2018屆數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第七章立體幾何第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)學(xué)案文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE25-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精eq\o（\s\up7（第五節(jié))，\s\do5（)）eq\o（\s\up7(直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)），\s\do5（））1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題．知識點一直線與平面垂直1．直線與平面垂直(1)定義：若直線l與平面α內(nèi)的______一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．（2)判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條______直線都垂直,則該直線與此平面垂直(線線垂直?線面垂直）．即：a?α，b?α,l⊥a，l⊥b，a∩b＝P?______.（3)性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線______．即：a⊥α,b⊥α?______.2．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角．(2）線面角θ的范圍：θ∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2）)）。答案1．(1）任意(2）相交l⊥α（3）平行a∥b1．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l,若直線m，n滿足m∥α,n⊥β,則(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：因為α∩β＝l，所以l?β,又n⊥β，所以n⊥l.故選C。答案:C2．（必修②P69練習(xí)題)如圖，正方形SG1G2G3中,E,F分別是G1G2，G2G3的中點,D是EF的中點,現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2,G3A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF解析：解法1：在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在四面體SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF,GE∩GF＝G，所以SG解法2：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除C；在△GSD中，GS＝a（正方形邊長），GD＝eq\f（\r（2），4）a,SD＝eq\f(3\r（2）,4)a，所以SG2≠SD2＋GD2，∠SDG≠90°,從而排除B和D.答案：A3．線段AB的長等于它在平面α內(nèi)射影長的2倍，則AB所在直線與平面α所成的角為________．解析：由題意知cosα＝eq\f(1,2）,又∵0°≤α≤90°，∴α＝60°。答案：60°知識點二二面角的有關(guān)概念1．二面角的有關(guān)概念（1）二面角：從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形叫做二面角．（2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作________的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．2．平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的一條____,則這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（，))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面互相垂直,則一個平面內(nèi)垂直于____的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（,，,）)?l⊥α答案1．（1）兩個半平面(2)垂直于棱2．垂線l?βl⊥α交線α⊥βl?βα∩β＝al⊥a4．(2017·衡水模擬)設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面（）A．若l∥α,l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β,則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：對于A，若l∥α，l∥β，則α，β可能相交；對于B，若l∥α，則平面α內(nèi)必存在一直線m與l平行，則m⊥β，又m?α，故α⊥β。選項C，l可能平行于β或l在平面β內(nèi)；選項D，l還可能平行于β或在平面β內(nèi)．答案：B5．如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB,AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的有________（填序號)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE。解析：因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE。又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE。故只有③正確．答案：③熱點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【例1】已知四棱錐P－ABCD的底面是菱形,且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC與BD的交點,求證：PO⊥平面ABCD?！咀C明】在△PBD中,PB＝PD，O為BD的中點,所以PO⊥BD，在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點，所以PO⊥AC，又因為AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD.【例2】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，設(shè)AB1的中點為D，B1C∩BC1＝求證:(1)DE∥平面AA1C(2)BC1⊥AB1.【證明】（1)由題意知,E為B1C又D為AB1的中點,因此DE∥AC。又因為DE?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C，所以（2)因為棱柱ABC－A1B1C1所以CC1⊥平面ABC.因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC。因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C因為AC,B1C?平面B1AC，AC∩B1C所以BC1⊥平面B1AC又因為AB1?平面B1AC,所以BC1⊥AB1【總結(jié)反思】(1)證明直線和平面垂直的常用方法:①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α）;③面面平行的性質(zhì)（a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．（2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．(3）線面垂直的性質(zhì),常用來證明線線垂直.如圖，在四棱錐P－ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；（2)PD⊥平面ABE.證明：（1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD,∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC。而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.（2）由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA?！逧是PC的中點，∴AE⊥PC。由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD。而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又AB⊥AD，且PA∩AD＝A∴AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD∴AB⊥PD,又AB∩AE＝A∴PD⊥平面ABE熱點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例3】(2016·江蘇卷）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1求證：(1)直線DE∥平面A1C（2)平面B1DE⊥平面A1C【證明】（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥在△ABC中,因為D，E分別為AB，BC的中點，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1又DE?平面A1C1F，A1C1?