2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGEPAGE25學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第一章立體幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu),形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、深化所學(xué)知識(shí).2。會(huì)畫(huà)幾何體的直觀圖和三視圖，并能計(jì)算幾何體的表面積和體積。3。熟練掌握線線、線面、面面間的平行與垂直關(guān)系．1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1)棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行．棱錐：有一個(gè)面是多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的平面所截而成的．這三種幾何體都是多面體．(2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉(zhuǎn)而成的，它們都稱為旋轉(zhuǎn)體．在研究它們的結(jié)構(gòu)特征以及解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，常需作它們的軸截面或截面．(3)由柱、錐、臺(tái)、球組成的簡(jiǎn)單組合體，研究它們的結(jié)構(gòu)特征實(shí)質(zhì)是將它們分解成多個(gè)基本幾何體．2．空間幾何體的三視圖與直觀圖（1)三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形；它包括主視圖、左視圖、俯視圖三種．畫(huà)圖時(shí)要遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則．注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，不可見(jiàn)輪廓線用虛線畫(huà)出．熟記常見(jiàn)幾何體的三視圖．畫(huà)組合體的三視圖時(shí)可先拆，后畫(huà)，再檢驗(yàn)．（2)斜二測(cè)畫(huà)法為:主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫(huà)法．它的主要步驟：①畫(huà)軸；②畫(huà)平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x′、y′、z′軸的線段；③截線段：平行于x、z軸的線段的長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半．三視圖和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式,兩者之間可以互相轉(zhuǎn)化,這也是高考考查的重點(diǎn);根據(jù)三視圖的畫(huà)法規(guī)則理解三視圖中數(shù)據(jù)表示的含義,從而可以確定幾何體的形狀和基本量．3．幾何體的表面積和體積的有關(guān)計(jì)算（1)常見(jiàn)幾何體的表面積和體積的計(jì)算公式面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f（1，3）Sh＝eq\f（1，3）πr2h＝eq\f（1,3）πr2eq\r（l2－r2)圓臺(tái)V＝eq\f(1，3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下）)h＝eq\f(1，3）πh（req\o\al（2，1)＋req\o\al（2,2）＋r1r2）直棱柱S側(cè)＝chV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)ch′V＝eq\f（1，3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f（1，2)(c＋c′）h′V＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r（S上S下））h球S球面＝4πR2V＝eq\f（4，3)πR3(2)求幾何體體積常用技巧①等體積法;②割補(bǔ)法．4．平行關(guān)系(1）基本性質(zhì)4平行于同一條直線的兩條直線________．即如果直線a∥b,c∥b，那么________．(2)直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理?xiàng)l件結(jié)論符號(hào)語(yǔ)言判定如果________________的一條直線和________的一條直線平行這條直線和這個(gè)平面________________，m?α，________?l∥α性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面________，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面____________這條直線和____________l∥α，________，______＝m?l∥m（3)平面與平面平行的判定①文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．②符號(hào)語(yǔ)言：a?β，b?β，________,a∥α，b∥α?β∥α.③圖形語(yǔ)言：如圖所示．（4)平面與平面平行的性質(zhì)定理①文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．②符號(hào)語(yǔ)言：α∥β，α∩γ＝a，______?a∥b.③圖形語(yǔ)言：如圖所示．④作用：證明兩直線平行．5．垂直關(guān)系（1）直線與平面垂直的判定定理定理：如果一條直線與平面內(nèi)的________________直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直．推論：如果在兩條________________中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．（2)直線與平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)1：如果一條直線垂直于一個(gè)平面,那么它就和平面內(nèi)的________一條直線垂直．符號(hào)表示:eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b?α))?a⊥b。性質(zhì)2：如果兩條直線________________________，那么這兩條直線平行．(3）面面垂直的判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的________________，則這兩個(gè)平面互相垂直．（4）面面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在________________垂直于________________的直線垂直于另一個(gè)平面．