第2章有限元理論基礎

第2章 有限元理論基礎以結構計算為例。有限元計算(ANSYS軟件)的理論基礎－基本方程，邊界條件?；痉匠蹋好枋鰬顟B(tài)的平衡方程描述應變狀態(tài)的幾何方程－－－－－有限元計算的核心思想。描述應力應變關系的本構方程對應的邊界條件。2.1應力狀態(tài)分析圖2.1為單元體的應力狀態(tài)。圖2.1單元體的任一點的應力狀態(tài)描述：，剪應力互等，六個獨立分量單元體的靜力平衡問題。單元體沿三個坐標軸方向的力的平衡條件和對三個軸的力矩平衡條件。三維力的平衡微分方程：j=1,2,3j=1,2,3note:1.11在垂直x軸平面的應力，在X軸的分量。2.F為體力，包括：重力、磁力、慣性力，與物體的質量成正比。Fi為I軸的體力分量。3.物體表面單位面積的面力T三個分量為Tx,Ty,Tz,或T１,T２,T３,應力的三個分量x,y,z或1,2,3應力邊界條件：表達作用在物體表面單位面積喪的面力T與物體內的應力分量之間的關系。2.2應變狀態(tài)分析圖2.2為單元體的應變狀態(tài)。圖2.2單元體的一點的應變狀態(tài)的張量描述：與應力狀態(tài)相似。由剪應變互等定律九個應變分量中只有六個是完全獨立的。描述一點的應變分量與點的位移分量之間的關系的幾何方程。如果用張量表示：定義：2.2 應力－應變關系分析－－用于定義材料的性質、設定邊界條件。2.3.1 彈性材料彈性理論研究的對象是理想的彈性體。符合下述四個基本假設：(1) 物體是連續(xù)的,由連續(xù)介質組成,沒有空隙，物體中的應力、應變以及位移等量是連續(xù)的，可以用坐標的連續(xù)函數(shù)表示。(2) 物體是均勻的，各部分具有相同的性質， 彈性常數(shù)不隨位置坐標而改變。(3)物體各向同性、彈性常數(shù)不隨方向而改變。(4)物體是完全彈性的。線彈性問題是以理想彈性體的微小位移和應變?yōu)榍疤釛l件。(略去高次項成線性方程)。反之為非線性彈性理論。處于(彈)塑性狀態(tài)的應力－應變關系理論為(彈)塑性理論。線彈性理論的廣義虎克定律描述彈性體內任一點的應力－應變分量之間的關系。式中：單位張量E楊氏模量；v泊松比；G為剪切模量上述為物理方程，或本構方程。用應變表示應力的形式：基本方程通解＋定解條件完整的問題初始條件――討論問題的特定時刻（動態(tài)問題）邊界條件――彈性體邊界上的外力和位移的情況。彈性力學中的邊界條件：(1)應力邊界條件已知作用在物體內的體力Fi和物體表面處的面力Ti,就已知物體邊界上的應力。(2)位移邊界條件已知作用在物體內的體力Fi和物體表面處的位移ui,已知物體邊界上的位移。(3)混合邊界條件已知作用在物體內的體力Fi，物體表面處的位移ui和力已知。解的存在定理和解的唯一行定理：彈性力學問題的解是存在的。在小變形條件下，受一組平衡力系作用的物體的應力和應變的解是唯一的。平面問題：一般都是三維問題，求解、分析是相當復雜和困難的。在特殊情況下，如果能夠把它作為平面問題，大大簡化了計算和分析的過程。WHAT?平面問題：薄板一類的結構。包括平面應力和平面應變問題。平面問題的基本方程和邊界條件平衡方程：幾何方程：邊界條件：力位移：u=u1v=v1平面應力問題：等厚度、板厚度遠小于板的其它兩個方向的尺寸，所受的外力平行于板面且不受厚度變化。滿足上述條件，應力狀態(tài)是平面的，二維的；應變狀態(tài)是空間的，三維的。彈性體平面應力問題：應力狀態(tài)描述：應變狀態(tài)描述：本構方程：平面應變問題：沿z軸方向的尺寸遠大于其它另外兩個方向的尺寸。Z軸方向的位移或應變相對于本身尺寸很小，可忽略不計。滿足上述條件的應變狀態(tài)是平面的，二維的；其應力狀態(tài)是空間三維的。彈性體的平面應變問題：應力狀態(tài)描述：應變狀態(tài)描述本構方程：式中：軸對稱問題：彈性體的幾何形狀和所受外力均對稱于彈性體的中心軸。典型的有：柱、筒、環(huán)等。特征：剪應力為零，只有正應力軸對稱平面應力問題：平行板面的外力和幾何尺寸沿z軸對稱，且z軸的尺寸遠遠小于x,y方向的尺寸，如薄板圓環(huán)。軸對稱平面應變問題：所受的外力和幾何尺寸沿z軸對稱，沿z軸方向的尺寸遠大于其它另外兩個方向的尺寸或兩端受約束。