2018屆數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖學(xué)案文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE25-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精eq\o（\s\up7(第一節(jié))，\s\do5（））eq\o(\s\up7(空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖），\s\do5(）)1.能畫(huà)出柱、錐、臺(tái)、球等簡(jiǎn)易組合體的三視圖,并能識(shí)別三視圖所表示的立體模型．會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖．2．了解平行投影與中心投影，了解空間圖形的不同表示形式．知識(shí)點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．多面體（1)棱柱的側(cè)棱都________，上下底面是______且______的多邊形．(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)________的三角形．(3）棱臺(tái)可由________________的平面截棱錐得到,其上下底面是________且______的多邊形．2．旋轉(zhuǎn)體(1）圓柱可以由______繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到．(2)圓錐可以由直角三角形繞其__________________旋轉(zhuǎn)得到．(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到,也可由______于圓錐底面的平面截圓錐得到．(4)球可以由半圓或圓繞____________旋轉(zhuǎn)得到．答案1．(1）互相平行互相平行全等（2)公共頂點(diǎn)(3)平行于棱錐底面相互平行相似2．(1)矩形(2）一條直角邊所在直線(xiàn)（3）平行（4）直徑所在直線(xiàn)1．下列說(shuō)法正確的是（)A．有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)解析:A錯(cuò)，如圖1；B正確，如圖2，其中底面ABCD是矩形，可證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；C錯(cuò)，如圖3;D錯(cuò)，由棱臺(tái)的定義知，其側(cè)棱必相交于同一點(diǎn)．答案：B2．下圖所示的幾何體中，是棱柱的為_(kāi)_______（填寫(xiě)所有正確的序號(hào))．解析：根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知③⑤是棱柱．答案：③⑤知識(shí)點(diǎn)二空間幾何體的三視圖1．三視圖的名稱(chēng)幾何體的三視圖包括________、________、________。2．三視圖的畫(huà)法（1）畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線(xiàn)只畫(huà)一條,擋住的線(xiàn)要畫(huà)成虛線(xiàn)．（2）三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的______方、______方、______方觀察幾何體得到的正投影圖．答案1．正視圖側(cè)視圖俯視圖2．(2)正前正左正上3．（2016·天津卷)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為(）解析：由正視圖、俯視圖得原幾何體的形狀如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為B.答案:B4．如圖所示，圖①②③是圖④所示的幾何體的三視圖,若圖①是正視圖，則圖②是________,圖③是________．解析：根據(jù)三視圖的概念知圖②是側(cè)視圖，圖③是俯視圖．答案：側(cè)視圖俯視圖知識(shí)點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用________畫(huà)法來(lái)畫(huà),其規(guī)則是：1．原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為_(kāi)___，z′軸與x′軸和y′軸所在平面______．2．原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段，直觀圖中仍分別____________．平行于x軸和z軸的線(xiàn)段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度________，平行于y軸的線(xiàn)段在直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)開(kāi)_________．答案斜二測(cè)1。45°或135°垂直2．平行于坐標(biāo)軸不變?cè)瓉?lái)的一半5．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的水平圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是（)解析：由直觀圖的畫(huà)法可知,落在y軸上的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為2eq\r（2)。答案:A熱點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直;③在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；⑤棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是________．【解析】①不正確,根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；③正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線(xiàn)平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體AC1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；⑤正確,由棱臺(tái)的概念可知．