2022-2023學(xué)年上海初二下學(xué)期同步講義第16講 動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題(含詳解)

第16講動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題

運(yùn)動(dòng)變化題是隨著圖形的某一元素的運(yùn)動(dòng)變化，導(dǎo)致問題的結(jié)論改變或者保持不變的兒

何題，它揭示了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系.解題的關(guān)鍵是分清幾

何元素運(yùn)動(dòng)的方向和捷徑，注意在運(yùn)動(dòng)過程中哪些是變量，哪些不是變量，通常要根據(jù)幾何

元素所處的不同位置加以分類討論，同時(shí)，綜合運(yùn)用勾股定理、方程和函數(shù)等知識(shí)，本節(jié)課

的內(nèi)容涉及三角形、特殊的四邊形的面積問題.

模塊一：面積計(jì)算的問題

知識(shí)精講

本節(jié)主要是在函數(shù)背景下求三角形或四邊形的面積問題，較復(fù)雜的題目可以采取“割

補(bǔ)”的思想構(gòu)造較簡單的圖形進(jìn)行求解.

例題解析

例1.(2018?上海八年級期中)一次函數(shù)y=+m的圖像經(jīng)過點(diǎn)尸(-2,3),且與x軸、

＞軸分別交于點(diǎn)A、8,求△AQB的面積.

例2.(2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中)一次函數(shù)y=(m-2)廿匕付的圖像

》隨x增大而減小，且經(jīng)過點(diǎn)41,6).

求(1)mn的值；

(2)求該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積及坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離.

例3.（2019?上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（1,。），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（。,4）,直線。/〃x軸.點(diǎn)5與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱，直

線y=x+6（〃為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)3,且與直線CM相交于點(diǎn)。.

（1）求力的值和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）在x軸上有一點(diǎn)。，使的面積為8,求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在x軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P,使得APO。為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例4.(2020?上海市位育實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級月考)如圖，直線八的解析式為V=-3x+3,

且八與x軸交于點(diǎn)D,直線/2經(jīng)過點(diǎn)A,B,兩條直線交于點(diǎn)C,在直線％上存在一點(diǎn)P，使

得4ADP的面積是4ADC面積的2倍，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為

例5.(2020?上海市南匯第四中學(xué)八年級月考)如圖，直線L:y=-；x+3與x軸、＞

軸分別交于A、B兩點(diǎn)，在》軸上有一點(diǎn)。(0,9),動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度

(2)求VCOM的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間f(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)f何值時(shí)△COM絲△AOB,并求此時(shí)“點(diǎn)的坐標(biāo).

(4)當(dāng)f何值時(shí)VCOM的面積是AAOB一半，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).

例6.(2019?上海嘉定區(qū)?上外附中八年級月考)如圖，已知一次函數(shù)y=kx+3的圖形經(jīng)

過點(diǎn)A(1,m),與x軸、y軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，且NAB0=45°,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(3,0)

(1)求m的值；

(2)聯(lián)結(jié)CD、AD,求4ACD的面積；

(3)設(shè)點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NADC=/ECD時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

例7..(2019?上海市市西初級中學(xué)八年級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

A(-6,0),8(T,3),邊AB上有一點(diǎn)P(機(jī),2),點(diǎn)。，。分別在邊Q4,OB上，聯(lián)結(jié)

CD,CD!/AB,聯(lián)結(jié)PC,PD，BC.

(1)求直線A8的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)/?在射線BC上，SMHO^SARIiO,請直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo).

例8.（2020?上海嘉定區(qū)?八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知一次函數(shù)

4

丫=一一無+匕的圖像與》軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的

3

面積為6.

（1）直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含8的代數(shù)式表示）；

（2）求b的值;

4

（3）如果一次函數(shù)y=—+8的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,m）,

其中機(jī)＞0,試用含機(jī)的代數(shù)式表示△ABC的面積.

例9.（2020?上海金山區(qū)?八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)

y="儀。0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（l,g）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,6）.

（1）求Z的值：

（2）求△。山的面積；

（3）若點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合）在此正比例函數(shù)（左。0）圖像上，且點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為

a,求AABC的面積.（用a的代數(shù)式表示）

3

例10.(2019?上海市西延安中學(xué)八年級期中)已知一次函數(shù)y=--x+6的圖象與坐標(biāo)軸交

于A、B點(diǎn)(如圖)，AE平分NBAO,交x軸于點(diǎn)E.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求直線AE的表達(dá)式；

(3)過點(diǎn)B作BFJ_AE,垂足為F,連接0F,試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積.

