第四章常微分方程

第四章常微分方程

§4.1微分方程的一般概念

4.1.1一般概念

1)常微分方程

在研究客觀現(xiàn)象時(shí)，常常遇到這樣一類物理問(wèn)題，其中某個(gè)物理量和其他變量之

間的函數(shù)依賴關(guān)系是未知的，但是這個(gè)未知函數(shù)以及它的某些階的導(dǎo)數(shù)連同自變量可以

由一個(gè)已知的方程聯(lián)系在一起，這樣的方程稱為微分方程。如果未知函數(shù)是一元的，那

末對(duì)應(yīng)的微分方程稱為常微分方程；如果未知函數(shù)是多元的，那末對(duì)應(yīng)的微分方程稱為

偏微分方程。

常微分方程是聯(lián)系自變量X,未知函數(shù)y和它的某些階導(dǎo)數(shù)的等式

F(x,y,y',yy(n,)=0(4.1.1)

方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n稱為這個(gè)微分方程的階，例如：y''+ly'-y2=x3

是二階常微分方程。

如果我們能夠從(4.1.1)中解出未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)y?,就可以把n階常微分方

程寫(xiě)成明顯的形式

嚴(yán)=<D(x,3,y",...,產(chǎn)))(4.1.2)

2)常微分方程的解

使常微分方程成為恒等式的函數(shù)關(guān)系稱為該常微分方程的解。如果給出的是隱函數(shù)

關(guān)系，這種解又稱為微分方程的積分。微分方程的解的求法也可稱為微分方程的積分法。

微分方程的每一個(gè)解的圖形又稱為微分方程的積分曲線。

在微分方程的積分過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)任意(積分)常數(shù)，如果常微分方程的解中所含的

獨(dú)立的任意常數(shù)(如果一個(gè)解中的常數(shù)可取任意值，稱它為任意常數(shù))的個(gè)數(shù)等于這個(gè)

微分方程的階數(shù)，這個(gè)解稱為微分方程的通解。一般來(lái)說(shuō)，〃階微分方程的通解表達(dá)式

中含有n個(gè)彼此獨(dú)立的任意常數(shù)，形成一個(gè)解函數(shù)空間。

當(dāng)微分方程通解中的任意常數(shù)取一組特定值時(shí)，所得到的結(jié)果稱為特解。常微分

方程可以有無(wú)窮多個(gè)特解，一個(gè)特解可以看成解函數(shù)空間中的一個(gè)矢量。

3)常微分方程的定解條件

實(shí)際問(wèn)題中往往需要求出滿足某種指定條件的特解來(lái),在微分方程求解過(guò)程中為了

得到特解而指定的條件稱為定解條件，一般來(lái)說(shuō)n階常微分方程需要n個(gè)獨(dú)立的定解

條件。常見(jiàn)的定解條件有初始條件和邊界條件，如果在(自變量)求解區(qū)間的起點(diǎn)給出

適當(dāng)個(gè)數(shù)的附加條件，用來(lái)確定微分方程的特解，稱為初始條件；如果在求解區(qū)間的兩

端給出適當(dāng)個(gè)數(shù)的附加條件，稱為邊界條件。

沒(méi)有定解條件時(shí)的微分方程稱為泛定方程，泛定方程配合適當(dāng)?shù)亩ń鈼l件后稱為定

解問(wèn)題。如果附加條件為初始條件，這時(shí)定解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題；如果附加條件為邊界

條件，這時(shí)定解問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題。

在物理問(wèn)題中，常見(jiàn)的自變量有空間變量x和時(shí)間變量t。未知函數(shù)隨時(shí)間變化的

關(guān)系稱為運(yùn)動(dòng)方程；未知函數(shù)隨位置變化關(guān)系稱為分布方程。泛定方程反映了系統(tǒng)隨時(shí)

間或者位置變化的內(nèi)在規(guī)律，歷史對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的影響通常用初始條件來(lái)描述，環(huán)境對(duì)分

布方程的影響用邊界條件來(lái)描述。

4.1.2常微分方程的分類

1)按階數(shù)分類

微分方程可以按照未知函數(shù)y(x)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)分為一階微分方程、二P介微分方

程和高階微分方程。

一個(gè)未知函數(shù)的n階常微分方程可以轉(zhuǎn)化為n個(gè)未知函數(shù)的一階常微分方程組，在方

程(4.1.2)中設(shè)％=>,%=V，%=yx.=就化為等價(jià)的一階常微分方程組

例如，設(shè)y=y,%=y，，2階常微分方程

y"=(D(x,y,y')(4.1.4)

就化為一階常微分方程組

[y2'=<D(x,y,,y2)

一階微分方程組的一般形式為

察=電.但%,%,??"“)(i=l,2,..、〃)(4.1.6)

dr

2)微分方程的線性與非線性

如果方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)y(x)及其各階導(dǎo)數(shù)力,尸',...,：/")都是一次時(shí)，這種方

程稱為線性微分方程，〃階線性微分方程的一般形式為

<n)

a0(x)y+4(x)嚴(yán)t+???an_{(x)y'+an(x)y=R(x),&(x)H0(4.1.7)

其中與未知函數(shù)無(wú)關(guān)的項(xiàng)R(x)稱為自由項(xiàng)。如果自由項(xiàng)不等于零，即H(x)wO時(shí)，方

程稱為非齊次的；如果自由項(xiàng)等于零時(shí)，方程稱為齊次的。

在線性微分方程中，如果未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)即,4,…,a,-,%都是常數(shù)，(4.1.7)

