復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算教案

第復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算教案

復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算教案1

教學(xué)目標(biāo)

(1)把握復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算法則,能熟練地進(jìn)行加、減法運(yùn)算;

(2)理解并把握復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義,會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題;

(3)能初步運(yùn)用復(fù)平面兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題;

(4)通過學(xué)習(xí)-平行四邊形法則和三角形法,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;

(5)通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)(思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,深刻性,靈活性等).

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)加法法則。難點(diǎn)是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。復(fù)數(shù)加法法則是教材首先規(guī)定的法則,它是復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的基礎(chǔ),對于這個規(guī)定的合理性,在教學(xué)過程中要加以重視。復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的難點(diǎn)在于復(fù)數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為向量加減法,以它為根據(jù)來解決某些平面圖形的問題,學(xué)生對這一點(diǎn)不輕易接受。

三、教學(xué)建議

(1)在復(fù)數(shù)的加法與減法中,重點(diǎn)是加法.教材首先規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法法則.對于這個規(guī)定,應(yīng)通過下面幾個方面,使學(xué)生逐步理解這個規(guī)定的合理性:①當(dāng)

時(shí),與實(shí)數(shù)加法法則一致;②驗(yàn)證實(shí)數(shù)加法運(yùn)算律在復(fù)數(shù)集中仍然成立;③符合向量加法的平行四邊形法則.

(2)復(fù)數(shù)加法的向量運(yùn)算講解設(shè),畫出向量,后,提問向量加法的平行四邊形法則,并讓學(xué)生自己畫出和向量(即合向量),畫出向量

后,問與它對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么,即求點(diǎn)Z的坐標(biāo)OR與RZ(證法如教材所示).

(3)向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)加法的三角形法則.講過復(fù)數(shù)加法可按向量加法的平行四邊形法則來進(jìn)行后,可以指出向量加法還可按三角形法則來進(jìn)行:如教材中圖8-5(2)所示,求

與的和,可以看作是求與的和.這時(shí)先畫出第一個向量,再以的終點(diǎn)為起點(diǎn)畫出第二個向量,那么,由第一個向量起點(diǎn)O指向第二個向量終點(diǎn)Z的向量

,就是這兩個向量的和向量.

(4)向?qū)W生指出復(fù)數(shù)加法的三角形法則的好處.向?qū)W生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的:例如講到當(dāng)與

在同一直線上時(shí),求它們的和,用三角形法則來解釋,可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋輕易理解一些;講復(fù)數(shù)減法的幾何意義時(shí),用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.

(5)講解了教材例2后,應(yīng)強(qiáng)調(diào)(注重:這里是起點(diǎn),是終點(diǎn))就是同復(fù)數(shù)-對應(yīng)的向量.點(diǎn),之間的距離就是向量的模,也就是復(fù)數(shù)-

的模,即.

例如,起點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)-1、終點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)的那個向量(如圖),可用來表示.因而點(diǎn)與()點(diǎn)間的距離就是復(fù)數(shù)的模,它等于。

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義

教學(xué)目標(biāo)

1.理解并把握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義.

2.滲透轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法,提高分析、解決問題能力.

3.培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)(思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,深刻性,靈活性等).

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn):復(fù)數(shù)減法法則.

難點(diǎn):對復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)引入新課

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義,今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義.(板書課題:復(fù)數(shù)減法及其幾何意義)

(二)復(fù)數(shù)減法

復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算,那么復(fù)數(shù)減法法則為(i)(i)=()()i,

1.復(fù)數(shù)減法法則

(1)規(guī)定:復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算;

(2)法則:(i)(i)=()()i(,,,∈R).

把(i)(i)看成(i)(1)(i)如何推導(dǎo)這個法則.

(i)(i)=(i)(1)(i)=(i)(i)=()()i.

推導(dǎo)的想法和依據(jù)把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算.

推導(dǎo):設(shè)(i)(i)=i(,∈R).即復(fù)數(shù)i為復(fù)數(shù)i減去復(fù)數(shù)i的差.由規(guī)定,得(i)(i)=i,依據(jù)加法法則,得()(

)i=i,依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義,得

故(i)(i)=()()i.這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù).