例11.如圖，已知直線/：y=-2x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)8、C,將直線y=x向上平移

1個(gè)單位長度得到直線用，點(diǎn)。是直線PA與y軸的交點(diǎn)，求四邊形P3W的面積.

例12.如圖，已知直線48：y=x+2與直線"：y=gx交于點(diǎn)4與直線如：y=3x交于

例13.如圖，已知直線y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于48兩點(diǎn)，直線/經(jīng)過原

點(diǎn)，與線段4?交于點(diǎn)。，把△力如的面積分為2：1兩部分，求直線/的解析式.

例14.如圖，已知，在矩形力靦中，AB=IO,於12,四邊形夕瀏的三個(gè)頂點(diǎn)反

F、〃分別在矩形4a?邊4?、BC,加上，AE=2.

(1)如圖1,當(dāng)四邊形3為正方形時(shí)，求△67U的面積；

(2)如圖2,當(dāng)四邊形濟(jì)皿為菱形，且ma時(shí)，求△(；尸C的面積.(用含。的代數(shù)式表

示)

例15.如圖1,正方形4%力的邊長為2,點(diǎn)/(0,1)和點(diǎn)〃在y軸正半軸上，點(diǎn)8、。在第

一象限，一次函數(shù)y=Ax+2的圖像/交/久切分別于氏F.

(1)若△戚與△應(yīng)尸的面積比為1：2,求力的值;

(2)聯(lián)結(jié)跖當(dāng)花平分/物時(shí)，求才的值.

例16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)尸2x+12的圖像分別交x軸、y軸于4、6兩

點(diǎn)，過點(diǎn)力的直線交y軸正半軸于點(diǎn)北且點(diǎn)材為線段如的中點(diǎn).

(1)求直線4"的表達(dá)式；

(2)試在直線44/上找一點(diǎn)只使得見.=心“的請求出點(diǎn)夕的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)〃為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)//,使以/、B、M、〃為頂點(diǎn)的四邊

形

是等腰梯形?若存在，請直接寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例17.如圖1,已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)/(2,0),一是函數(shù)尸x(x>0)圖像上一點(diǎn)，PQL

4。交y軸正半軸于點(diǎn)Q.

(1)試證明：AP=PQ；

(2)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為a,點(diǎn)0的縱坐標(biāo)為b,那么6關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式是—

(3)當(dāng)叢的=-力,小時(shí)，求點(diǎn)夕的坐標(biāo).

3

模塊二：與面積相關(guān)的函數(shù)解析式

知識(shí)精講

本節(jié)主要研究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的背景下，產(chǎn)生的面積與動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是找出決定這

個(gè)面積變化的幾個(gè)量是怎樣變化的，重點(diǎn)在于思維能力的培養(yǎng)，難度較大.

例題解析

例1.如圖，矩形力中，/1,4分2,M是5的中點(diǎn)，點(diǎn)〃在矩形的邊上

沿Af3f運(yùn)動(dòng),試寫出△?!掰的面積y與點(diǎn)夕經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關(guān)系，

寫出定義域，并畫出函數(shù)圖像.

DM

例2.如圖，在梯形中，AD//BC,AB=CAAD=5cm,BC=11an,點(diǎn)、P從點(diǎn)、D出發(fā)沿DA

邊以每秒lc/?的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)6出發(fā)沿式'邊以每秒2c必的速度移動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)

4時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。同時(shí)停止移動(dòng)），假設(shè)點(diǎn)戶移動(dòng)的時(shí)間為x（秒），四邊形的少的面積為

y{CHI'）.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（2）在移動(dòng)的過程中，求四邊形少的面積與四邊形。物的面積相等時(shí)x的值；

（3）在移動(dòng)過程中，是否存在x使得加=力8若存在，求出所有的x的值；若不存

在,

請說明理由.

例3.已知：如圖1,在線段4■的同側(cè)作正方形力及力和正方形戚G（班V46）,連結(jié)￡G并

延長交"于點(diǎn)M作協(xié)U/18,垂足為爪朗V交劭于尸.設(shè)正方形/以力的邊長為1.

（1）證明：XCMG烏IXNBP；

（2）設(shè)班'=x,四邊形1儂V的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）如果按照題設(shè)方法作出的四邊形滋娘是菱形，求原的長.

ANB

例4.己知：在梯形儂力中，AD//BC,/6=90°,/8=8C=4,點(diǎn)￡在邊加上，CE=CD.

(1)如圖1,當(dāng)/及力為銳角時(shí)，設(shè)4?=%△口!應(yīng)的面積為必求y與x之間

的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)加5時(shí)，求△儂的面積.