就稱為常系數(shù)線性微分方程，否則就稱為變系數(shù)線性微分方程。

線性微分方程的一般形式可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式如下

(n}

y+P\(x)y"T+...+p“_|My'+pn(x)y=g(x)(4.1.8)

其中系數(shù)p,(x)=q(x)/a“(x),i=l,2,…,〃-1,自由項(xiàng)g(x)=R(x)/a,(x)。

3)線性常微分算符

利用微分算符6=今，〃階線性微分方程一般形式(4.1.7)可以表示為算符形式

R，=R(X)(4.1.9)

其中

P=40(幻0"+q(x)￡)"T4----Fa“_](x)O+a“(x)(4.1.10)

是一個(gè)微分算符。從函數(shù)映射的角度看，線性微分方程(4.1.7)可以看成一個(gè)變換，把未

知函數(shù)y(x)變成自由項(xiàng)R(x)，微分算符戶具體描述了這個(gè)變換，這個(gè)變換是多一對(duì)應(yīng)

的。

顯然，微分算符戶滿足關(guān)系

方仁弘+。2%)=。凸I+。2「乃(4」」1)

這說(shuō)明與線性常微分算符對(duì)應(yīng)的微分算符戶是函數(shù)空間中的一個(gè)線性算符。

4.1.3線性常微分方程的性質(zhì)

1)定解問(wèn)題的適定性

適定性是物理問(wèn)題對(duì)其數(shù)學(xué)表達(dá)形式的一般要求，微分方程定解問(wèn)題的適定性包括

存在性、唯一性和穩(wěn)定性。

存在性和唯一性是指唯一存在滿足泛定方程和定解條件的待求函數(shù)。如果微分方程

(4.1.7)中的系數(shù)a0(t),a,⑺,…,%⑴和自由項(xiàng)R(x)在區(qū)間(t0-3,t0+8)(J>0)內(nèi)

連續(xù)，且ao(x)wO，則定解問(wèn)題

。0?)嚴(yán)'+%。)嚴(yán)”+…41?)>'+。"?)丫=砥￡)?I⑵

—=瓦,V乜)=4，…,產(chǎn)"(幻=bn-\

在該區(qū)間內(nèi)存在唯一解y=y(t)。

穩(wěn)定性是指當(dāng)定解問(wèn)題發(fā)生微小變化時(shí)，相應(yīng)解的變化也非常小。設(shè)定解問(wèn)題

(4.1.12)的解是雙.)，當(dāng)初值發(fā)生一個(gè)微小的變化況?,(i=0,1,2,…，〃一1)時(shí)，引起解也

產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的變化by(f)=y(f)-y(f)。如果解對(duì)各個(gè)初值的相對(duì)變化率都有上界

M,即

\Sy(t}ISb\<M,(i=0,l,2,…，"一(4.1.13)

則稱解.(f)具有初值穩(wěn)定性，否則稱為不穩(wěn)定的。如果進(jìn)一步而滿足條件

Umi|力⑴/閾=0,(i=0,1,2,…，〃-1)(4.1.14)

即

limy(t)=y(t)(z=1,2,???,?)(4.1.15)

則稱解對(duì)初值是漸近穩(wěn)定的。

類似地，還可以定義解對(duì)方程系數(shù)(參數(shù))或者自由項(xiàng)的穩(wěn)定性。

從函數(shù)空間的角度，線性常微分方程的定解問(wèn)題可以看成泛定方程(系數(shù)和自由項(xiàng)

集合)和定解條件到解函數(shù)空間中的映射，存在性要求泛定方程和定解條件屬于該映射

的定義域，唯一性要求該映射是單值的，而穩(wěn)定性則要求該映射具有連續(xù)性。

2)解的疊加原理

假設(shè)函數(shù)yi(x)和yKx)為齊次線性微分方程的兩個(gè)解，即為1(x)=/>2(x)=。。根

據(jù)微分算符戶的線性性質(zhì)(4.1.11),立即推出

PCC^+C2y2)=C}Py,+C2Py2=0(4.1.16)

這說(shuō)明任意兩個(gè)齊次解的線性疊加(組合)仍然是齊次解。

假設(shè)函數(shù)yh(x)為齊次解，yp(x)為非齊次解，即戶0(x)=0,Pyp(x)=R(x)。根據(jù)

性質(zhì)(4.1.11),又可以推出

P(yh+%)=Pyh+P%=R(x)(4.L17)

這說(shuō)明任意一個(gè)齊次解與一個(gè)非齊次解之和為非齊次解。

3)解的結(jié)構(gòu)

如果〃階齊次線性微分方程

""+8(x)y"T+...+p,i(x)y'+p"(x)y=0(4.1.18)

有〃個(gè)特解,(x),%(x),…，％(x)，假定這〃個(gè)特解是線性無(wú)關(guān)的，則它的通解可以由

這〃個(gè)特解線性疊加而成，即

y(x)=C,%(x)+c2y2(x)+…+Cnyn(x)(4.1.19)

其中疊加系數(shù)是任意常數(shù)。這時(shí)，我們稱{y(x)li=l,2,…為所給齊次線性微分方

程的一組基本解，它們可以看成解函數(shù)空間中的一組基。

假設(shè)弘，為，…，K是齊次線性微分方程的n個(gè)特解，可以證明其朗斯基行列式

W(x)在求解區(qū)間/內(nèi)滿足一次微分方程：

W'(x)+p,*x)W(x)=O(4.1.20)

上式的解為

W(x)=Ce^p"-'{x}dx(4.1.21)

如果這n個(gè)特解線性相關(guān)，則區(qū)間/內(nèi)所有x都有W(x)=0；如果這n個(gè)特解線

性無(wú)關(guān)，區(qū)間內(nèi)W(x)/0。(4.1.21)給出了齊次線性微分方程基本解之間的一個(gè)重要關(guān)