我們得到了復(fù)數(shù)減法法則,兩個復(fù)數(shù)的差仍是復(fù)數(shù).是確定的復(fù)數(shù).

復(fù)數(shù)的加(減)法與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減),即(i)±(i)=(±)(±)i.

(三)復(fù)數(shù)減法幾何意義

我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則,那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么

設(shè)z=i(,∈R),z1=i(,∈R),對應(yīng)向量分別為,如圖

由于復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算,設(shè)z=()()i,所以zz1=z2,z2z1=z,由復(fù)數(shù)加法幾何意義,以為一條對角線,

1為一條邊畫平行四邊形,那么這個平行四邊形的另一邊2所表示的向量OZ2就與復(fù)數(shù)zz1的差()()i對應(yīng),如圖.

在這個平行四邊形中與zz1差對應(yīng)的向量是只有向量2嗎

還有.因?yàn)镺Z2Z1Z,所以向量,也與zz1差對應(yīng).向量是以Z1為起點(diǎn),Z為終點(diǎn)的向量.

能概括一下復(fù)數(shù)減法幾何意義是:兩個復(fù)數(shù)的差zz1與連接這兩個向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng).

(四)應(yīng)用舉例

在直角坐標(biāo)系中標(biāo)Z1(2,5),連接OZ1,向量1與多數(shù)z1對應(yīng),標(biāo)點(diǎn)Z2(3,2),Z2關(guān)于x軸對稱點(diǎn)Z2(3,2),向量

2與復(fù)數(shù)對應(yīng),連接,向量與的差對應(yīng)(如圖).

例2根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示,求復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.

解:設(shè)復(fù)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)Z1,Z2分別表示復(fù)數(shù)z1,z2,那么Z1Z2就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量,點(diǎn)之間的距離就是向量的模,即復(fù)數(shù)z2z1的模.假如用d表示點(diǎn)Z1,Z2之間的距離,那么d=|z2z1|.

例3在復(fù)平面內(nèi),滿足下列復(fù)數(shù)形式方程的動點(diǎn)Z的軌跡是什么.

(1)|z1i|=|z2i|;

方程左式可以看成|z(1i)|,是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1i差的模.

幾何意義是是動點(diǎn)Z與定點(diǎn)(1,1)間的距離.方程右式也可以寫成|z(2i)|,是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)2i差的模,也就是動點(diǎn)Z與定點(diǎn)(2,1)間距離.這個方程表示的是到兩點(diǎn)(

1,1),(2,1)距離相等的點(diǎn)的軌跡方程,這個動點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)(1,1),(2,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線.

(2)|zi||zi|=4;

方程可以看成|z(i)||zi|=4,表示的是到兩個定點(diǎn)(0,1)和(0,1)距離和等于4的動點(diǎn)軌跡.滿足方程的動點(diǎn)軌跡是橢圓.

(3)|z2||z2|=1.

這個方程可以寫成|z(2)||z2|=1,所以表示到兩個定點(diǎn)(2,0),(2,0)距離差等于1的點(diǎn)的軌跡,這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

由z1z2幾何意義,將z1z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式d=|z1z2|,由此得到線段垂直平分線,橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質(zhì)特征.

例4設(shè)動點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)z=i對應(yīng),定點(diǎn)P與復(fù)數(shù)p=i對應(yīng).求

(1)復(fù)平面內(nèi)圓的方程;

解:設(shè)定點(diǎn)P為圓心,r為半徑,如圖

由圓的定義,得復(fù)平面內(nèi)圓的方程|zp|=r.

(2)復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|zp|解:復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|zp|(五)小結(jié)

我們通過推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則,并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義,應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式,可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問題,不等式以及最值問題.

(六)布置作業(yè)P193習(xí)題二十七:2,3,8,9.