例5.如圖1,四邊形的比是矩形，點(diǎn)/、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1),點(diǎn)〃是線段比1

上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)8、C不重合)，過點(diǎn)〃作直線》=-'彳+〃?交折線。16于點(diǎn)￡

2

(1)當(dāng)點(diǎn)創(chuàng)合為四中點(diǎn)時(shí)，求必的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)6在線段的上，記應(yīng)的面積為y,求y與0的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；

(3)當(dāng)點(diǎn)￡在線段的上時(shí)，若矩形的a1關(guān)于直線場的對稱圖形為四邊形。4臺(tái)6,

試判斷四邊形U46G與矩形的%的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，寫出該重疊部

分的面積；若改變，寫出重疊部分面積S關(guān)于0的函數(shù)關(guān)系式.

例6.如圖1,在正方形/皮力中，點(diǎn)/在邊上(點(diǎn)￡與點(diǎn)48不重合)，過點(diǎn)￡■作用，

DE,R7與邊8C相交于點(diǎn)E與邊力的延長線相交于點(diǎn)G.

(1)當(dāng)￡是18中點(diǎn)時(shí)，求證力(7=班

(2)當(dāng)￡在邊48上移動(dòng)時(shí)，觀察班'、AG.4E?之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你所

得

到的結(jié)論；

(1)聯(lián)結(jié)骯如果正方形的邊長為2,設(shè)4?=x,△%的面積為y,求y與x之間

的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域.

例7.如圖1,梯形/靦中，AD//BC,ZJ9=90°,49=18,8c=21.點(diǎn)戶從點(diǎn)/出發(fā)沿

以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)〃勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C沿⑵以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)E勻

速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)只。同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)四=10時(shí)，設(shè)小B、Q、尸四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為S,求S關(guān)于2的函數(shù)關(guān)系式，

并寫出定義域：

(2)設(shè)昆戶為48、繆的中點(diǎn)，求四邊形/W是平行四邊形時(shí)力的值.

例8.如圖1,在菱形力物中，N5=45°,48=4.左右作平行移動(dòng)的正方形瓦詡的兩個(gè)

頂點(diǎn)尺G始終在邊回上.當(dāng)點(diǎn)G到邊6c中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)6恰好在邊四上.

(1)如圖1,求正方形如笫的邊長；

(2)設(shè)點(diǎn)8與點(diǎn)廠的距離為x,在正方形乃叩作平行移動(dòng)的過程中，正方形必Q/與菱形

/版重疊部分的面積為必求y與x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)聯(lián)結(jié)欲HC,當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求郎的長.

例9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形。是矩形，4(0,4),0(5,

0),點(diǎn)〃是y軸正半軸上一點(diǎn)，將四邊形物比沿著過點(diǎn)〃的直線翻折，使得點(diǎn)0落在線段

18上的點(diǎn)￡1處.過點(diǎn)￡■作y軸的平行線與x軸交于點(diǎn)兒折痕與直線EV交于點(diǎn)M聯(lián)結(jié)

DE、OM.設(shè)OD=t,MN=s.

(1)試判斷四邊形瓦M(jìn)V的形狀，并證明；

(2)當(dāng)點(diǎn)〃在線段如上時(shí)，求s關(guān)于，的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)用含力的代數(shù)式表示四邊形加M與矩形的肥重疊部分的面積.

B

—?>

Ov

例10.已知：如圖1,梯形4%》中，AD//BC,N4=90°,ZC=45°,45=49=4.￡?是直

線加上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)圾過點(diǎn)￡作牙工緲交直線繆于點(diǎn)尸.聯(lián)結(jié)冊

（1）若點(diǎn)V是線段四上一點(diǎn)（與點(diǎn)4〃不重合），（如圖1所示）

①求證：BE=EF；

②沒DE=x,△婀的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域；

（2）直線］〃上是否存在一點(diǎn)E,使△戚是△/應(yīng)1面積的3倍，若存在，直接寫出必的長，

若不存在，請說明理由.

例11.如圖，已知正方形力靦的邊長為3,菱形砒7/的三個(gè)頂點(diǎn)反G、〃分別在正方形的

邊18、CD、的上，AH=\,聯(lián)結(jié)〃

(1)當(dāng)〃G=1時(shí)，求證菱形以創(chuàng)為正方形；

(2)費(fèi),DG=x,的面積為y,寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；

(3)當(dāng)及?=&6時(shí)，求/肱的度數(shù).