6．共面與異面直線（1）共面：空間中的________或________________，如果都在同一平面內(nèi),我們就說(shuō)它們共面．（2）異面直線：既________又________的直線．類(lèi)型一三視圖與表面積及體積的計(jì)算例1(1）如圖是一幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（)A．5＋eq\r(3) B．5＋2eq\r（3)C．4＋2eq\r（2) D．4＋2eq\r（3)(2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.反思與感悟此類(lèi)題目是先將三視圖還原成幾何體，計(jì)算幾何體的體積時(shí)，對(duì)于不規(guī)則的幾何體可利用割補(bǔ)法求體積．跟蹤訓(xùn)練1(1)若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的主視圖如圖所示，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)_______．(2）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______．類(lèi)型二空間中的平行問(wèn)題例2如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1求證：（1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H。反思與感悟（1)判斷線線平行的方法①利用定義：證明線線共面且無(wú)公共點(diǎn)．②利用平行公理：證明兩條直線同時(shí)平行于第三條直線．③利用線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.④利用面面平行的性質(zhì)定理:α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b。⑤利用線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α,b⊥α?a∥b。(2）判定線面平行的方法①利用定義：證明直線a與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，往往借助反證法．②利用直線和平面平行的判定定理:a?α，b?α，a∥b?a∥α.③利用面面平行的性質(zhì)的推廣：α∥β，a?β?a∥α.(3）判定面面平行的方法①利用面面平行的定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．②利用面面平行的判定定理：a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β.③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即a⊥α,a⊥β?α∥β.④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β.跟蹤訓(xùn)練2如圖，△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC,CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，N是EC的中點(diǎn),求證:平面DMN∥平面ABC.類(lèi)型三空間中的垂直關(guān)系例3如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點(diǎn),且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點(diǎn),將△ADE沿AE折起,使得DE⊥EC。（1）求證：AE⊥平面CDE；（2)求證：FG∥平面BCD；（3）在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說(shuō)明理由．反思與感悟空間中垂直關(guān)系的判定方法(1）判定線線垂直的方法①計(jì)算所成的角為90°（包括平面角和異面直線所成的角)．②線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b）．（2）判定線面垂直的方法①線面垂直定義（一般不易驗(yàn)證任意性）．②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α）．③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α）．④面面垂直的性質(zhì)（α⊥β,α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α）．⑤面面平行的性質(zhì)（a⊥α，α∥β?a⊥β）．（3）面面垂直的判定方法①根據(jù)定義（作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計(jì)算其為90°)．②面面垂直的判定定理（a⊥β，a?α?α⊥β)．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2)，2)AB,四邊形ABED是邊長(zhǎng)為a的正方形,平面ABED⊥平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)．（1)求證：GF∥平面ABC；(2)求證：平面EBC⊥平面ACD；（3)求幾何體A－DEBC的體積V。1．某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是（）A．2＋eq\r（5) B．4＋eq\r(5）C．2＋2eq\r（5) D．52．若l1,l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2,l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面3．設(shè)有不同的直線m、n和不同的平面α、β，下列四個(gè)命題中，正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m?α，n?α,m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥βD．若α⊥β，m⊥β,m?α，則m∥α4.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ,Q在CD上，則PQ＝________。5。如圖，在棱錐P－ABC中，D,E，F(xiàn)分別為棱PC，AC,AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證:（1）直線PA∥平面DEF；（2)平面BDE⊥平面ABC.1．研究空間幾何體，需在平面上畫(huà)出幾何體的直觀圖或三視圖,由幾何體的直觀圖可畫(huà)它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖,同時(shí)可以通過(guò)作截面把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題來(lái)解決．另外，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式,我們都是通過(guò)展開(kāi)圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問(wèn)題通常也是由截面把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決．2．轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為