系。

例如，當(dāng)n=2時(shí)，方程為

y"+ptMy'+P2My=0(4.1.22)

則其朗斯基行列式W(x)為

卬")='乃("23)

M%

因此有

(&)，=X)'2-X')'2=卬⑴=_￡f"{x}dxdx

即

>2=>」(4.1.24)

這表明，只要求出了2階齊次線性微分方程的一個(gè)解，利用上式就可以得到另一個(gè)線性

獨(dú)立的解，從而求出通解y(x)=qx(x)+c,y,(x)。

對(duì)非齊次線性微分方程，只要求出它的一個(gè)特解yp(x)與對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，舸

以利用疊加原理得到非齊次通解，即

y(X)=y?(X)+qy,(x)+c2y2(x)+…+c?y?(x)(4.1.25)

§4.2線性常系數(shù)微分方程

4.2.1一般性質(zhì)

1)特征描述

n階線性常系數(shù)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

pc+Pi/7+…+pgy+p,》=g(X)(4.2.1)

其中方程的系數(shù)p*,A=1,2,…,〃都是常數(shù)，對(duì)應(yīng)的算符形式為

人人人人人人.

Py=g(x),P=P(D)=D"+PlD"-'+-+pn_tD+p?(4.2.2)

顯然,p(z)=z"+p/i+…+p,iZ+p“為一個(gè)n次多項(xiàng)式，稱為微分方程(4.2.1)

的特征多項(xiàng)式，相應(yīng)的〃次代數(shù)方程尸(z)=0稱為特征方程，特征方程的根稱為特征根。

2)特征算符的性質(zhì)

顯然，特征算符P(力)完全確定了齊次微分方程，它的性質(zhì)對(duì)齊次微分方程的求解

非常重要。注意到微分關(guān)系力/'=/'工，容易推出

尸(力)/工=/*尸(/1)(4.2.3)

進(jìn)一步有

尸(力)(加力=xeA'PW+eAxP'W(4.2.4)

這些性質(zhì)在求解齊次的線性常系數(shù)微分方程的過(guò)程中起著關(guān)鍵作用。

4.2.2齊次常系數(shù)微分方程的解

1)齊次常系數(shù)微分方程的基本解

n階齊次常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

J")+p/i)+…+p,iy，+p,,y=0(4.2.5)

根據(jù)代數(shù)基本定理，〃次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根(包括重根)，因此齊次

微分方程(425)具有n個(gè)特征根4,4…,兒,，它們滿足特征方程P(Z)=0。

考慮到特征性質(zhì)(423),對(duì)特征根4,我們有

尸(力)**=曲尸(4)=0,i=l,2,…，”(4.2.6)

這說(shuō)明指數(shù)函數(shù)R(x)=i=1,2,…,〃都是齊次微分方程(425)的解。

當(dāng)這〃個(gè)特征根4,4,…,4各不相同，即特征方程沒(méi)有重根時(shí)，解函數(shù)集合

8(x)=e%,i=1,2,…,〃線性無(wú)關(guān)，它們組成了齊次微分方程(425)的一組基本解。

當(dāng)特征方程有二重根九時(shí)，特征函數(shù)滿足條件尸(為=尸［1)=0。利用特征性質(zhì)

(423)和(4.2.4),我們得到

尸(力)/=/尸(乃=0(427)

P(力)(xe&)=x/PQ)+eZlF'(2)=0

這表明與二重根人對(duì)應(yīng)的有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，它們與其它指數(shù)函數(shù)共同構(gòu)

成了一組基本解。

類似地，特征方程有三重根九時(shí)，對(duì)應(yīng)的有三個(gè)線性無(wú)關(guān)解/"x/W/x,它們

與其它指數(shù)函數(shù)共同構(gòu)成一組基本解，其證明留給大家課后完成。

當(dāng)特征根為復(fù)數(shù)時(shí)，即A=a+i/3,a,j3eR，對(duì)應(yīng)的特解為

eaYcos/7x+isin/7x)。對(duì)于實(shí)常系數(shù)情況，其復(fù)特征根總是以共輾復(fù)數(shù)的形式成對(duì)出

現(xiàn)的，對(duì)應(yīng)的特解為ear(cos￡x土isin/7x)。習(xí)慣上我們總是把這兩個(gè)特解重新組合為

實(shí)函數(shù)形式e"，cos/3x和e"'sin/3x。

2)齊次常系數(shù)微分方程的通解

按照上面的理論，有了齊次微分方程(4.2.5)的一組基％(x),/=1,2,可以

通過(guò)線性疊加形成通解。通解的一般形式為

y(x)=C[%(x)+c2y2(x)+…+%y“(X)(4.2.8)

當(dāng)特征方程沒(méi)有重根時(shí)，其通解為

AxxAx

y(x)=cte''+c2e'---1-cne'(4.2.8a)

當(dāng)特征方程有一組二重根時(shí)，假設(shè)為=4，其通解為

xx

y(x)=qe不+c2xe^+c^'-H---Fge".'(4.2.8b)

當(dāng)特征方程有一組共鈍復(fù)根42=a±i〃時(shí)，其通解為

axaxz1A

y(x)=ctecos/3x+c2esinJ3x+c3e'+?■■+cne"'(4.2.8c)