3

例12.已知：如圖，四邊形力■的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為0(0,0),1(8,0),5(4,4),

C(0,4),直線/：y=x+勿保持與四邊形fl48c的邊交于點(diǎn)M、加(M在折線40C上，/￥在

折線/6C上).設(shè)四邊形28C在/右下方部分的面積為S,在/左上方部分的面積為$,

記5=6—￡(520).

(1)求的大小；

(2)當(dāng)以/V重合時(shí)，求/的解析式；

(3)當(dāng)后0時(shí)，線段16上是否存在點(diǎn)兒使得S=0?若存在，求加的值；若不存在，請

說明理由;

(4)求S與必的函數(shù)關(guān)系式.

例13.在邊長為4的正方形485中，點(diǎn)。是對角線4。的中點(diǎn)，戶是對角線上一動(dòng)點(diǎn)，過

氤P作PELCD于點(diǎn)、F,作砌_如交直線切于點(diǎn)色設(shè)序=x,S^cE=y.

(1)求證：DAEF；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段4。上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；(3)點(diǎn)夕在

運(yùn)動(dòng)過程中能否使笫為等腰三角形?如果能，請直接寫出身的長；如果不能，請簡單說

明理由.

隨堂檢測

L如圖，直線y=-±x+4與y軸交于點(diǎn)4,與直線y=3x+3交于點(diǎn)8,且直線y=±x+±

355-55

與*軸交于點(diǎn)G求△力比的面積.

2.已知直線y=-x+2與x軸、y軸分別交于1點(diǎn)和6點(diǎn)，另一條直線丫=依+優(yōu)女*0)經(jīng)過

點(diǎn)。(1,0),且把△力仍分成兩部分.若△/如被分成的兩部分面積比為1：5,求A和方

的值.

3.直線y=-(x+6與坐標(biāo)軸分別交與點(diǎn)4、6兩點(diǎn)，點(diǎn)只0同時(shí)從。點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)4

點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止.點(diǎn)0沿線段以運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)一沿0-8fA運(yùn)

動(dòng).

(1)直接寫出4、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，△質(zhì)的面積為S,求出S與f之間的函數(shù)關(guān)系；

(3)當(dāng)5=竺時(shí)，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)。、P、0為頂點(diǎn)的平行四

5

邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)"的坐標(biāo).

4.如圖，已知：過點(diǎn)1(8,0)、B(0,8百)兩點(diǎn)的直線與直線>=氐交于點(diǎn)G平行

于y軸的直線，從原點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向右平移，到C點(diǎn)時(shí)停

止；/分別交線段6C、8于點(diǎn)〃、E,以龍為邊向左側(cè)作等邊△廢汽，設(shè)△龐尸與△以力重

疊部分的面積為S(平方單位)，直線/的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).

(1)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和t的取值范圍；

(2)求s與/的函數(shù)關(guān)系式.

第16講動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題

運(yùn)動(dòng)變化題是隨著圖形的某一元素的運(yùn)動(dòng)變化，導(dǎo)致問題的結(jié)論改變或者保持不變的兒

何題，它揭示了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系.解題的關(guān)鍵是分清幾

何元素運(yùn)動(dòng)的方向和捷徑，注意在運(yùn)動(dòng)過程中哪些是變量，哪些不是變量，通常要根據(jù)幾何

元素所處的不同位置加以分類討論，同時(shí)，綜合運(yùn)用勾股定理、方程和函數(shù)等知識(shí)，本節(jié)課

的內(nèi)容涉及三角形、特殊的四邊形的面積問題.

模塊一：面積計(jì)算的問題

知識(shí)精講

本節(jié)主要是在函數(shù)背景下求三角形或四邊形的面積問題，較復(fù)雜的題目可以采取“割

補(bǔ)”的思想構(gòu)造較簡單的圖形進(jìn)行求解.

例題解析

例1.(2018?上海八年級期中)一次函數(shù)y=+m的圖像經(jīng)過點(diǎn)尸(-2,3),且與x軸、

＞軸分別交于點(diǎn)A、3,求△AO8的面積.

【答案】-

4

【詳解】先將點(diǎn)。坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可求出加值，再根據(jù)函數(shù)解析式求出/、6兩點(diǎn)坐

標(biāo)即可求出AAOB的面積.

解：將尸(―2,3)代入y=-2x+m得，

m=-1,

/.y=-2x-l.

當(dāng)y=0時(shí)，x=-g,

???點(diǎn)力坐標(biāo)為(——,0),

2

當(dāng)冗=0時(shí)，y=-l,

???點(diǎn)夕坐標(biāo)為(0,-1),

/.OA=—,0B=1.