探究活動

復(fù)數(shù)等式的幾何意義

復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示以為圓心,以1為半徑的圓。請?jiān)倥e三個復(fù)數(shù)等式并說明它們在復(fù)平面上的幾何意義。

分析與解

1.復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示線段的中垂線。

2.復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示一個橢圓。

3.復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示一條線段。

4.復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示雙曲線的一支。

5.復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示原點(diǎn)為O、構(gòu)成一個矩形。

說明復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系,假如我們對復(fù)數(shù)的代數(shù)形式工(幾何意義)之間的關(guān)系比較熟悉的話,必然會強(qiáng)化對復(fù)數(shù)知識的把握。

復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算教案2

1、

知識與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算

過程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類問題

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動地建構(gòu)知識體系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】

對復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用?！菊n型】

新知課。【教具準(zhǔn)備】

多媒體【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)提問：

已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d是實(shí)數(shù))加法法則：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

減法法則：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:兩個復(fù)數(shù)相加(減)就是

實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:z1+z2=z2+z1.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

二、講解新課：

(一)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

2其實(shí)就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i換成-1，并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù).

(二)乘法運(yùn)算律師生探究:師：復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律乘法對加法滿足分配律嗎生：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3..

(4)zzzmnmn.

1(5)zmnzmn.nnn(6)z1z2z1z2.

(三)例題講解例1.計(jì)算(1)(2+i)i(2)(1-2i)(3+i).解：(1)原式2ii212i

23i6i255i3i6i2i(2)原式例2.計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)

解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.注：復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的.例3計(jì)算：

2(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i).

22解：(1)(3+4i)(3-4i)=3-(4i)=9-(-16)=25;22(2)(1+i)=1+2i+i=1+2i-1=2

i.

(四)共軛復(fù)數(shù)：

1.定義：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。

2.表達(dá)形式：通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z。3.師生探究：

思考:若z1,z2是共軛復(fù)數(shù),那么

(1)在復(fù)平面內(nèi),它們所對應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系(2)z1z2是怎樣的一個數(shù)(3)zz、z2與z2有何關(guān)系

生：(1)關(guān)于實(shí)軸對稱(2)zza2b2zzz2即：乘積的結(jié)果是一個實(shí)數(shù).

(3)z2.

(五)除法運(yùn)算規(guī)則

滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)(c+di)或者abi.

cdi1.(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi.(分母實(shí)數(shù)化)

c2d2c2d2222.利用(c+di)(c-di)=c+d.于是將

abi的分母有理化得：

cdi2原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i.

2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i.

222cdcd師：1是常規(guī)方法，2是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而22(c+di)·(c-di)=c+d是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化.

把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法

3.變式訓(xùn)練：計(jì)算(12i)(34i)解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i22(34i)(34i)3425554.方法總結(jié)：

①先寫成分式形式

②然后分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù))③化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果

三、考點(diǎn)突破

1.計(jì)算(1)(32i)32i

1i2i(2)i.3+i等于()2.(2023全國二卷)1i.3.(2023年高考福建卷)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

z12i(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

z4.(2023渭南市一模)已知復(fù)數(shù)

1i1iC.，則

z等于().A.2iB.i2iD.i

5.(2023年高考安徽卷)設(shè)i是虛數(shù)單位，

z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若zzi22z，.則z等于()

，則z的模為.A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

6.(2023年廈門市一模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足7.計(jì)算i+i2+i3+…+i2023.

四、知識拓展提升

z1i2i3探究：i=，i=，i=，i=，

i=，i=，i=，i=.

虛數(shù)單位i的周期性：(1)i(2)4n112345678i，i4n21，i4n3i，i4n41nN.inin1in2in30nN.

五、課堂小結(jié)

1、復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則是什么其滿足哪些運(yùn)算律

2、怎樣的兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)之間有什么性質(zhì)

3、復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則是什么

六、作業(yè)

1.教材P112——習(xí)題3.22.教材P116——復(fù)習(xí)參考題【教學(xué)反思】

一、知識點(diǎn)反思

復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘，可按多項(xiàng)式類似的辦法進(jìn)行，不必去記公式.

