有限元分析理論基礎(chǔ)

材料力學(xué)與彈性力學(xué)

—本課程中所指的是有限單元法在彈性力學(xué)問題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。本章將簡(jiǎn)單介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識(shí)。預(yù)備知識(shí)第1頁/共39頁第一頁，共40頁。彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—材料力學(xué)

1、研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2、研究的對(duì)象：有相同也有區(qū)別。材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。第2頁/共39頁第二頁，共40頁。彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—材料力學(xué)

3、研究的方法：有較大的區(qū)別。雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。第3頁/共39頁第三頁，共40頁。材料力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—彈性力學(xué)第4頁/共39頁第四頁，共40頁。彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—材料力學(xué)

總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時(shí)，往往需要冗長的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：第5頁/共39頁第五頁，共40頁。彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定(1)物體是連續(xù)的，亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。(2)物體是完全彈性的，亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。(3)物體是均勻的，也就是說整個(gè)物體是由同一種材料組成的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標(biāo)而變。第6頁/共39頁第六頁，共40頁。彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定(4)物體是各向同性的，也就是說物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。(5)物體的變形是微小的，亦即當(dāng)物體受力以后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。第7頁/共39頁第七頁，共40頁。2023/2/118§2-1外力、應(yīng)力、應(yīng)變與位移在有限元法中的表示方法一、外力

外力可以分為體積力、面積力和節(jié)點(diǎn)之中力*，分別用以下符號(hào)表示：1）體積力

2）表面力

3）節(jié)點(diǎn)集中力

節(jié)點(diǎn)集中力是廣義力，可以是力，也可以是力矩。第8頁/共39頁第八頁，共40頁。2023/2/119二、應(yīng)力

空間三維問題

平面問題三、應(yīng)變空間三維問題

平面問題四、位移空間三維問題

平面問題一維問題

一維問題

一維問題

第9頁/共39頁第九頁，共40頁。2023/2/1110§2-2彈性力學(xué)的基本方程一、平衡方程

在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，割取一個(gè)微小的平行六面體，它的直于坐標(biāo)軸，而棱邊的長度分別為，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上圖2-1所示。以x軸為投影軸，列出投影的平衡方程，得：第10頁/共39頁第十頁，共40頁。2023/2/1111第11頁/共39頁第十一頁，共40頁。2023/2/1112整理后得到：在上式中消掉得到利用和還可以得到另外兩個(gè)方程，即：彈性體平衡微分方程

該方程給出地是微元體的平衡條件，即平衡的微分條件。也就是說如果整個(gè)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，結(jié)構(gòu)內(nèi)部任意點(diǎn)（微元體）都必須滿足的條件。第12頁/共39頁第十二頁，共40頁。2023/2/1113二、幾何方程給出彈性體內(nèi)部任意點(diǎn)處的應(yīng)變與位移之間的微分關(guān)系。

1、應(yīng)變與位移的關(guān)系以為例，彈性體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變與位移的關(guān)系如圖示：

在結(jié)構(gòu)取一微小線段，兩個(gè)端點(diǎn)變形前的坐標(biāo)分別為：、兩個(gè)端點(diǎn)變形后的坐標(biāo)分別為：、第13頁/共39頁第十三頁，共40頁。2023/2/1114在小變形情況下，變形后微小線段的長度可以近似表示為為：根據(jù)應(yīng)變的定義可得：第14頁/共39頁第十四頁，共40頁。2023/2/1115

同理可推導(dǎo)出其它5個(gè)應(yīng)變分量。則彈性體內(nèi)任意點(diǎn)的6個(gè)應(yīng)變分量可以表示為：對(duì)于平面問題，應(yīng)變-位移關(guān)系可以簡(jiǎn)化為：對(duì)于一維問題，應(yīng)變-位移關(guān)系可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：第15頁/共39頁第十五頁，共40頁。2023/2/11162、應(yīng)變-位移關(guān)系的矩陣表示三維情況令：其中稱微分算子，稱算子矩陣。第16頁/共39頁第十六頁，共40頁。2023/2/1117二維問題的應(yīng)變-位移關(guān)系可簡(jiǎn)化為：一維問題的應(yīng)變-位移關(guān)系可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：則應(yīng)變-位移關(guān)系可以簡(jiǎn)記為統(tǒng)一的矩陣形式：第17頁/共39頁第十七頁，共40頁。2023/2/1118三、物理方程（本構(gòu)關(guān)系）

1、有限元本構(gòu)關(guān)系的矩陣形式為：對(duì)于三維情況有：

第18頁/共39頁第十八頁，共40頁。2023/2/11192、對(duì)于二維平面應(yīng)力問題的定義平面應(yīng)力由此可以得出

此時(shí)有

3、對(duì)于二維平面應(yīng)變問題的定義平面應(yīng)變由此可以得出

此時(shí)有

第19頁/共39頁第十九頁，共40頁。2023/2/1120四、相容方程（協(xié)調(diào)方程）

相容方程給出彈性體的變形協(xié)調(diào)性條件，彈性體在變形之前是連續(xù)的，變形后仍然要保持連續(xù)。即彈性體內(nèi)部各點(diǎn)的位移必須是單值連續(xù)的，不能出現(xiàn)重疊或開裂現(xiàn)象。

