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廣西壯族自治區(qū)柳州市第十八中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.若,那么下列不等式中正確的是(
)A. B. C. D.參考答案:D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】若,則,故A錯(cuò),,故B錯(cuò),,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用,要求熟練掌握不等式的性質(zhì).注意不等式成立的條件.2.若P={(,y)|2-=3},Q={(,)|+2=4},則P∩Q=A{(,-)}
B
(,-)
C
{(2,1)}
D(2,1)參考答案:C
3.已知向量,的夾角為120°,且||=2,||=3,則向量2+3在向量2+方向上的投影為()A. B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】9R:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】利用求模運(yùn)算得到|2+3|,向量|2+|進(jìn)而得到向量向量2+3與向量2+的夾角余弦,根據(jù)投影定義可得答案.【解答】解:向量,的夾角為120°,且||=2,||=3,所以|2+3|2=42+12?+92=16+12||||cos120°+81=61,|2+3|=.又|2+|2=4+4+=16+4×3×2cos120°+9=13,所以|2+|=,則cos<2+3,2+>===,所以向量2+3在向量2+方向上的投影為|2+3|cos<2+3,2+>==,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義,考查向量模的求解投影等概念,是中檔題.4.對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),若存在非零實(shí)數(shù)x0,使函數(shù)f(x)在(﹣∞,x0)和(x0,+∞)上與x軸均有交點(diǎn),則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)“界點(diǎn)”.則下列四個(gè)函數(shù)中,不存在“界點(diǎn)”的是()A.f(x)=x2+bx﹣1(b∈R) B.f(x)=|x2﹣1|C.f(x)=2﹣|x﹣1| D.f(x)=x3+2x參考答案:D【考點(diǎn)】函數(shù)的值.【分析】判斷函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù),由此能求出結(jié)果.【解答】解:在A中,f(x)=x2+bx﹣1,b∈R,△=b2+4>0,函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故A存在“界點(diǎn)”;在B中,f(x)=|x2﹣1|=,與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(﹣1,0),(1,0),故B存在“界點(diǎn)”;在C中,f(x)=2﹣|x﹣1|與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(﹣1,0),(3,0),故C存在“界點(diǎn)”;在D中,f(x)=x3+2x與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),故D不存在“界點(diǎn)”.故選:D.5.已知的取值范圍為(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:B6.設(shè),則等于()A.
B.
C.
D.參考答案:C7.
參考答案:C8.樣本的平均數(shù)為,樣本的平均數(shù)為,則樣本的平均數(shù)為
(
)A.
B.
C.2
D.參考答案:B略9.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是()A.若l⊥m,m?α,則l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,則m⊥αC.若l∥α,m?α,則l∥m
D.若l∥α,m∥α,則l∥m參考答案:B10.設(shè)集合,,則A∩B=(
)A. B. C. D.參考答案:D試題分析:集合,集合,所以,故選D.考點(diǎn):1、一元二次不等式;2、集合的運(yùn)算.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一束光線從y軸上點(diǎn)A(0,1)出發(fā),經(jīng)過x軸上點(diǎn)C反射后經(jīng)過點(diǎn)B(3,3),則光線從A點(diǎn)到B點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)是
.參考答案:512.已知函數(shù)y=lg(ax2﹣2x+2)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.參考答案:(0,]【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).【分析】本題中函數(shù)y=lg(ax2﹣2x+2)的值域?yàn)镽,故內(nèi)層函數(shù)ax2﹣2x+2的值域要取遍全體正實(shí)數(shù),當(dāng)a=0時(shí)不符合條件,當(dāng)a>0時(shí),可由△≥0保障內(nèi)層函數(shù)的值域能取遍全體正實(shí)數(shù).【解答】解:當(dāng)a=0時(shí)不符合條件,故a=0不可取;當(dāng)a>0時(shí),△=4﹣8a≥0,解得a≤,故0<a≤,故答案為:(0,].13.給出下列說(shuō)法:①集合A={x∈Z|x=2k﹣1,k∈Z}與集合B={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}是相等集合;②若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇0,4];③定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)a、b,總有>0成立,則f(x)在R上是增函數(shù);④存在實(shí)數(shù)m,使f(x)=x2+mx+1為奇函數(shù).正確的有.參考答案:①③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.【專題】綜合題;函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;簡(jiǎn)易邏輯.