復(fù)數(shù)的除法法則是：abiacbdbcadi(c+di≠0).

cdic2d2c2d2兩個復(fù)數(shù)相除較簡捷的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡.

二、課堂反思

1.學(xué)生在計(jì)算時(shí)不注意變號;

2.復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式是a+bi，當(dāng)a0,b0時(shí)，學(xué)生習(xí)慣把“正”放前面，把“負(fù)”放后面，這種習(xí)慣不利于學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識.

復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算教案4

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則，深刻理解它是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算

過程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化類問題

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，我們采用講解或體驗(yàn)已學(xué)過的數(shù)集的擴(kuò)充的，讓學(xué)生體會到這是生產(chǎn)實(shí)踐的需要從而讓學(xué)生積極主動地建構(gòu)知識體系.

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：對復(fù)數(shù)除法法則的運(yùn)用.教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀.

教學(xué)設(shè)想：如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

教學(xué)過程：

學(xué)生探究過程：

1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即i21;(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立

2.與-1的關(guān)系:就是-1的一個平方根，即方程x2=-1的一個根，方程x2=-1的另一個根是-

3.的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1

4.復(fù)數(shù)的定義：形如abi(a,bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示_

3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

4.

復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)abi(a,bR)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a;當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù);當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi叫做純虛數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.

5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC.6.

兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小

7.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：

點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)可用點(diǎn)Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)

對于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)，

它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

8.復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.

復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

1/510.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:z1+z2=z2+z1.11.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課：

1.乘法運(yùn)算規(guī)則：

規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

其實(shí)就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成-1，并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù).2.乘法運(yùn)算律：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.

又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i)

=[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可證：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]

=[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.

z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)

=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計(jì)算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)

(-2+i)=-20+15i.例2計(jì)算：

(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i)2.解：(1)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;(2)

(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.

3.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)

通常記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z.

2/54.

復(fù)數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)(c+di)或者

abicdi5.除法運(yùn)算規(guī)則：

①設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i.∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.

由復(fù)數(shù)相等定義可知cxdya,

dxcyb.acbdx,22cd解這個方程組，得ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=

acbdbcad2i.222cdcdabi的分母有理化得：

cdi②利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是將原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i.

c2d2cd2c2d2∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi.

c2d2c2d2點(diǎn)評：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)c+di與復(fù)數(shù)c-di，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的

32的對偶式32，它們之積為1是有理數(shù)，而(c+di)·(c-di)=c2+d2是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法

例3計(jì)算(12i)(34i)解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i22(34i)(34i)3425553/5

例4計(jì)算(14i)(1i)24i

34i解：(14i)(1i)24i143i24i7i(7i)(34i)

2234i34i3434i2143i28i2525i1i.

2525例5已知z是虛數(shù)，且z+

1z1是實(shí)數(shù)，求證：是純虛數(shù).zz1證明：設(shè)z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是z+11abiaba(b)i.

=a+bi+=a+bi+222222zababababi1b∈R，∴b-2=0.2zab∵z+∵b≠0，∴a2+b2=1.

∴z1(a1)bi[(a1)bi][(a1)bi]

22z1(a1)bi(a1)ba21b2[(a1)b(a1)b]i02bibi.

22ab2a112a1a1∵b≠0，a、b∈R，∴鞏固練習(xí)：

1.設(shè)z=3+i,則

bi是純虛數(shù)a11等于zB.3-i

C.A.3+i

2.

31i

1010D.

31i1010abiabi的值是baibaiB.i

C.-i

D.1A.0

3.已知z1=2-i,z2=1+3i,則復(fù)數(shù)A.14.設(shè)

iz2的虛部為z15

D.-iB.-1

C.ix3y(x∈R,y∈R),則x=___________,y=___________.1i2i1i4/5答案：1.D2.A

3.A

4.

39,-

55課后作業(yè)：課本第112頁

習(xí)題3.2

A組4，5，6

B組1，2教學(xué)反思：

復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+d