由于有限元采用的多項(xiàng)式位移插值函數(shù)全部滿足相容條件，只要求了解這一概念，具體形式不作要求。第20頁/共39頁第二十頁，共40頁。虛功原理及虛功方程圖1-8a示一平衡的杠桿，對(duì)C點(diǎn)寫力矩平衡方程：圖1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖：綜合可得：即：式(1-15)是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。第21頁/共39頁第二十一頁，共40頁。虛功原理

進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)，和這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足(1-15)式的關(guān)系。將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。

對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a中的和所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾模淮嬖谖灰?，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢姡@個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。第22頁/共39頁第二十二頁，共40頁。虛功原理

必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。(如圖1-8中的反力，由于支點(diǎn)C沒有位移，故所作的虛功對(duì)于零)。反之，如圖1-8中的和是在位移過程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。第23頁/共39頁第二十三頁，共40頁。虛功原理與虛功方程虛功原理表述如下：在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對(duì)于零。虛功原理用公式表示為：

這就是虛功方程，其中P和相應(yīng)的代表力和虛位移。第24頁/共39頁第二十四頁，共40頁。虛功原理----用于彈性體的情況

虛功方程(1-16)是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠桿是絕對(duì)剛性，沒有任何的變形，因而在方程(1-15)或(1-16)中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分，即：

W=T-U；內(nèi)力功(-U)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。根據(jù)虛功原理，總功等于零得：T-U=0

外力虛功T=內(nèi)力虛功

U

彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。第25頁/共39頁第二十五頁，共40頁。2023/2/1126有限元分析的一般過程一、結(jié)構(gòu)的離散化

將結(jié)構(gòu)或彈性體人為地劃分成由有限個(gè)單元，并通過有限個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接的離散系統(tǒng)。這一步要解決以下幾個(gè)方面的問題:1、選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒖枷?，既要考慮到工程設(shè)計(jì)習(xí)慣，又要照顧到建立模型的方便。2、根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，選擇不同類型的單元。對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)可能同時(shí)用到多種類型的單元，此時(shí)還需要考慮不同類型單元的連接處理等問題。3、根據(jù)計(jì)算分析的精度、周期及費(fèi)用等方面的要求，合理確定單元的尺寸和階次。4、根據(jù)工程需要，確定分析類型和計(jì)算工況。要考慮參數(shù)區(qū)間及確定最危險(xiǎn)工況等問題。5、根據(jù)結(jié)構(gòu)的實(shí)際支撐情況及受載狀態(tài)，確定各工況的邊界約束和有效計(jì)算載荷。第26頁/共39頁第二十六頁，共40頁。2023/2/1127

在有限元法中通常選擇多項(xiàng)式函數(shù)作為單元位移插值函數(shù)，并利用節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件，將位移插值函數(shù)整理成以下形函數(shù)矩陣與單元節(jié)點(diǎn)位移向量的乘積形式。

位移插值函數(shù)需要滿足相容（協(xié)調(diào)）條件，采用多項(xiàng)式形式的位移插值函數(shù)，這一條件始終可以滿足。但近年來有人提出了一些新的位移插值函數(shù)，如：三角函數(shù)、樣條函數(shù)及雙曲函數(shù)等，此時(shí)需要檢查是否滿足相容條件。二、選擇位移插值函數(shù)

1、位移插值函數(shù)的要求第27頁/共39頁第二十七頁，共40頁。2023/2/1128

形函數(shù)的性質(zhì)：1）相關(guān)節(jié)點(diǎn)處的值為1，不相關(guān)節(jié)點(diǎn)處的值為0。2）形函數(shù)之和恒等于1。2、位移插值函數(shù)的收斂性（完備性）要求：

1）位移插值函數(shù)必須包含常應(yīng)變狀態(tài)。2）位移插值函數(shù)必須包含剛體位移。3、復(fù)雜單元形函數(shù)的構(gòu)造

對(duì)于高階復(fù)雜單元，利用節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件求解形函數(shù)，實(shí)際上是不可行的。因此在實(shí)際應(yīng)用中更多的情況下是利用形函數(shù)的性質(zhì)來構(gòu)造形函數(shù)。以階梯軸的形函數(shù)為例兩個(gè)形函數(shù)分別為在節(jié)點(diǎn)有：在節(jié)點(diǎn)有：在任何點(diǎn)有：

這里我們稱為的相關(guān)節(jié)點(diǎn)，為的相關(guān)節(jié)點(diǎn)，其它點(diǎn)均為不相關(guān)節(jié)點(diǎn)。第28頁/共39頁第二十八頁，共40頁。2023/2/1129

使用最小勢(shì)能原理，需要計(jì)算結(jié)構(gòu)勢(shì)能，由彈性應(yīng)變能和外力虛功兩部分構(gòu)成。結(jié)構(gòu)已經(jīng)被離散，彈性應(yīng)變能可以由單元彈性應(yīng)變能疊加得到，外力虛功中的體力、面力都是分布在單元上的，也可以采用疊加計(jì)算。1、計(jì)算單元彈性應(yīng)變能