例4.2-1：計(jì)算微分方程y"+c^y=0的通解。

解：對(duì)應(yīng)的特征方程為

分+療=0

解出特征根4.2=出口。由此得到2個(gè)線性獨(dú)立的特解產(chǎn)和,或者coscox和

sincox?于是通解為

y=Gcos(ox+c2sincox

3)初值問(wèn)題的特解

線性微分方程的初值問(wèn)題由(4.1.12)式給出，在本節(jié)的情況下簡(jiǎn)化為

…+p,Q'+p“y=0(429)

[y(0)=%,y'(0)=4,…(0)=%

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里我們?nèi)o=0。將初始條件代入通解(4.2.8),得到

J,(0)+c2y2(0)+…+c,,y?(0)=%

cI/1(0)+c2/2(0)+-.+cn/?(0)=^1

C,y。(0)+c2(0)+-+q￡i>(0)=%

由上式可以解出系數(shù)q,C2,…,c“，從而確定特解。

例4.22計(jì)算初值問(wèn)題)'"")+=°的特解。

y(0)=a,y'(0)=b

解：由例4.2-1,泛定方程的通解為

y-Jcoscot+c2sincot

將初始條件代入上面的通解，得到

[C]cos0+c2sinO=a

[一cgsin0+cos0=b

由此解出C1=a,c2=b/a),特解為y=acos(yf+S/(y)sin(yf。

4)解的穩(wěn)定性分析

下面，我們來(lái)分析常系數(shù)微分方程的初值穩(wěn)定性。

先考慮一階初值問(wèn)題

y⑺+p)3=0

(4.2.11)

)(0)=匕

對(duì)應(yīng)的特征方程為/l+p=0,特征根為X=-p=a+ip,解為y=8e"'+取。當(dāng)初值

發(fā)生微小變化66時(shí)，相應(yīng)解的變化為by=6屁切+詢，相對(duì)變化率為|by/劭1=建’。

因此，當(dāng)Re/L=a>0,問(wèn)題的解不穩(wěn)定；當(dāng)Re；l=a=(),問(wèn)題的解穩(wěn)定，但是不

是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)Re九=a<0,問(wèn)題的解是漸近穩(wěn)定。

請(qǐng)讀者考慮一下，如果方程是非齊次的，結(jié)果有沒(méi)有變化？

再考慮二階實(shí)常系數(shù)微分方程的初值問(wèn)題

y,\t)+py\t)+qy(t)=o

(4.2.12)

y(0)=%，V(0)=4

對(duì)應(yīng)的特征方程為/!?+0幾+q=0,特征根為=乂一夕±J/-4q)=%2+期.2。

當(dāng)4H4時(shí),解為y=c/產(chǎn)用'+y的,其中系數(shù)c”為初值b0,仿的線性組合。

當(dāng)初值發(fā)生微小變化仍0,劭時(shí)，相應(yīng)解的變化為Sy="唱'+%20%"泌'，相對(duì)

變化率為

|殳|=|四|.|如|+|弛"1=1組Ie卯+1生Ie%',(/=0,1)(4.2.13)

Sb-Sbt困3b.Sc2Sbi8bj

因此，如果Re<=/或Re4=%中有一個(gè)大于零，問(wèn)題的解就不穩(wěn)定；如果ReA,=%

和Re4=a?都小于零，問(wèn)題的解是漸近穩(wěn)定；在其它情況下，問(wèn)題的解穩(wěn)定，但是不

是漸近穩(wěn)定的。

a,+ifl,

當(dāng)4=4=a+,力時(shí)，解為y=(q+c2t)e.類似的推導(dǎo)表明：如果Rea=a

大于或者等于零，問(wèn)題的解就不穩(wěn)定：如果Re/l=a小于零，問(wèn)題的解是漸近穩(wěn)定。

上述穩(wěn)定性分析的方法很容易應(yīng)用到高階方程的情況。

4.2.3非齊次線性常系數(shù)微分方程的特解

非齊次線性微分方程的通解由非齊次特解與齊次通解構(gòu)成，上面我們介紹了齊次通

解的計(jì)算方法，下面我們來(lái)研究非齊次特解的解法。

1)變動(dòng)常數(shù)法

給定〃階非齊次線性微分方程(421),我們可以用下面的變動(dòng)常數(shù)法求出一個(gè)特解。

設(shè)其相應(yīng)的齊次方程的通解是y(x)=J弘(x)+c,y,(x)-I--1-cnyn(x)>那末非齊次方

程有一個(gè)特解的形式為

y*(x)=c,(x)x(x)+C2(x)%(x)+…+%(x)y.(x)(4.2.14)

其中c/x),(j=l,2,…,〃)是待定函數(shù)，它們的導(dǎo)數(shù)滿足方程組

Cl(x)M(x)+c；(X)%(x)+…+C：(x)y.(x)=0

?C1'(x)yj(x)+C2'(x)必'(X)+…+c；(x)y'(x)=0

H(4.2.15)

c；(x)y”(x)+c；(x)y”(x)+…+c；(x)y”)(x)=g(x)

由此可以解出待定函數(shù)，從而得到特解。

例4.2-3：用變動(dòng)常數(shù)法求微分方程y"-3y'+2y=36xe-*的一個(gè)特解。

解：先求其相應(yīng)的齊次方程y"—3y'+2y=0的通解。因特征方程42一3幾+2=0，有

特征根4=1,4=2.于是齊次方程的通解為y(x)=qe*+

根據(jù)變動(dòng)常數(shù)法，設(shè)非齊次方程特解的形式為y*(x)=G(x)/+C2(x)e2*,代入

(4.2」2)式后得到

Cj(x)/+C2'(x)e2x=0

<

2xx

G'(x)e*+2C2\x)e=36xe~

解方程組得

q'(x)=-36x0-2*,c?(x)=36xe~3x,

積分后得

-23j

q(x)=e'(18x+9),c2'(x)=-e~(12x+4)