2

SACR—~,OA-OB=—x—xl.

-A°B2224

例2.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）一次函數(shù)＞=（〃?-2）/匕吁2+〃的圖像

＞隨x增大而減小，且經(jīng)過點(diǎn)A（l,6）.

求（1）mn的值；

（2）求該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積及坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離.

27

【答案】（1）加=-9;（2）該宜線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為一，坐標(biāo)原點(diǎn)到直

2

線的距離為2廂.

10

【分析】（1）由一次函數(shù)的定義和性質(zhì)列出方程和不等式求出m的值，代入A點(diǎn)坐標(biāo)，可

求出n值；

（2）山解析式可得》軸截距與X軸截距，然后根據(jù)三角形面積公式求解；利用勾股定理求

出直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的斜邊長，然后用等積法求解.

【詳解】解：（1）???y=（x-2）x""2"，-2+”是一次函數(shù)

nr—2m—2=1

即（加一3）（，〃+1）=0

解得班=3；㈣=-1.

又y隨％增大而減小

m-2＜0

即機(jī)＜2

m--\

一次函數(shù)解析式為：y=-3x+〃

代入點(diǎn)A（l,6）得6=-3+〃

n=9

mn--9

（2）由（1）得：y=-3x+9

丁軸截距：b=9

b9

x軸截距：一7=--=3

k-3

，該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；5=-.&.-1=-x3x9=^

2k22

該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的斜邊長：+匕2=V32+92=3M

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為/l.

WS=-x3V10x/7=—

22

h=—Vio

10

???坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為2屈.

10

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟

練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

例3.（2019?上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（1,。），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（。,4）,直線。/〃x軸.點(diǎn)5與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱，直

線y=x+6（〃為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)3,且與直線CM相交于點(diǎn)。.

（1）求6的值和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）在％軸上有一點(diǎn)。，使的面積為8,求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在％軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P,使得APOO為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)b=l,0(3,4)；(2)0(3,0)或&(-5,0).(3)存在.耳(5,0)或￡(6,0)或

25

仁).

【分析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由直線過點(diǎn)B,把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，可求得b的

值；點(diǎn)D在直線CM上，其縱坐標(biāo)為4,利用求得的解析式確定該點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可；

(2)過點(diǎn)。作軸，根據(jù)三角形面積公式求出BQ的長，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)aPOD為等腰三角形，有三種情況：OP=OD,PD=OD,PD=PO,故需分情況

討論，要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離即司一；

【詳解】

解：(1)???8與A(l,0)關(guān)于原點(diǎn)對稱

5(-1,0)

???y=x+b過點(diǎn)8

—14-Z?=0

b=\

y=x+l

當(dāng)y=4時(shí)，x+l=4

x=3

0(3,4)

.?b=l,0(3,4).

(2)過點(diǎn)。作軸，垂足為￡,則。E=4OE是在邊BQ上的高.

S&J3QD=5BQ?DE=8

BQ=4

在x軸上存在兩個(gè)。點(diǎn)滿足條件.

即：9(3,0)或0(-5,0).

(3)存在.

0D=\IOC2+CD2=>/42+32=5

①當(dāng)。尸=8時(shí)

；OP=OD=5,0(0,0)

6(5,0)

②當(dāng)PO=OD時(shí)

?/PD=OD,DE±x

???DE是OP邊得中線

OE=PE

vDEA.X,OD=5,DE=4

OE=3

OP=6

￡(6,0)

③當(dāng)PD=PO時(shí)

設(shè)P(a,0)

???PD=PO

：.PD=a

???在RtAPED中,PD=a,PE=a-3,DE=4

ci~=(a—3)~+4"

25

解得：a=—.

6

25

,0)

6

25

綜上所述:耳(5,0)或g(6,0)或居(3,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，?次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰三

角形的判定和性質(zhì)，注意分情況討論是解決本題的關(guān)鍵.