【分析】由集合相等的概念判斷①;直接求出函數(shù)的定義域判斷②;由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷③;由奇函數(shù)的性質(zhì):定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)有f(0)=0判斷④.【解答】解:①集合A={x∈Z|x=2k﹣1,k∈Z}與集合B={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}均為奇數(shù)集,是相等集合,故①正確;②若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則由0≤2x≤2,解得0≤x≤1,函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇0,1],故②錯(cuò)誤;③定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)a、b,總有>0成立,即當(dāng)a>b時(shí),有f(a)>f(b),則f(x)在R上是增函數(shù),故③正確;④函數(shù)f(x)=x2+mx+1的定義域?yàn)镽,若函數(shù)為奇函數(shù),則f(0)=0,即1=0,矛盾,∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m,函數(shù)f(x)=x2+mx+1不會(huì)是奇函數(shù),故④錯(cuò)誤.故答案為:①③.【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了集合相等的概念,考查了與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域的求法,考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì),是中檔題.14.若關(guān)于x的方程|3x﹣1|=k(k為常數(shù)且k∈R)有兩個(gè)不同的根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
.參考答案:(0,1)【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.【專題】計(jì)算題;作圖題;數(shù)形結(jié)合;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】作函數(shù)y=|3x﹣1|與y=k的圖象,從而由題意可得函數(shù)y=|3x﹣1|與y=k的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),從而解得.【解答】解:作函數(shù)y=|3x﹣1|與y=k的圖象如下,,∵方程|3x﹣1|=k有兩個(gè)不同的根,∴函數(shù)y=|3x﹣1|與y=k的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),∴0<k<1;故答案為:(0,1).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用.15.若函數(shù)在[1,3]是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
.參考答案:由于函數(shù)為二次函數(shù),對(duì)稱軸為,只需對(duì)稱軸不在區(qū)間[1,3]上即可,即或,解得.
16.已知
(>0,)是R上的增函數(shù),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是
.參考答案:17.函數(shù)的定義域?yàn)開__________________參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過程或演算步驟18.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin22x+sin2x?cos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈[,],且f(x)=1,求x的值.參考答案:考點(diǎn): 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;三角函數(shù)的周期性及其求法.專題: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析: (1)利用三角函數(shù)的倍角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),即可求f(x)的最小正周期;(2)根據(jù)f(x)=1,解方程即可.解答: (1)=…(2分)=.…(4分)因?yàn)?,所以f(x)的最小正周期是.…(6分)(2)由(1)得,.因?yàn)閒(x)=1,所以…(7分)而,所以,…(10分)所以…(12分)點(diǎn)評(píng): 本題主要考查三角函數(shù)的周期和方程的求解,根據(jù)倍角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.,要求熟練三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).19.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若x=,設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn),求|+|的最小值;(2)若x∈(0,),向量,,求的最小值及對(duì)應(yīng)的x值.參考答案:【考點(diǎn)】9R:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】(1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值.(2)由題意得=1﹣sin(2x+),再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求出它的最小值.【解答】解:(1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),由題易知C(﹣,),所以+=(﹣+t,)所以|+|2=﹣t+t2+=t2﹣t+1=(t﹣)2+(0≤t≤1),所以當(dāng)t=時(shí),|+|最小,為.(2)由題意,得C(cosx,sinx),m==(cosx+1,sinx),則m?n=1﹣cos2x+sin2x﹣2sinxcosx=1﹣cos2x﹣sin2x=1﹣sin(2x+),因?yàn)閤∈[0,],所以≤2x+≤,所以當(dāng)2x+=,即x=時(shí),sin(2x+)取得最大值1,所以m?n的
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