我們已經(jīng)略去了結(jié)果中的積分常數(shù)。代入形式特解后得到

y*(.x)-e~x(18x+9)-e~x(12x+4)=e~x(6x+5)

22

例424：用變動(dòng)常數(shù)法求微分方程sU-aUxx^f(x),s,a>0的特解。

22

解：方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為Uxx-(s/a)U=-af(x)，其相應(yīng)的齊次方程為

(s/a)2U=0。特征方程為/12-("。)2=0,任意得到特征根X=±s/a，于是

sxlasxa

齊次方程的通解為y(x)=cye+c2e-'。

根據(jù)變動(dòng)常數(shù)法，非齊次方程特解的形式為)，*(x)=j(x)e'”"+C2(x)eT"，代

入(4.2.15)式后得到

sx/nsx/a

c,'(x)e+c2'(x)e-=0

sx,asx,a

c,\x)e-c2'(x)e-=-l/(a)/(x)

解方程組得

5X,a

c,'(x)=-l/(.2as)e-f(x),c2'(x)=l/(2as)e'""/(x)

積分后得

11

C1(x),℃)特,q(x)

las

在積分限的選取中我們已經(jīng)考慮了在無(wú)窮遠(yuǎn)處的收斂性。代入形式特解后得到

y*(x)=———⑹M

2as

1

5G必*即

2as入2as-O02as-00

2)拉普拉斯變換法

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們考慮下面的初值問(wèn)題

嚴(yán)+0產(chǎn))+…+P“"'+PJ=P(D)y=g(x)

(4.2.16)

y(0)=V(0)=…=y("f(0)=0

對(duì)泛定方程作拉普拉斯變換，得到

P(s?(s)=G(s)(4.2.17)

人人

其中r(5)=Ly(x),G(s)=Lg(x),變換中已經(jīng)利用了拉普拉斯變換的性質(zhì)

)*)(，)=?F(5)-?-7(O)-SA-2/'(O)——尸I)(0)o即

Y(s)=G(s)/P(s)(4.2.18)

對(duì)上面的結(jié)果作拉普拉斯變換的逆變換(利用Mathematica或者查表)，立即得到上述

問(wèn)題的特解。

例4.2-5：用拉普拉斯變換法求非齊次微分方程)，"—3)>'+2)，=36xe-x的一個(gè)特解。

解按照(429)取零初值條件，即y(0)=歹(0)=0，再進(jìn)行拉普拉斯變換，得到

(S2-3S+2)K(s)=￡(363)=36/(5+1)2

由此解出

(s—1)(S—2)(S+1)2

對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換的逆變換，立即得到特解

y*(x)=e~x(6x+5)+4e2'-9ex

注意：本例所得到的結(jié)果與例4.2-3的結(jié)果不同，但是兩個(gè)結(jié)果之差4e2*-9/恰好為齊

次方程的解，因而都是正確的特解。

3)待定系數(shù)法

可以證明，當(dāng)非齊次項(xiàng)的形式為

xkkx

g(x)=e^(aox+a{x~H-----Fak)(4.2.19)

時(shí)，對(duì)應(yīng)特解的形式為

y*(x)+A/*-+…+A?)(4.2.20)

其中Aj為待定系數(shù)(如果上式中參數(shù)口為特征方程的r重根，那末左邊需要再乘以X，)。

于是，我們可以將y*(x)的待定表達(dá)式(4.2.20)及其相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)代入原微分方程,

然后比較同類項(xiàng)系數(shù)，定出待定表達(dá)式里所含的系數(shù)，最后得出方程的特解y*(x)。

例4.2-6：用待定系數(shù)法求非齊次微分方程y"-3y'+2y=36配7的一個(gè)特解。

解：由特征方程22-3彳+2=0可知特征根義=1,2都是單根，非齊次項(xiàng)g(x)=36x0-“具

有(4.2.19)的形式，參數(shù)四=-1不是方程的特征根，所以特解的形式為

)，*(x)=eT(4x+4)。將特解代入非齊次方程后，得到

產(chǎn)。)=廿(4/+4-4)

y*"(x)=ef(4x+4-24)

代入微分方程后，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到

64x+6Aj-54=36x

比較同類項(xiàng)系數(shù)得4=6,4=5，所以特解為y*(x)=eT(6x+5)

4.2.4可化為常系數(shù)的常微分方程

1)未知函數(shù)的變換

有些非常系數(shù)的線性微分方程可以化為常系數(shù)的線性微分方程，為了找出這些可化

為常系數(shù)的線性微分方程，我們采用逆向思維法，即通過(guò)在常系數(shù)方程(421)中對(duì)未知

函數(shù)或自變量的變換，看看能夠得到什么結(jié)果。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們僅研究二階方程的

情況，即

y"+py'+qy=g(x)(4.2.21)

首先考慮在方程(4.2.21)中作未知函數(shù)的變換y=/(x)“(x),其中/(x)為一個(gè)已

知函數(shù)，則有

y'=/'(x)u(x)+f(x)u'(x),y"=_T(x)”(x)+2f\xyu'(x)+f(x)un(x)

代入方程(4221)后得到

fu"+(2/1+pf)u'+(/"+pf'+qf)u=g(x)(4.2.22a)

或

u"+(2/Vf+p)u'+(P，f+p'Iff+q)u=g(x)(4.2.22b)