例4.（2020?上海市位育實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級月考）如圖，直線/i的解析式為y=-3x+3,

且人與x軸交于點(diǎn)D,直線八經(jīng)過點(diǎn)A,B,兩條直線交于點(diǎn)C,在直線人上存在一點(diǎn)P，使

得4ADP的面積是4ADC面積的2倍，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為

y

h\h

X(4,0)X

3

2

【答案】（8,6）或（0,-6）

【分析】已知L的解析式，令y=0求出D點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)k的解析式為y=kx+b,由圖聯(lián)立

方程組求出k,b的值，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而可求出S^wc,△ADP與△

ADC底邊都是AD,根據(jù)AADP的面積是aADC面積的2倍，可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】由丫=~^+3,令y=0,得-3x+3=0,

x=1,

AD(1,0)；

設(shè)直線L的解析表達(dá)式為y=kx+b,

3

由圖象知:x=4,y=0；x=3,y=—,代入表達(dá)式y(tǒng)=kx+b,

2

4k+b=0

3

3k+b=--

2

,3

k=-

2,

b=-6

3

直線L的解析表達(dá)式為y=-x-6

2;

y=-3x+3

由，尸*6

x=2

解得《

y=-?>

AC(2,T),

VAD=3,

19

SAABC―—X3X-3=一,

22

VAADP與△ADC底邊都是AD,AADP的面積是4ADC面積的2倍，

/.△ADC高就是點(diǎn)C到直線AD的距離的2倍，

即C縱坐標(biāo)的絕對值=6,則P到AD距離=6,

...點(diǎn)P縱坐標(biāo)是±6,

3

Vy=—x-6,y=6,

2

3

A-x-6=6,

2

解得x=8,

.-.P.(8,6).

3

"."y—-x-6,y=6

2

.3。八

..-x-6--6,

2

解得x=0,

.\P，(0,-6)

綜上所述,Pi(8,6)或R(0,-6).

故填：(8,6)或(0,-6).

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算等有關(guān)知識(shí)，利用圖象上點(diǎn)的

坐標(biāo)得出解析式是解題關(guān)鍵.

例5.(2020?上海市南匯第四中學(xué)八年級月考)如圖，直線L：y=—；x+3與x軸、＞

軸分別交于A、B兩點(diǎn)，在V軸上有一點(diǎn)C(0,9),動(dòng)點(diǎn)M從4點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度

沿x軸向左移動(dòng).

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)求VCOM的面積S與A7的移動(dòng)時(shí)間f(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)f何值時(shí)△COM也△AO8,并求此時(shí)“點(diǎn)的坐標(biāo).

(4)當(dāng)/何值時(shí)VCQ0的面積是AAOB一半，并求此時(shí)〃點(diǎn)的坐標(biāo).

Q1

-9r+y(O<Z<4.5)

【答案】(1)A(9,0)；(2)B(0,3)；(2)S=<(3)當(dāng)t=3,M(3,

嗔(，>4.5)

。)，當(dāng)t=6,M(-3,。)；⑷當(dāng)t寺，當(dāng)(-I，。)

【分析】(1)對于L：y=-gx+3,令x=0可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0可求出A點(diǎn)坐標(biāo);

(2)分點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式解答即可；

(3)分點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式求出t的值，進(jìn)而可

求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(4)根據(jù)三角形的面積公式列式求出0M的長，進(jìn)而分點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況，

可求出t的值及點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】解：⑴當(dāng)x=0時(shí),y=3,

；.B(0,3).

當(dāng)y=0時(shí)，0=--x+3,x=9,

3

AA(9,0)；

(2)9+2=4.5秒,

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即0WtW4.5時(shí)，由題意得，0M=9-2t,

|1Q1

：.S^-OMOC=-(9-2t)x9-9t+—.

22V'2

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即t>4.5時(shí)，由題意得，0M=2t-9,

11Q1

：.S=-OM-OC=-(2t-9}x99t--,

22V'2

Q1

-9/+y(O<r<4.5)

9?-y(r>4.5)

(3)當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即0WtW4.5時(shí),

AOM-OB,

A9-2t=3,

t=3,

/.0M=9-6=3,

AM(3,0)；

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即t>4.5時(shí),

■:^COM^AAOB,

.\OM=OB,

.,.2t-9=3,

；.t=6,

；.0M=12-9=3,

AM(-3,0)；

綜上可知，當(dāng)t=3,M(3,0),當(dāng)t=6,M(-3,0)；

1127

(4)SAAOB=—OA-OB=-x9x3=—,

222

11127

：.-OMOC=-OMx9=-x—

2222

3

2

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí),

3

9-21--,

2

.t_15

??I-,

4

3

此時(shí)M(一,0)；

2

當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí),

3

2t-9=—,

2

.t_21

“了，

3

此時(shí)M(一一，0),

2

綜上可知，當(dāng)t=，，M(—,0)；當(dāng)1=下，M(,0).

4242

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)，以及

分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解答本題的關(guān)鍵.