【答案】②③④⑤【總結(jié)反思】（1)解決本類(lèi)題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷．(2）解決本類(lèi)題目的技巧:三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問(wèn)題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類(lèi)的命題進(jìn)行辨析.給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn);②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③直角三角形繞其任一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(）A．0 B．1C．2 D．3解析:①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線(xiàn)平行于軸時(shí)才是母線(xiàn)；②不一定，因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨切?并不等價(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形"，如圖1所示;③不一定，當(dāng)以斜邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐,如圖2所示,它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；④錯(cuò)誤,棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．答案：A熱點(diǎn)二空間幾何體的三視圖考向1由直觀圖判斷三視圖【例2】(2017·貴州七校聯(lián)考）如圖所示,四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)（長(zhǎng)方體是虛擬圖形,起輔助作用)，則四面體ABCD的三視圖是（用①②③④⑤⑥代表圖形)（)A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤【解析】正視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和4的矩形,其對(duì)角線(xiàn)左下到右上是實(shí)線(xiàn)，左上到右下是虛線(xiàn)，因此正視圖是①；側(cè)視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為5和4的矩形,其對(duì)角線(xiàn)左上到右下是實(shí)線(xiàn),左下到右上是虛線(xiàn)，因此側(cè)視圖是②；俯視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和5的矩形，其對(duì)角線(xiàn)左上到右下是實(shí)線(xiàn),左下到右上是虛線(xiàn)，因此俯視圖是③。【答案】B考向2由三視圖還原直觀圖【例3】（2016·北京卷）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（)A.eq\f(1,6）B.eq\f（1，3)C.eq\f(1,2)D．1【解析】由三視圖可得該幾何體的直觀圖為三棱錐A－BCD，將其放在長(zhǎng)方體中如圖所示，其中BD＝CD＝1，CD⊥BD，三棱錐的高為1,所以三棱錐的體積為eq\f（1,3）×eq\f（1，2）×1×1×1＝eq\f（1,6).故選A?！敬鸢浮緼考向3由部分視圖確定剩余視圖【例4】已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同，如圖所示,其中AB＝AC，四邊形BCDE為矩形,則該組合體的俯視圖可以是________（把你認(rèn)為正確的圖的序號(hào)都填上）．【解析】直觀圖如圖1的幾何體（上部是一個(gè)正四棱錐,下部是一個(gè)正四棱柱）的俯視圖為①；直觀圖如圖2的幾何體(上部是一個(gè)正四棱錐，下部是一個(gè)圓柱）的俯視圖為②；直觀圖如圖3的幾何體(上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱)的俯視圖為③;直觀圖如圖4的幾何體(上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)正四棱柱)的俯視圖為④?！敬鸢浮竣佗冖邰堋究偨Y(jié)反思】三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略（1）由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線(xiàn)表示,不能看到的部分用虛線(xiàn)表示．（2）由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．（3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖。（1）(2017·南昌一模)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,點(diǎn)P是平面A1B1C1DA．11 B．21C．23 D．32(2）（2017·汕頭模擬)一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是（）(3)（2016·四川卷）已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．解析：（1)根據(jù)題意，三棱錐P－BCD的正視圖是三角形,且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)、高為正四棱柱的高;側(cè)視圖是三角形,且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)、高為正四棱柱的高,故三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為11。(2）A,B，D選項(xiàng)滿(mǎn)足三視圖作法規(guī)則，C不滿(mǎn)足三視圖作法規(guī)則中的寬相等,故C不可能是該錐體的俯視圖．