Z軸方向的位移或應變相對于本身尺寸很小，可忽略不計。兩種情況的應力分量表達式一樣：平面應力問題的應變分量表達式：平面應變問題的應變表達式：將E換為和v換為。彈塑性材料應力較小時，材料處于彈性變形階段，應力－應變線性關系，服從虎克定律，當應力超過材料的屈服極限s時，材料進入塑性變形階段，總應變有彈性應變和塑性應變兩部分組成。應力－應變曲線如圖。在塑性階段不僅與應力狀態(tài)有關，而且與加載路徑有關。介紹幾種常用的彈塑性理想（簡單）模型理想的剛塑性模型s0圖2.1其表達式：理想的彈塑性模型彈性階段的應力－應變關系是線性的，屈服后是不強化的理想塑性流動狀態(tài)。應力－應變關系見圖2.2。s0s圖2.2其表達式：以上為理想塑性模型。剛塑性線性強化模型屈服前為剛性無變形狀態(tài)，屈服后為線性強化。應力－應變關系如圖2.3。s0arctgE圖2.3其表達式：彈塑性線性強化模型－－－雙直線模型彈性階段是線性的，屈服后線性強化。應力－應變關系如圖2.4。s0arctgE圖2.4其表達式：冪強化模型應力－應變遵從冪指數(shù)關系，式中：A>0n為強化系數(shù)。n=0理想剛塑性材料；n=１理想線彈性材料。見圖2.5。圖2.5多階段模型為了描述更加接近實際材料的情況。大多數(shù)材料是非理想的材料，其普遍的應力應變關系遵從在彈性段是線性的，符合虎克定律。屈服后發(fā)生塑性變形，應力應變規(guī)律是復雜非線性的，為研究方便，將塑性階段分段分析。s0ArctgE1ArctgE2ArctgE3圖2.6增量理論模型塑性狀態(tài)下，應力－應變關系的本質－－－增量關系。這是一種更接近實際塑性材料的模型。Reuss假設：塑性材料塑性問題的求解是非常復雜的。不少實際問題可用剛塑性材料的平面應變問題來近似―――采用的滑移線場理論。塑性平面應變問題，則是指物體內個質點的塑性流動均平行與XOY平面，與z無關。基本方程應力平衡方程：應變幾何方程：滑移線場理論中常遇到的應力邊界條件：應力自由表面無摩擦接觸面一些特殊情況查書。粘彈性材料固體同時顯示出彈性和粘性的行為。以線彈性和線粘性為例討論。當開始加載時，初始材料顯示彈性性能，符合虎克定律。在加載時形變隨時間而增大的現(xiàn)象，卸載后形變繼續(xù)保留下來，應力－應變關系符合牛頓定律。線性粘彈性材料的力學模型：Maxwell模型：一個彈簧和一個阻尼器串聯(lián)。近似描述粘彈性固體的應力松弛行為。討論：當，得：應力松弛――應力隨時間減小。當?shù)茫喝渥儴D―應力隨時間增大。Kelvin模型：一個彈簧和一個阻尼器并聯(lián)。近似描述粘彈性固體的蠕變行為。討論：蠕變――應力隨時間增大彈性行為――虎克定律標準線性固體模型：Maxwell模型和另一個彈簧并聯(lián)。同時描述應力松弛和蠕變現(xiàn)象的模型。討論：當應力松弛當應變松弛－蠕變粘彈性固體的動態(tài)力學行為內耗：標準線性固體的動態(tài)力學模型：前面講的是由外力引起的應力―――結構應力。下面講由熱――溫度變化引起的應力――熱應力。熱應力引起熱沖擊破壞（溫度驟變）和熱疲勞破壞。―――高溫場合尤為重要。2.5熱應力熱應力的產生構件的熱脹冷縮受到外界約束。（棒兩端固定，然后加熱，產生壓應力）相連的兩個構件存在溫差，且相互約束。（溫差引起熱傳導，構件熱脹冷縮，相互約束引起應力。）構件內部存在溫差，且相互約束。（構件加熱－冷卻不均勻熱處理，內部引起應力）不同材料的組合和約束。（不同材料膨脹系數(shù)不同，加熱過程，約束，引起應力。復合材料在熱處理過程中。）溫差約束熱應力溫度場應力場載荷邊界基本方程熱傳導基本方程。三維：有內熱源無內熱源二維：有內熱源無內熱源邊界條件：T(P)=f(P)T(P)與物體表面相接觸的流體溫度，物體表面溫度f(P)。式中，n是邊界的法向，u是放熱系數(shù)。彈性熱應力基本方程彈性力學的基本方程用于熱應力分析――熱膨脹影響應力和應變。故：平衡方程和幾何方程不受影響，仍為前述。僅本構方程變化。熱應力本構方程：式中：為材料的線脹系數(shù)。平面熱彈性問題平面應力：平面應變：列出場表達式：平面應力平面應變求解方程：―――步驟：熱傳導方程溫度場分布邊界條件應力場分布軸對稱平面熱彈性問題可參照平面熱彈性問題解題思路。殘余應力固有應力