因此，凡是上述形式的二階常微分方程都可以通過(guò)未知函數(shù)的變換化為常系數(shù)方程。

例427：將變系數(shù)方程“"+2tanxz'+2M=0化為常系數(shù)方程。

解：將問(wèn)題與(4.2.22)式進(jìn)行比較，容易發(fā)現(xiàn)符合可常系數(shù)化條件。將/(x)=sinx代

入對(duì)應(yīng)關(guān)系2/'//+p=2tanx,f"/f+p,/ff+q=2,mp=0,q=3。因此，

新函數(shù)？=5布》”(燈滿足常系數(shù)方程＞"+3^=0。

如果對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行非線性變換y=/[M(X)],還可以得到一類可以常系數(shù)化的非

線性微分方程。這時(shí)，

y'=/'(?)?'(%)

y"=/'(M)?"W+/"(?)[?W

代入方程(4221)后得到

f\u)u"(x)+f'\u)[uu)]2+pXu)u■)+q的=g(x)(4.2.23)

一般來(lái)說(shuō)，上式是一個(gè)非線性的常微分方程。

2)自變量的變換

下面考慮在方程(4221)中作自變量變換x=x(f)的情況，則有

d1dd2_1d1d1d2x'\t)d

--=---------1

dx￡?)dt石一而j了而y加一￡?)2⑺§%

代入方程(4221)后得到

1d2yx"dy1dy

drx'3dtPx'dt+4)'=g[xQ)](4.2.24a)

x'2X’3

或

安+(p￡—亍吟+q?”y=g[x(f)](4.2.24b)

例428：將變系數(shù)方程+(3--1)立+2e2'y=0化為常系數(shù)方程。

dtdt

解：將問(wèn)題與(4.2.24b)式進(jìn)行比較，容易發(fā)現(xiàn)符合可常系數(shù)化條件。作自變量的變換

x=e'，立即得到常系數(shù)方程&?+3蟲(chóng)+2y=0。

dx'dx

如果同時(shí)進(jìn)行未知函數(shù)的變換和自變量的變換,我們可以得到一類更廣泛的可以常

系數(shù)化的變系數(shù)線性微分方程或者非線性微分方程。

3)歐拉方程

歐拉方程是一種特殊的變系數(shù)線性微分方程

t專+卬"T+…+P1吟+P?y=8(f)(4225)

atatat

它可以通過(guò)變量替換，=，化成未知函數(shù)y關(guān)于新自變量x的常系數(shù)線性微分方程。記

6=先，則

0=*_=色=力

dtd\ntdx

drdtdtdt

一般地，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明

d-y人人人人

P(D-l)(D-2)---(￡)-n+l)

由此，歐拉方程化為

人人人人人人

x

0(0—1)…(O-〃+l)y+…+P?_2D(D_l)y+pn.yDy+pny=g(e)(4.2.26)

例429：求歐拉方程+3］蟲(chóng)+y=。的通解。

drdt-

解：令￡="，原方程變成

人人人人,

D(D-l)y+3Dy+y=D~y+2Dy+y=0

對(duì)應(yīng)的特征方程是%+24+1=(4+1)?=0,4=-1是二重根。新方程的通解為

y=(q+c2t)e''

所以原方程的通解是

y(x)=(q+c21nx)/x

§4.3線性變系數(shù)微分方程

4.3.1一階線性微分方程

1)標(biāo)準(zhǔn)形式

一階變系數(shù)線性常微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

y'+p(x)y=g(x)(4.3.1)

2)齊次通解

方程(4.3.1)所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為

y'+p(x)y=O(4.3.2)

上式可以分離變量，得到

—=-p(x)y=>—=-p(x)dx=>lny=lnc-fp(x)dx

dxyJ

于是齊次通解為

-fp(x)dx

y=c-eJ(4.3.3)

3)非齊次特解

在齊次通解(4.3.3)中變動(dòng)常數(shù)c,得到一個(gè)非齊次形式特解y=c(x)*W*)&,算出

y'=cW,pWdx-p(x)c(x)eTP""，代入原來(lái)的非齊次線性方程(431),可得

c(x)=Jg(x)eWx必dx

因此非齊次特解為

>=e(4.3.4)

4.3.2二階線性微分方程

1)問(wèn)題及其化簡(jiǎn)

二階線性微分方程的一般形式為

y"+p(x)y*q(x)y=g(x)(4.3.5)

按照疊加原理，其通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解加上一個(gè)特解。而由變動(dòng)常數(shù)法，特解具

有(4214)式的形式，可以在對(duì)應(yīng)齊次方程通解的基礎(chǔ)上得到。因此，只要求出了對(duì)應(yīng)

齊次方程

y"+p(x)y'+q(x)y=O(4.3.6)

的通解，我們就可以進(jìn)一步算出非齊次方程的特解和通解。

齊次方程(4.3.6)的通解由兩個(gè)線性獨(dú)立的特解線性組合而成，我們只需要求兩個(gè)線

性獨(dú)立的特解。不失一般性，假設(shè)方程中的系數(shù)p(x),q(x)都是解析函數(shù)(除了有限個(gè)

孤立奇點(diǎn)之外)?？梢宰C明，其解y(x)的解析延拓也是該方程的解，并且兩個(gè)線性獨(dú)

立解弘。),必。)在解析延拓后仍然保持線性獨(dú)立。因此，問(wèn)題又簡(jiǎn)化為只要求出方程

(4.3.6)在某點(diǎn)鄰域內(nèi)的兩個(gè)線性獨(dú)立解即可。

利用(4.1.24)式，只要知道方程(4.3.6)的一個(gè)非零解，就可以得到另一個(gè)線性獨(dú)立的

解，因此，問(wèn)題又進(jìn)一步簡(jiǎn)化為只要求出方程在某點(diǎn)鄰域內(nèi)的一個(gè)非零解。

2)方程點(diǎn)的分類與鄰域

顯然，方程(436)解的性質(zhì)完全由其系數(shù)的性質(zhì)決定。如果兩個(gè)系數(shù)p(x),q(x)都

在點(diǎn)xo解析，則該點(diǎn)稱為方程的常點(diǎn)，方程的解也在該點(diǎn)解析；如果有一個(gè)系數(shù)在點(diǎn)