例6.(2019?上海嘉定區(qū)?上外附中八年級月考)如圖，已知一次函數(shù)y=kx+3的圖形經(jīng)

過點(diǎn)A(1,in),與x軸、y軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，且NAB0=45°,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(3,0)

(1)求m的值；

(2)聯(lián)結(jié)CD、AD,求4ACD的面積；

(3)設(shè)點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NADC=/ECD時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

3

【答案】(1)m=4；(2)S/。=3；(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5,0)或(6,0).

【分析】(1)求出點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可解決問題；

(2)根據(jù)=SJBD-SRCD進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)分點(diǎn)E在點(diǎn)D左側(cè)和點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)兩種情況，分別求出直線CEi和直線CE?的解析

式即可得到對應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo).

【詳解】解：(1)???一次函數(shù)y=kx+3的圖象與x軸、y軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，Z

AB0=45°,

.*.0B=0C=3,

AB(-3,0),

將B(-3,0)代入y=kx+3得：0=-3k+3,

解得：k=l,

工直線BC的解析式為：y=x+3,

當(dāng)x=l時(shí)，y=x+3=4,

，m=4；

(2)VB(-3,0),C(0,3),D(3,0),A(1,4),

ABD=6,

sACO=S-S=，倉K4--^3=3；

t^ArKBisDu△zBjcCzDy22

(3)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，

'.'ZADC=ZEICD,

AAD/ZCEi,

設(shè)直線AD的解析式為:y=kix+b(k#0),

(4=%+8

代入A(L4),D⑶。)得:二.解得:]k[=—2

b=6

工直線AD的解析式為：y=-2x+6,

故設(shè)直線CEi的解析式為：y=-2x+c,

代入C(0,3)得：c=3,

???直線CEi的解析式為：y=-2x+3,

3

當(dāng)y=0時(shí)，解得：尢=一,

2

3

.'.E)(-,0)；

2

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，AD與CEz交于點(diǎn)F,

VZADC=ZE2CD,

???FC=FD,

V0B=0D=3,ZAB0=45°,

AZCDB=45°,

AZACD=45°+45°=90°,即NACF+NFCD=90°,

VZCAF+ZFDC=90°,

.'.ZACF=ZCAF,

.\FC=FA,

???F為線段AD的中點(diǎn),

??.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,2),

設(shè)直線CE?的解析式為：y=k2x+3,

代入F(2,2)得：2=2月+3,解得：&=一g，

直線C&的解析式為：y=—(x+3,

當(dāng)y=0時(shí)，解得：x=6,

,?.E2(6,0),

3

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一，0)或(6,0).

2

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與兒何綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，-次函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.

例7..(2019?上海市市西初級中學(xué)八年級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

4—6,0),8(-4,3),邊A3上有一點(diǎn)P(m,2),點(diǎn)。，。分別在邊Q4,OB上，聯(lián)結(jié)

CD,CD//AB,聯(lián)結(jié)PC,PD，BC.

(1)求直線AB的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2當(dāng)CQ=8Q時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)R在射線上，SMB0=S&RBO,請直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo).

314

【答案】(1)直線AB解析式為y=-x+9,P點(diǎn)坐標(biāo)為(-一，2)(2)C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,

23

0)(3)R(2,-6).

【分析】(1)由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，再把P點(diǎn)坐

標(biāo)代入直線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由條件可證明△BPQ四△0)€),可證得四邊形BDCP為平行四邊形，由B、P的坐標(biāo)可求

得BP的長，則可求得CD的長，利用平行線分線段成比例可求得0C的長，則可求得C的坐

標(biāo)；

(3)由條件可知AR〃B0,故可先求出直線OB,BC的解析式，再根據(jù)直線平行求出AR的

解析式，聯(lián)立直線AR、BC即可求出R點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,

\-4k+b=3k=-

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得《〃，八，解得<2,

-6k+b=Q

b=9

3

直線AB解析式為y=-x+9,

2

,/P(九2)在直線AB上,

3-14

.'.2——m+9,解得m=---,

23

14

.?.P點(diǎn)坐標(biāo)為(-一，2)；

3

(2)CD//AB.

