初二奧數(shù)題及答案解析

~初二數(shù)奧1、如圖，梯形中，AD∥BC，DE＝EC∥AB交于點(diǎn)F，EF＝EC，連結(jié)DF。(1)試說明梯形ABCD是腰梯形(2)若AD＝1，BC＝3，DC＝2，試判斷△DCF的狀；(3)在條件2)下，射線BC上是存在一點(diǎn)使△是等腰三角形，若存在直接寫出PB的長；若不存在，請(qǐng)說明理。ADEBFC

~2、在邊長為6的形中動(dòng)點(diǎn)從A出發(fā)沿A→→C向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)連接交于點(diǎn).（1）如圖，點(diǎn)M在AB上時(shí)，連接BN①求證：△；②若∠AM，求點(diǎn)M到的離；（2）如圖2，若∠ABC=，記點(diǎn)運(yùn)所過的路程為x（6≤≤12）試問：為何值時(shí)，△為等腰三角.

~3、對(duì)于點(diǎn)O、M，點(diǎn)沿的方向運(yùn)動(dòng)到O左彎繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到N，使＝，OM⊥ON這一過程稱為點(diǎn)于O點(diǎn)成一次“左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)正方形ABCD和點(diǎn)點(diǎn)于A左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到P關(guān)于B左彎運(yùn)動(dòng)到關(guān)于C左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到P，關(guān)D左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到，關(guān)左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到，…．（1）請(qǐng)你在圖中用直尺和圓規(guī)圖中確定點(diǎn)的置；（2）連接PA、PB，判斷△ABP△之間有怎樣的關(guān)系？并說明理由。(3)以D為原、直線AD為y軸立直角坐標(biāo)系，并且已知點(diǎn)在第二象限A、兩的坐標(biāo)為（，4你斷、

三點(diǎn)的坐標(biāo)．

A

圖

M

C

圖2

D

~4、如圖1和2，在的等網(wǎng)格（每格的寬和高均1個(gè)單長）中，eq\o\ac(△,Rt)從點(diǎn)A與點(diǎn)重合位置開始秒個(gè)單長的速先向下平移，當(dāng)BC邊與網(wǎng)的底部重合時(shí)，繼續(xù)同樣的速度向右平移，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合時(shí)，Rt停移動(dòng)設(shè)動(dòng)時(shí)間為x秒，的面積為y（1）如圖1，當(dāng)△向平移到eq\o\ac(△,Rt)C的位置時(shí)，請(qǐng)你在網(wǎng)格中畫出Rteq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)關(guān)于直線成軸對(duì)稱的圖形；（2）如圖2，在eq\o\ac(△,Rt)向下平移的過程中，請(qǐng)你求出x的函關(guān)系式，并說明當(dāng)x分別取何值時(shí)，y取得大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？（3）在eq\o\ac(△,Rt)ABC向右平移的過程中，請(qǐng)你說明取何時(shí)y取得大值和最小值？最大值和最值分別是多少？為什么？

~5、如圖①，中AB=AC，∠B∠C的平分線交于點(diǎn)，過O點(diǎn)EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)圖中有幾個(gè)等腰三角形?猜：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形?如果有，分別指出它們．在第1)問中EF與BE、CF的關(guān)系還存在?(3)如圖③，eq\o\ac(△,若)ABC中B的平線BO與角形外角平分線CO交O，過O點(diǎn)∥BC交AB于E，交AC于F．這圖中還有等腰三角形?EF與BE、CF關(guān)系又如何說你的理由。

~6、已知，如圖，中，∠BAC=90°，AB=AC,DAC上一點(diǎn)，且∠BDC=124°，延長BA到點(diǎn)E，使的延長線交CE點(diǎn)F，求∠E的度數(shù)。

~7、如圖，正方形的對(duì)線AC,BD交于點(diǎn)，將一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處讓其繞點(diǎn)旋三角尺的直角邊正方形ABCD的邊交于點(diǎn)E和F通過觀察或測量OE,OF的長度，你發(fā)現(xiàn)了什么？試說明理由。

~1、解）明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF∵EF∥AB∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是腰梯形；（2）△DCF是等直角三角形