X。不解析，則該點(diǎn)稱為方程的奇點(diǎn)，一般來(lái)說(shuō)，它也是解的奇點(diǎn)。

更細(xì)致的分析表明，如果點(diǎn)X。為方程的奇點(diǎn)，但是。-％)「。),。-入0)24(》)在

點(diǎn)X。解析，則該點(diǎn)稱為方程的正則奇點(diǎn)。在正則奇點(diǎn)X。的鄰域內(nèi)，方程至少有一個(gè)解

具有形式(x-,其中函數(shù)M(X)在該點(diǎn)解析.

3)解的幕級(jí)數(shù)形式

常系數(shù)微分方程(4.2.1)和一階變系數(shù)線性微分方程(4.3.1)的解往往可以用初等

函數(shù)及其有限次積分來(lái)表示，但二階變系數(shù)的線性微分方程(4.3.5)不一定能找到用初等

函數(shù)表示的解，這時(shí)必須考慮求具有非初等函數(shù)形式的解。

由前面的分析可知，當(dāng)X。為方程的常點(diǎn)時(shí)，解函數(shù)在該點(diǎn)鄰域解析，可以表示為

基級(jí)數(shù)形式

>⑴=Z；=o4(X-x。)"(4.3.7)

當(dāng)Xo為方程的正則奇點(diǎn)時(shí)，解函數(shù)在該點(diǎn)鄰域可以表示為廣義基級(jí)數(shù)形式

k

y(x)=(x-x0Xak(x-x0),a0*0(4.3.8)

更細(xì)致的分析表明，上式中的待定指數(shù)s為判定方程

s(s-1)+p7s+g_2=°(4.3.9)

中較大的一個(gè)根，而判定方程中的常數(shù)

2

PT=lim.%(x-Xo)p(x),q_2=limv^to(x-x0)^(x)(4.3.10)

4.3.3二階線性微分方程的事級(jí)數(shù)解

1)求方程幕級(jí)數(shù)解的步驟

求二階線性微分方程(435)的基級(jí)數(shù)解的主要步驟有：

i、選定展開(kāi)中心小，把方程的系數(shù)和未知函數(shù)都表示為(廣義)事級(jí)數(shù)形式。為了簡(jiǎn)單

起見(jiàn)，通常選用司=0為展開(kāi)中心，只要它不是方程的非正則奇點(diǎn)。

ii、把上述系數(shù)和未知函數(shù)的(廣義)幕級(jí)數(shù)形式代入與(4.3.5)式對(duì)應(yīng)的齊次方程，并進(jìn)

行化簡(jiǎn)，得到一個(gè)幕級(jí)數(shù)等式，再比較兩邊同次幕的系數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)展開(kāi)

系數(shù)的遞推公式。

iii、由遞推公式解出未知函數(shù)的展開(kāi)系數(shù)，代入未知函數(shù)的(廣義)基級(jí)數(shù)形式解中，

得到所要求的齊次方程的基級(jí)數(shù)解。如果所得塞級(jí)數(shù)解的收斂范圍小于求解區(qū)間，則需

要進(jìn)行解析延拓；如果只得到一個(gè)基級(jí)數(shù)解，則需要利用(4.1.24)式求出另一個(gè)線性獨(dú)

立的解。

iv、寫(xiě)出齊次方程的通解，再用變動(dòng)常數(shù)法求出非齊次方程的一個(gè)特解，兩者相加后得

到非齊次方程的通解。

例4.3-1：用基級(jí)數(shù)方法求方程y"(x)+co2y(x)=0的通解。

解：顯然%=0為方程的常點(diǎn)，可以取為展開(kāi)中心，因此解的基級(jí)數(shù)形式為

其導(dǎo)函數(shù)為

y'(x)==Z；=o(k,+1)%+M

y"(X)=Z*=2"(A—D%/2=Zr=o(K+l)(A'+2)4，+2%”

代入原方程后，得到

工：=0(%+1)出+2)4+23及+1)出+2)%+2=。

這里已經(jīng)利用了求和指標(biāo)的不變性，即求和指標(biāo)的表示方法不影響求和的結(jié)果。由上式

得到展開(kāi)系數(shù)之間的一個(gè)遞推公式

0=%=^^—

(k+1)(攵+2)4+o+(Od^

A2(k+1)伏+2)

因此可以由前2個(gè)系數(shù)得到以后各項(xiàng)的系數(shù)

k為偶數(shù)k為奇數(shù)

-CD1-co2

"2=1.2"。32.31

2424

一。CD-0)0)

u.—a?-a。Clc—4—Cl,

43-4-4!054.5-5!1

-CD1-d)6-CD2-CD6

。6=一。4=個(gè)％)o,=---久=----a,

j-oo!6-757!

(―1)"療"(―1)"療"

。2"=0%a2n+\~,.a\

(2/2)!(2/1+n1)!

將所得系數(shù)代回解的基級(jí)數(shù)形式，有

8(-1)"療"8(―1)“病"

y(x)=Z4x"x2n十%z12”+1=&券(%)+%”(幻

2=0n=0(2〃)！n=0(2n+l)!