(3）由正視圖知，底面三角形是腰長(zhǎng)為2，底邊為2eq\r(3）的等腰三角形，三棱錐的高為1，所以該三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1，2）×2eq\r（3）×1）×1＝eq\f(\r（3）,3）。答案：(1)A（2）C（3)eq\f(\r（3）,3)熱點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖【例5】如圖所示,四邊形A′B′C′D′是一平面圖形的水平放置的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖，在斜二測(cè)直觀圖中,四邊形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′,A′D′⊥C′D′，且B′C′與y′軸平行，若A′B′＝6,D′C′＝4,A′D′＝2.求這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積．【解】根據(jù)斜二測(cè)直觀圖畫(huà)法規(guī)則可知該平面圖形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不變．由于C′B′＝eq\r(2）A′D′＝2eq\r(2).所以CB＝4eq\r(2）。故平面圖形的實(shí)際面積為eq\f(1,2）×（6＋4)×4eq\r(2)＝20eq\r（2).【總結(jié)反思】對(duì)于幾何體的直觀圖，除掌握斜二測(cè)畫(huà)法外,記住原圖形面積S與直觀圖面積S′之間的關(guān)系S′＝eq\f（\r(2)，4)S,能更快捷地進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算。已知平面△ABC的直觀圖A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求原△ABC的面積．解：如圖所示，△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形,作C′D′∥A′B′交y′軸于點(diǎn)D′，則D′到x′軸的距離為eq\f(\r（3）,2）a，∵∠D′A′B′＝45°，∴A′D′＝eq\f(\r（6），2）a,由斜二測(cè)畫(huà)法的法則知，在△ABC中，AB＝A′B′＝a,AB邊上的高是A′D′的二倍,即為eq\r（6）a,∴S△ABC＝eq\f（1，2)a·eq\r(6)a＝eq\f（\r（6），2)a2。1．對(duì)于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問(wèn)題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)解決，這種題目難度不大．2．在繪制三視圖時(shí),若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線(xiàn)是它們的分界線(xiàn)．在三視圖中，分界線(xiàn)和可見(jiàn)輪廓線(xiàn)都用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出，被擋住的輪廓線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)．并做到“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”．3．能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖；也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖．提升空間想象能力．找出三視圖中擾人的最大值關(guān)于三視圖,主要有兩種考查形式:一是根據(jù)給定幾何體判斷或補(bǔ)畫(huà)視圖，二是由三視圖想象出原幾何體，進(jìn)而計(jì)算它的面積或體積．而在考查第二種形式時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，有一種和求最大值相關(guān)的題型，尤其是最大面的面積問(wèn)題，學(xué)生容易理解不到位，感到比較棘手，因此本文對(duì)此類(lèi)問(wèn)題作詳細(xì)分析，以便讓學(xué)生透徹理解這擾人的最大值,使得這類(lèi)問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)單流暢．【例1】某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的六條棱的長(zhǎng)度中，最大的是()A．2eq\r(5） B．2eq\r（6）C．2eq\r(7） D．4eq\r（2)【解析】由三視圖可知該四面體為三棱錐V－ABC，如圖，其中EC＝CB＝2，AE＝2eq\r(3），VC＝2，AE⊥BE，VC⊥平面ABE，所以六條棱中，最大的棱為VA或者AB。AC2＝AE2＋EC2＝(2eq\r(3)）2＋22＝16,所以VA2＝AC2＋VC2＝16＋22＝20，此時(shí)VA＝eq\r(20）＝2eq\r（5），AB2＝AE2＋EB2＝(2eq\r（3））2＋42＝28,所以AB＝eq\r（28）＝2eq\r(7)>2eq\r（5)，所以棱長(zhǎng)最大的為2eq\r（7），選C?！敬鸢浮緾解題策略:立體幾何中的大量問(wèn)題均以棱錐為背景,其中出現(xiàn)最頻繁的莫過(guò)于三棱錐,此題只要將三視圖還原為三棱錐，利用垂直關(guān)系，理清位置和數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可得到答案．【例2】一四面體的三視圖如圖所示，則該四面體四個(gè)面中最大的面積是（）A．2B．2eq\r(2）C.eq\r(3)D．2eq\r（3)【解析】將該幾何體放入邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，由三視圖可知該四面體為D－BD1C1，由直觀圖可知，最大的面為等邊三角形BDC1。在等邊三角形BDC1中，BD＝2eq\r(2）,所以△BDC1的面積S＝eq\f(1，2）×（2eq\r(2）)2×eq\f(\r（3），2）＝2eq\r(3）,選D。【答案】D解題策略：由于正方體本身就是一個(gè)完美的對(duì)稱(chēng)體，比較容易觀察和了解到它基本的圖形性質(zhì)，棱柱、平行六面體等幾何體一般都可看作是正方體演化而來(lái)的．立體幾何中