證明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=

12

CD，∴△CDF是角三角形（如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=

12

（BC-AD，∵DC=

，∴勾股定理得DF=1，∴△DCF是腰直角三角形；（3）共四種情況：PB=1，PB=2，PB=3+

2、證明）∵四邊形ABCD是形，∴AB=AD∠1=∠2．又∵AN=AN，∴eq\o\ac(△,．)②解：作MH⊥DA交DA的長線于點(diǎn)H．由AD∥BC，得MAH=∠ABC=60°．在eq\o\ac(△,Rt)AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2

．∴點(diǎn)M到AD的距為2

．∴AH=2．∴DH=6+2=8．（2）解：∵∠ABC=90°，∴形是正方形．∴∠CAD=45°．下面分三種情形：（）若，∠ADN=∠NAD=45°．此時(shí)，點(diǎn)恰好點(diǎn)B重，得x=6；（Ⅱ）若DN=DA，∠DNA=∠DAN=45°此時(shí)點(diǎn)恰與點(diǎn)C重，得x=12；（Ⅲ）若AN=AD=6，∠1=∠2∵AD∥BC∴∠1=∠4又∠2=∠3，∴∠3=∠4．∴CM=CN．．∴CM=CN=AC-AN=62-6．故（6）=18-6．綜上所述：當(dāng)x=6或12或18-6時(shí)，△ADN是等三角形。3、解）直尺和圓規(guī)作圖作圖痕跡清晰；（2）eq\o\ac(△,≌)ABP1eq\o\ac(△,，)ADP且ABP可看是由ADP繞點(diǎn)時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而．理由如下：在△ABP1和中由題意：AB=AD，AP=AP，∠PAD=∠P，∴eq\o\ac(△,≌)ABP1eq\o\ac(△,，)ADP又∵△ABP和有共頂點(diǎn)A且PAP=90°∴eq\o\ac(△,1)可成由繞點(diǎn)A時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得；

~（3）點(diǎn)P，1）關(guān)于點(diǎn)A（0）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到P（-3，3點(diǎn)P（-3）于點(diǎn)B（-4）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P（-5，3點(diǎn)P（-5）于點(diǎn)C（-4）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P（-1，1點(diǎn)P（-1）于點(diǎn)D，0左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P（1，1點(diǎn)P（1，1）關(guān)于點(diǎn)A（0）轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（-3，3點(diǎn)P與點(diǎn)P重，點(diǎn)P與重，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，3）點(diǎn)P的標(biāo)為（-5，34、解）圖1，BC是ABC關(guān)于直線成軸稱的圖形；（2）當(dāng)△以每秒1個(gè)位的速度向下平移x秒時(shí)如圖2則有：MA=x，MB=x+4，y=S梯形-S=

114+20）-×20x-×4×422=2x+40（0≤x≤16由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=0時(shí)，取最小值，且y最=40，當(dāng)x=16時(shí)，取得最大值，且y最大2×16+40=72（3）解法一：當(dāng)△繼以每秒1個(gè)單位長速度向右平移時(shí)，此時(shí)16≤x，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x∴y=S梯-Seq\o\ac(△,=)

11（4+20）-×20×（32-x）-×4×422（16≤x由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=32時(shí)，取得最小值，且y最小-2×32+104=40當(dāng)x=16時(shí)，取得最大值，且y最大-2×16+104=72

~解法二：在△自向右平移的過程中，△QAC在一時(shí)刻的位置都對(duì)應(yīng)2）中△某一時(shí)刻的位置，使得這樣的兩個(gè)三角形關(guān)于直線QN成軸稱．因此，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，只需考查△在上至下平移程中面積的變化情況，便可以知道在左向右平移過程QAC面積的變化情況．當(dāng)x=16時(shí)，取得最大值，且y最大72，當(dāng)x=32時(shí)，取得最小值，且y最小40．5、解）中有5個(gè)等腰三角形，，△BEO≌eq\o\ac(△,，)CFO且兩個(gè)三角形均為等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；（2）還有兩個(gè)等腰三角形，為BEOeq\o\ac(△,，)CFO如下圖所示：∵EF∥BC，，又∵∠1=∠2，∴∠1=，∴△BEO為等腰三角形，eq\o\ac(△,在)中，同理可證．∴EF=BE+CF存．（3）有等腰三角形：eq\o\ac(△,、)eq\o\ac(△,，)CFO此時(shí)EF=BE-CF，∵如下圖所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形，在△中同理可eq\o\ac(△,證)是腰三角形，此時(shí)，

~6、解：在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=