黑龍江省大興安嶺市漠河縣一中數(shù)學(xué)新人教A版必修4學(xué)案2.5.1平面幾何的向量方法

2.5.1平面幾何的向量方法一、三維目標(biāo)：知識(shí)與技能：能用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．了解向量是一種處理幾何問的工具。過程與方法：通過具體例子，體會(huì)利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題的方法的步驟。情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，合作探究，勇于創(chuàng)新，多方位審視問題的方法和技巧。二、學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：能用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。難點(diǎn)：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，靈活利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算求解。三、學(xué)法指導(dǎo)：向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。向量解決幾何問題就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接化為向量，對這些向量借助它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算的結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果。四、知識(shí)鏈接：1向量求和的法則：①三角形法則②平行四邊形法則2向量減法的法則：3向量共線定理：五、學(xué)習(xí)過程：問題1.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長ABABCD證明:平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和。規(guī)律總結(jié)：(1)合理地選擇基底是解決好問題的第一步，雖然任意兩個(gè)不共線的向量都可以作基底，但選擇恰當(dāng)與否直接關(guān)系到解題過程的簡單與復(fù)雜．(2)幾何問題用向量法解決體現(xiàn)出了較強(qiáng)的優(yōu)勢，有關(guān)線段的長度、平行、夾角等問題都可以考慮向量法．練習(xí)：用向量法證明直徑所對的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。求證ABCO問題2.你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問題的基本思路嗎？用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。簡述：形到向量------向量的運(yùn)算------向量和數(shù)到形ABCDEABCDERTF六、達(dá)標(biāo)檢測：1.平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．2.以△ABC的兩邊AB、AC為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF，M為BC的中點(diǎn)，求證：AM⊥EF。3.如右圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN＝1/3BD，求證：M、N、C三點(diǎn)共線．七、學(xué)習(xí)小結(jié)：八、課后反思：

2.5.1平面幾何的向量方法的答案例1、已知：平行四邊形ABCD，求證：.分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌吰叫星蚁嗟?，故設(shè)其它線段對應(yīng)向量用它們表示。解：設(shè)，∴練習(xí)：分析：要證∠ACB=90°，只須證向量，即。解：設(shè)則，由此可得：即，∠ACB=90°。例2、解：設(shè)則由于與共線，故設(shè)又因?yàn)楣簿€，所以設(shè)因?yàn)樗跃€，，故AT=RT=TC。達(dá)標(biāo)檢測：解：設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.而|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，即|a－b|＝2，∴(a－b)2＝4，a2－2a·b＋b2＝4.又a2＝1，b2＝4，∴2a·b＝1.又|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).解：如下圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝c，eq\o(AE,\s\up6(→))＝d.則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b).eq\o(EF,\s\up6(→))＝c－d，因?yàn)閍·c＝0，b·d＝0，|a|＝|c|，|b|＝|d|.∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·(c－d)＝eq\f(1,2)(b·c－a·d)．而a·d＝|a||d|cos∠EAB，b·c＝|b||c|cos∠FAC，∠EAB＝∠FAC.∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，AM⊥EF.3、分析：本題主要考查向量的線性運(yùn)算及用向量法證明多點(diǎn)共線問題，欲證M、N、C三點(diǎn)共線，只需證明eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(MC,\s\up6(→))即可．證明：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))，∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))①，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1