式的個數(shù)是(C)A．0B．1C．2D．3解析：(1)利用不等式的性質(zhì)或者舉反例進行判斷．取a＝2，b＝－1，c＝－1，滿足選項A，B，C中的條件．對A有：eq\f(a,c)<eq\f(b,c)，故A錯．對B有a>b，故B錯．對C有eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故C錯．對于D，∵c≠0，∴eq\f(1,c2)>0，由不等式的性質(zhì)4知，D正確．(2)由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，從而|a|<|b|，①②均不正確；a＋b<0，ab>0，則a＋b<ab成立，③正確；a3>b3，④正確．故不正確的不等式的個數(shù)為2.類型二證明不等式[例2](1)已知a>b>0，求證：eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2).(2)若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[證明](1)a>b>0?a2>b2>0?eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2).(2)bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)，又bd>0，兩邊同除以bd得，eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).利用不等式性質(zhì)證明不等式的實質(zhì)就是依據(jù)性質(zhì)把不等式進行變形.在此過程中，一要嚴格符合性質(zhì)條件；二要注意向特征不等式的形式化歸.[變式訓(xùn)練2]若a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,?a－c?2)>eq\f(e,?b－d?2).證明：∵c<d<0，∴－c>－d>0，∴a－c>b－d>0.∴(a－c)2>(b－d)2>0.∴0<eq\f(1,?a－c?2)<eq\f(1,?b－d?2).又∵e<0，∴eq\f(e,?a－c?2)>eq\f(e,?b－d?2).類型三求取值范圍[例3]已知－6<a<8,2<b<3，分別求2a＋b，a－b，eq\f(a,b)的取值范圍．[分析]解答本題可利用不等式的可加性和可乘性求解．[解]∵－6<a<8,2<b<3，∴－12<2a∴－10<2a＋b又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6.又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，(1)當0≤a<8時，0≤eq\f(a,b)<4；(2)當－6<a<0時，－3<eq\f(a,b)<0.由(1)(2)得－3<eq\f(a,b)<4.求含有字母的數(shù)?或式子?的取值范圍時，要注意以下兩點：?1?要注意題設(shè)中的條件；?2?要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減；兩邊都是正數(shù)的同向不等式可乘不可除.[變式訓(xùn)練3](1)已知12<a<30,15<b<48，則eq\f(a,b)的范圍是eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<2.(2)已知0≤a≤1,2≤a－b≤3，則a－2b的取值范圍是3≤a－2b≤6.解析：(1)∵15<b<48，∴eq\f(1,48)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15).又12<a<30，∴eq\f(12,48)<eq\f(a,b)<eq\f(30,15)，即eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<2.(2)∵0≤a≤1,2≤a－b≤3，∴－1≤－a≤0,4≤2a－2b≤∴3≤－a＋(2a－2b)≤6，即3≤a－2b≤1．設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是(C)A．a(chǎn)b>bc B．a(chǎn)c>bcC．a(chǎn)b>ac D．a(chǎn)|b|>c|b|解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0得a>0，c<0，b符號不確定，則由a>0，b>c一定有ab>ac成立．故選C.2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－eq\f(c,a)<－eq\f(d,b)，則(B)A．bc<ad B．bc>adC.eq\f(a,c)>eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)解析：由－eq\f(c,a)<－eq\f(d,b)得eq\f(c,a)>eq\f(d,b)又ab>0得eq\f(c,a)·ab>eq\f(d,b)·ab即bc>ad.故選B.3．若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是(A)A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1解析：∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<－β<1，則有－2<α－β<2，又α<β，∴α－β<0.綜上必有－2<α－β<0.4．給出下列命題：①a>|b|?a2>b2；②a>b?a3>b3；③|a|>b?a2>b2.其中正確的命題是①②.5．已知a>b>0，c<d<0，求證：eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).證明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.∴0<－eq\f(1,c)<－eq\f(1,d).又a>b>0，∴－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0.∴eq\r(3,\f(－a,d))>eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))>－eq\r(3,\f(b,c))，兩邊同乘－1，得eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).——本課須掌握的兩大問題1．對不等式性質(zhì)的五點說明(1)性質(zhì)1和2，分別稱為“對稱性”與“傳遞性”，在它們的證明中，要用到比較大小的“定義”等知識．(2)性質(zhì)3(即可加性)是移項法則“不等式中任何一項的符號變成相反的符號后，可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù)．(3)性質(zhì)4(即可乘性)在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號”．(4)性質(zhì)5(即加法法則)，即“同向不等式只能相加，不等號方向不變，不能相減”．(5)性質(zhì)6,7(即乘法法則與