——

單元體積。

由幾何關(guān)系代入前式有：

令：

稱單元?jiǎng)偠染仃?，?jiǎn)稱單剛。

這樣單元彈性應(yīng)變能可以表示為：

三、

單元分析目的：計(jì)算單元彈性應(yīng)變能和外力虛功。第29頁/共39頁第二十九頁，共40頁。2023/2/11302、計(jì)算單元外力功

1)體力虛功令：

稱單元等效體力載荷向量。

單元體力虛功可以表示為：

2)表面力虛功——單元上外力已知的表面

,注意！這里只考慮結(jié)構(gòu)的邊界表面。令：

稱單元等效面力載荷向量。

單元表面力虛功可以表示為：

第30頁/共39頁第三十頁，共40頁。2023/2/1131從前面推導(dǎo)可以看出：

單元彈性應(yīng)變能可計(jì)算的部分只有單元?jiǎng)偠染仃?，單元外力虛功可?jì)算的部分只有單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量。在實(shí)際分析時(shí)并不需要進(jìn)行上述推導(dǎo)，只需要將假定的位移插值函數(shù)代入本節(jié)推導(dǎo)得出的單元?jiǎng)偠染仃嚒⒌刃w力載荷向量和等效面力載荷向量的計(jì)算公式即可。所以我們說有限元分析的第三步是計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒⒌刃w力載荷向量和等效面力載荷向量。幾點(diǎn)說明：

1）單元?jiǎng)偠染仃嚲哂姓ㄐ?、奇異性和?duì)稱性三各重要特性。所謂正定性指所有對(duì)角線元素都是正數(shù)，其物理意義是位移方向與載荷方向一致；奇異性是說單元?jiǎng)偠染仃嚥粷M秩是奇異矩陣，其物理意義是單元含有剛體位移；對(duì)稱性是說單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣，程序設(shè)計(jì)時(shí)可以充分利用。2）按照本節(jié)公式計(jì)算的單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量稱為一致載荷向量。實(shí)際分析時(shí)有時(shí)也采用靜力學(xué)原理計(jì)算單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量，實(shí)際應(yīng)用表明在大多數(shù)情況下，這樣做可以簡(jiǎn)化計(jì)算，同時(shí)又基本上不影響分析結(jié)果。第31頁/共39頁第三十一頁，共40頁。2023/2/1132四、整體分析

目的：計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的勢(shì)能，代入最小勢(shì)能原理：

1、計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能。

令：

——結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣（總剛）

此時(shí)結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能可以表示為：

結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能可計(jì)算的部分只有所以我們說，結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能的計(jì)算就歸結(jié)為總剛的計(jì)算。第32頁/共39頁第三十二頁，共40頁。2023/2/11332、計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的外力虛功。

將變換形式寫成

將變換形式寫成外力虛功可以表示為：

令：

——結(jié)構(gòu)整體等效節(jié)點(diǎn)載荷向量。

外力虛功可以進(jìn)一步表示為：

結(jié)構(gòu)的外力虛功可計(jì)算的部分只有

所以我們說，結(jié)構(gòu)的外力虛功可計(jì)算就歸結(jié)為結(jié)構(gòu)整體等效節(jié)點(diǎn)載荷向量的計(jì)算。第33頁/共39頁第三十三頁，共40頁。2023/2/11343、計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的勢(shì)能并代入最小勢(shì)能原理。

將結(jié)構(gòu)彈性應(yīng)變能及外力虛功的表達(dá)式代入結(jié)構(gòu)勢(shì)能表達(dá)式，則結(jié)構(gòu)的勢(shì)能可以表示為：

將上式代入泛函的極值條件

或

可以得到

移項(xiàng)后有

——結(jié)構(gòu)近似平衡方程。

結(jié)構(gòu)近似平衡方程的物理意義與平衡微分方程等價(jià)，但該方程放松了對(duì)平衡的要求，給出的僅僅是近似的平衡條件。這非常有利于進(jìn)行近似求解。第34頁/共39頁第三十四頁，共40頁。2023/2/11354、實(shí)際應(yīng)用時(shí)結(jié)構(gòu)近似平衡方程的生成

實(shí)際應(yīng)用時(shí)我們完全可以根據(jù)單元?jiǎng)偠染仃?、單元等效體力載荷向量、單元等效面力載荷向量及節(jié)點(diǎn)集中載荷向量直接生成結(jié)構(gòu)近似平衡方程，現(xiàn)在舉例說明生成過程。例3-1一圖示桁架結(jié)構(gòu)，各節(jié)點(diǎn)自由度編號(hào)如圖：①②③④第35頁/共39頁第三十五頁，共40頁。2023/2/11365、整體剛度矩陣的性質(zhì)1）稀疏性整體剛度矩陣是一個(gè)大型稀疏矩陣，非零元素不到10%，對(duì)于大型實(shí)際問題可能只有2%~5%。3）對(duì)稱性整體剛度矩陣也是是對(duì)稱矩陣。程序設(shè)計(jì)時(shí)可以充分利