.,.ZPBQ=ZDCQ,

在和aDCQ中

ZPBQ=NDCQ

<CQ=BQ

NPQB=ZDQC

.'.△PBQ^ADCQ(ASA),

ABP=CD,

???四邊形BDCP為平行四邊形，

14

???8(-4,3),(■—,2),

3

.\CD=BP=J(-4+y)2+(3-2)2=--,

VA(-6,0),

???OA=6,AB=J(-4+6,+(3-0)2=岳,

；CD〃AB,

.'.△COD^AAOB

y/l3

?COCD

upco,解得co=2,

■AO~AB

6-V13

；.C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)；

(3),?=S\RBO，

二點(diǎn)A和點(diǎn)R至IJBO的距離相等,

.,.BO//AR,

3

設(shè)直線BO的解析式為尸nx,把8(-4,3)代入得3=-如，解得n=—-x

4

3

?,?宜線BO的解析式為y二-一x,

4

3

???設(shè)直線AR的解析式為y=--x+e,

4

3

把A(-6,0)代入得0=--X(-6)+e

9

解得e=--

2

39

..?直線AR的解析式為y=--x--,

42

設(shè)直線BC解析式為y=px+q,

把C、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得《-^?k+b,-3八，解得＜

一2人+8=0

b=-3

3

［線AB解析式為y=-x-3,

2

聯(lián)立

y=--x-3

I2

x=2

解得《,

y=-6

AR（2,-6）.

【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股

定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解

題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法求111函數(shù)解析式.

例8.（2020?上海嘉定區(qū)?八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)

4

y=-的圖像與x軸、），軸分別相交于點(diǎn)A、B,且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的

面積為6.

（1）直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)3的坐標(biāo)（用含匕的代數(shù)式表示）；

（2）求2的值;

4

（3）如果一次函數(shù)y=—+8的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,m）,

其中機(jī)＞0,試用含機(jī)的代數(shù)式表示△ABC的面積.

33

【答案】⑴A(-^O)；8(0,b)(2)±4(3)-m+10

4

【分析】(1)由一次函數(shù)y=-gx+8的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,令y二。求

Hlx,得到A點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0,求出y,得到B點(diǎn)坐標(biāo)；

4

(2)根據(jù)一次函數(shù)y=-］無+人的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為6列出方程,

即可求出b的值；

4

(3)根據(jù)一次函數(shù)y=--x+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，得出b=-4,確定A(-3,

33

0),B(0,-4).利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再求出D(0,—m),那么BD二g

m+4,再根據(jù)SAABC^S△ABI)+SADBCf即可求解.

4

【詳解】解：(1)???一次函數(shù)支--x+b的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,

3

433

???當(dāng)y=0時(shí)，x+b=O,解得x=-b,則A(—b,0),

344

當(dāng)x=0時(shí),y=b,則B(0,b)；

故A(-b,O)；B(O,b)；

4

ii3

(2)-S^OB=-OA.OB=---h-\b\^6

b2=16?

h=±4；

(3)???函數(shù)圖像經(jīng)過二、三、四象限,

b=Y,

4)

；?y=-X—4.

3

.??4—3,0),5(0,-4).

設(shè)直線AC的解析式為y=&+r,

0=—3k+1

將A、C坐標(biāo)代入得＜

m=2k+t

解得《

3

設(shè)直線AC與y軸交于點(diǎn)D，則r＞（O,-/n）.

3

...BD^-m+4

5

133

???^BC=--（-/n+4）.（3+2）=-/?+10.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，利

用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.

例9.（2020?上海金山區(qū)?八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)

y=履（％W0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（l,'，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,6）.

（1）求女的值；

（2）求△。鉆的面積；

（3）若點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合）在此正比例函數(shù)丁=日（攵。0）圖像上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

a,求A4BC的面積.（用。的代數(shù)式表示）

【答案】⑴％=；：⑵SAOAB=1；(3)=54-5或SAABC=5。

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求在的值;

（2）求直線仍的解析式，從而求得〃點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求解；

（3）過點(diǎn)C做宙Ly軸，一交AE于點(diǎn)、E,求得直線用的解析式，從而求得瓦點(diǎn)坐標(biāo)，然后

利用三角形面積公式求解

【詳解】解：⑴將4（1」）代入正比例函數(shù)>=履（左。0）中得：k=-

（2）設(shè)直線協(xié)的解析式為丁=如，將川2,6）代入，得：

2m=6,解得：m-3

，直線如的解析式為：y=3x

過點(diǎn)/I作4ax軸，交仍于點(diǎn)〃

^AOAB=2X2A。=~

（3）由題意可得：C點(diǎn)坐標(biāo)為

過點(diǎn)C做血y軸，交四于點(diǎn)6

設(shè)直線四的解析式為y=《x+b,將41,；）,川2,6）代入，得:

,1[,11

L+b=-k、=—

?12,解得：\'2

2k]+b=6h=-5

...直線4f的解析式為：>=日》一5

￡點(diǎn)坐標(biāo)為（百〃）

I，一w

：.EC-

11111

111010