上式中的4,《可以為任意常數(shù)，因此我們得到的是一個(gè)通解，它由兩個(gè)線性獨(dú)立的特

解約。)和y°(x)線性組合而成。容易認(rèn)出，偶函數(shù)特解％(x)=costyx，奇函數(shù)特解

”(x)=sinox/o，因此，本例的結(jié)果與例4.2-1完全一致。

2)勒讓德方程的基級(jí)數(shù)解

勒讓德方程的形式為

(l-x2)y"-2xy'+l(/+l)y=0(4.3.11)

其中/為非負(fù)實(shí)參數(shù)，它的解稱為勒讓德函數(shù)。

顯然/=0為方程的常點(diǎn)，可以取為展開(kāi)中心，因此解的幕級(jí)數(shù)形式為

代入方程(4311)后，得到

8800CO

kk

Z(攵+1)(%+2)%+2尤”-^k(k-l)akx-2^kakx+/(/+l)>a/"

k=Qk=0k=0k=0

=.{(k+l)(k+2)ak+2-[k(k+1)-/(/+l)]a*}/=0

k=0

由此得到展開(kāi)系數(shù)之間的一個(gè)遞推公式

(左一/)伏+/+1)

(k+1)優(yōu)+2)a*+2-伏2+1)一/(/+1)]/=0n%+2(1+1)伏+2)%(4.3.12)

由此可以由前2個(gè)系數(shù)得到以后各項(xiàng)的系數(shù)

k為偶數(shù)k為奇數(shù)

__/(/+i)_(-/)(/+i)_(1-/M/4-2),(1-/X/4-2)

u22-1u0-2!u0a3—3-2U\—3!a\

_(2T((/+3)_(2T)T)(/+1)(/+3)_(3-/(〃+4)._(3T)1-/)(/+2)(/+4),,

U4—4.3U2—4!4)a5~5-4a3—5!a\

_M-W+5)_(4--/)(/+1)(/+3)(/+5)八_(5-HU+6)_(5-/)(3-/)1一/)(/+2)(/+4)(/+6)-

U6-6-5a4—6!a0a7—7.6a5-7!a\

_(2〃-2-/)…(T)(/+l)…(/+2〃-1)_(2，L1T)…(1-/)(/+2>??(/+2〃)

a

“2”—(2M)!002n+\~(2n+l)!01

將所得系數(shù)代回解的基級(jí)數(shù)形式，得到勒讓德方程的通解

(2H-2-/)---(-/)(/+1)---(/+2H-1)

y(x)=Z%x*=4ZxIn

4=0M=0(2〃)！

(4.3.13)

+qX------------方一百-------------*=4％(%)+4%⑴

M(2〃+1)!

其中旬,％為任意常數(shù)，特解”(x)為偶函數(shù)，y°(x)為奇函數(shù)。

由遞推公式(4.3.12),上述兩個(gè)基級(jí)數(shù)特解的收斂半徑為

akr/+1)伏+2)

R=lim11IY1-------------------------------------=1(4.3.14)

?T8ak+2上廿(k-/)(%+/+1)

3)貝塞爾方程的某級(jí)數(shù)解

貝塞耳方程的形式為

x2y"+xy'+(x2-v2)y=0(4.3.15)

式中丫為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱為貝塞耳方程的階。

將(4.3.15)式化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，發(fā)現(xiàn)x=0為貝塞耳方程的正則奇點(diǎn)，可以取為展開(kāi)

中心，解的形式為

y(x)=Z；=()4%*°

-y(x)=Z：=O4”"2/乙明產(chǎn)二:句巴，“，%。=0

其中待定指數(shù)s為判定方程中較大的一個(gè)根。形式解的導(dǎo)函數(shù)為

y'(x)=Z；=o(A+s)%x*J

k+s2

y"(x)=XL(4+s)(k+s-l)akx~

代入方程(4.3.15)后，得到

k0

EL*+s)*+s-l)akx"+Z；=°(k+s)4/*、+2；=0%/*'=

整理后有

k+s

Z：=o{+s)(A+s)-/]4+ak_2}x=0

由此得到展開(kāi)系數(shù)之間的一個(gè)遞推公式

(k+s+v)(k+5-v)ak=-ak_2,k>0(4.3.16)

當(dāng)k=0時(shí)，得到

(5+v)(5-v)a0=-a_2-0(4.3.17)

由于a°KO，容易驗(yàn)證上式等價(jià)于判定方程(439),于是得到待定指數(shù)s=V。將待定

指數(shù)代入遞推公式，得到

k(k+2v)ai=-ak_2=>ak--ak_2/[k(k+2v)],k>1(4.3.18)

當(dāng)k=l時(shí)，由上式得到

(1+2|/)4=-a_]=0=>q=0(4.3.19)

再由(4.3.16)可以推出對(duì)所有奇數(shù)k,有如三0；對(duì)偶數(shù)k,有

-----------a=-^：------a

2(2+2v)l}022(1+V)(}0

7_________1_______

4(4+2v)%―24?2(1+1)(2+i/)〃°

-1-1

6(6+2v)“4—26-3-2(1+V)(2+V)(3+V),

-1°=_____________(^ir_____________&=(-l)T(v+l)@

22

2n(2n+2v)電-2".n!(1+v)(2+v)(3+v)--?(?+v)/-2".n!r(v+n+1)&

將所得系數(shù)代回解的幕級(jí)數(shù)形式，有

制/2g+常就氣(尹』?…叱(4.3.20)

其中

(4.3.21)

稱為v階貝塞耳函數(shù)。

由遞推公式(4.3.16),上述第級(jí)數(shù)的收斂半徑為

R=lim!叩伏