答案精析知識(shí)梳理4．(1）平行a∥c(2)不在一個(gè)平面平面內(nèi)平行l(wèi)?αl∥m平行相交兩平面的交線平行l(wèi)?βα∩β（3）②a∩b＝P(4)②β∩γ＝b5．(1)兩條相交平行直線(2）任意垂直于同一個(gè)平面(3)一條垂線(4）一個(gè)平面內(nèi)它們交線6．(1)幾個(gè)點(diǎn)幾條直線（2)不平行不相交題型探究例1(1）A［如圖所示，該幾何體的表面積S＝1×1＋eq\f（1，2)×1×1×2＋2×eq\f(1，2)×（1＋2)×1＋eq\f（1，2)×eq\r（6）×eq\r(2）＝5＋eq\r(3)，故選A。］（2）eq\f（8,3)π解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體由相同底面的兩圓錐和一個(gè)圓柱組成，底面半徑為1m,圓錐的高為1m，圓柱的高為2m,所以該幾何體的體積V＝2×eq\f(1,3）π×12×1＋π×12×2＝eq\f(8，3）π（m3）．跟蹤訓(xùn)練1(1)eq\f（19,3)π解析由主視圖知，三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,高為1，外接球的球心在上下兩個(gè)三角形中心連線的中點(diǎn)上，連接球心和任意一個(gè)頂點(diǎn)的線段長(zhǎng)為球的半徑,則R2＝(eq\f(1，2）)2＋(eq\f(2\r（3）,3)）2＝eq\f(19，12)（其中R為球的半徑），則球的表面積S＝4πR2＝4π×eq\f(19,12）＝eq\f(19，3）π.（2）24解析由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由主視圖和左視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的．在長(zhǎng)方體中分析還原，如圖(1）所示，故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示．在圖(1)中,＝S△ABC·AA1＝eq\f（1,2）×4×3×5＝30,＝eq\f(1，3）·PB1＝eq\f(1,3）×eq\f(1，2)×4×3×3＝6。故幾何體ABC－PA1C1的體積為30－6＝24.例2證明(1)取B1D1中點(diǎn)O，連接GO，OB，易證OG綊eq\f（1,2）B1C1，BE綊eq\f（1，2)B1C1,∴OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形．∴OB∥GE.∵OB?平面BB1D1D，GE?平面BB1D1D,∴GE∥平面BB1D1D.（2）由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD，∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連接HB,D1F易證HBFD1是平行四邊形，得HD1∥BF?！逪D1?平面BDF，BF?平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.跟蹤訓(xùn)練2證明∵M(jìn)、N分別是EA與EC的中點(diǎn)，∴MN∥AC，又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC,∴BD∥EC，∵N為EC中點(diǎn)，EC＝2BD，∴NC綊BD,∴四邊形BCND為矩形,∴DN∥BC，又∵DN?平面ABC,BC?平面ABC,∴DN∥平面ABC，又∵M(jìn)N∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC。例3（1）證明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC。∵DE∩EC＝E,DE,EC?平面DCE,∴AE⊥平面CDE。（2)證明取AB的中點(diǎn)H,連接GH，F(xiàn)H，∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC.∵GH?平面BCD，BD?平面BCD，∴GH∥平面BCD.同理，F(xiàn)H∥平面BCD,又GH∩FH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∵GF?平面FHG，∴GF∥平面BCD。（3)解取線段AE的中點(diǎn)R,DC的中點(diǎn)M，DB的中點(diǎn)S，連接MS，RS,BR，DR，EM，則MS綊eq\f（1,2)BC。又RE綊eq\f（1，2)BC，∴MS綊RE，∴四邊形MERS是平行四邊形，∴RS∥ME.在△DEC中,ED＝EC,M是CD的中點(diǎn)，∴EM⊥DC。由（1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，∴BC⊥平面CDE?！逧M?平面CDE，∴EM⊥BC.∵BC∩CD＝C,∴EM⊥平面BCD。∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD.∵RS?平面BDR,∴平面BDR⊥平面DCB.跟蹤訓(xùn)練3（1）證明如圖，取BE的中點(diǎn)H,連接HF，GH.因?yàn)镚，F(xiàn)分別是EC和BD的中點(diǎn)，所以HG∥BC，HF∥DE.又因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以DE∥AB，從而HF∥AB。所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.又因?yàn)镚H∩HF＝H，所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC。（2)證明因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以EB⊥AB。又因?yàn)槠矫鍭BED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC＝AB，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC。又因?yàn)镃A2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC。又因?yàn)锽E∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.又因?yàn)锳C?平面ACD,從而平面EBC⊥平面ACD。（3）解取AB的中點(diǎn)N,連