所以直線DE∥平面A1C(2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1。因為A1C1?平面A1B1C1，所以A1又A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D?平面ABB1A1,所以又B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A所以B1D⊥平面A1C因為直線B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C【總結(jié)反思】（1）掌握證明兩平面垂直常轉(zhuǎn)化為線面垂直，利用判定定理來證明．也可作出二面角的平面角，證明平面角為直角，利用定義來證明．（2）已知兩個平面垂直時，過其中一個平面內(nèi)的一點作交線的垂線，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得此直線垂直于另一個平面，于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由此得出結(jié)論:兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.（2017·南昌模擬）如圖,已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點．（1)求證：平面EFG⊥平面PAD.（2）若M是線段CD上一點，求三棱錐M－EFG的體積．解：(1）證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD。又因為△PCD中，E,F分別是PD，PC的中點．所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD.因為EF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD。（2）因為EF∥CD，EF?平面EFG，CD?平面EFG，所以CD∥平面EFG，因此CD上的點M到平面EFG的距離等于點D到平面EFG的距離，所以VM－EFG＝VD－EFG,取AD的中點H，連接GH，EH，則EF∥GH，因為EF⊥平面PAD，EH?平面PAD,所以EF⊥EH.于是S△EFH＝eq\f（1,2）EF×EH＝2＝S△EFG，因為平面EFG⊥平面PAD,平面EFG∩平面PAD＝EH，△EHD是正三角形，所以點D到平面EFG的距離等于正△EHD的高，即為eq\r(3).因此，三棱錐M－EFG的體積VM－EFG＝VD－EFG＝eq\f（1，3）×S△EFG×eq\r（3)＝eq\f(2\r（3),3）.熱點三平行與垂直的綜合問題【例4】如圖所示,平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE,點F為CE的中點．(1)證明:AE∥平面BDF.（2）點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P,使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．【解】(1)證明：連接AC交BD于點O，連接OF.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點．又F為EC的中點,∴OF∥AE。又OF?平面BDF,AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.（2）當(dāng)點P為AE的中點時，有PM⊥BE,證明如下：取BE的中點H，連接DP,PH，CH?！逷為AE的中點，H為BE的中點,∴PH∥AB.又AB∥CD，∴PH∥CD。∴P，H，C，D四點共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC,∴CD⊥平面BCE。又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，且H為BE的中點,∴CH⊥BE.∵CH∩CD＝C，∴BE⊥平面DPHC.又PM?平面DPHC，∴PM⊥BE?！究偨Y(jié)反思】處理空間中平行或垂直的探索性問題,一般先根據(jù)條件猜測點的位置，再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或n等分點中的某一個,需根據(jù)相關(guān)的知識確定點的位置。（2016·四川卷)如圖,在四棱錐P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1，2）AD。（Ⅰ）在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PAB,并說明理由；(Ⅱ)證明：平面PAB⊥平面PBD.解：（Ⅰ)取棱AD的中點M(M∈平面PAD），點M即為所求的一個點．理由如下:因為AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，所以四邊形AMCB是平行四邊形,從而CM∥AB。又AB?平面PAB，CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB。（說明:取棱PD的中點N,則所找的點可以是直線MN上任意一點)(Ⅱ)由已知，PA⊥AB,PA⊥CD，因為AD∥BC，BC＝eq\f（1，2)AD，所以直線AB與CD相交．所以PA⊥平面ABCD。從而PA⊥BD.連接BM，因為AD∥BC，BC＝eq\f(1，2）AD，所以BC∥MD，且BC＝MD。所以四邊形BCDM是平行四邊形．所以BM＝CD＝eq\f（1，2)AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.又BD?平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.1．證明線面垂直的方法（1)線面垂直的定義:a與α內(nèi)任何直線都垂直?a⊥α；（2)判定定理1：eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（m、n?α，m∩n＝A，l⊥m,l⊥n））?l⊥α；(3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α;(4)面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α?a⊥β；（5)面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.2．證明線線垂直的方法（1）定義：兩條直線所成的角為90°;（2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3）線面垂直的性質(zhì):a⊥α，b?α?a⊥b；（4）線面垂直的性質(zhì)：a⊥α,b∥α?a⊥b.3．證明面面垂直的方法(1）利用定義：兩個平面相交,所成的二面角是直二面角;(2）判定定理:a?α，a⊥β?α⊥β.4．轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決．專題四高考解答題鑒賞-—立體幾何從近五年的高考試題來看,立體幾何是歷年高考的重點，約占整個試卷的13%,通常以一大一小的模式命題，以中、低檔難度為主．三視圖、簡單幾何體的表面積與體積，點、線、面位置關(guān)系的判定與證明以及空間角的計算是考查的重點內(nèi)容,前者多以客觀題的形式命題，后者主要以解答題的形式加以考查．著重考查推理論證能力和空間想象能力，而且對數(shù)學(xué)運算的要求有加強的趨勢,轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿整個立體幾何的始終．【典例】(2016·新課標(biāo)全國卷Ⅰ,12分）如圖，已知正三棱錐P－ABC的側(cè)面是直角三角形,PA＝6.頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G.(1）證明：G是AB的中點;(2)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積．【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1）證明：因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB⊥PD。因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE。（2分)又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，從而G是AB的中點．(4分)（2)在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于點F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影．(5分)理由如下:由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC。又EF∥PB，所以EF⊥PA,EF⊥PC，又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．（7分)理由如下:由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC.又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC,又PA∩PC＝P,因此EF⊥平面PAC，即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．連接CG，因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心，由（1)知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CD＝eq\f(2,3）CG。(9分）由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE＝eq\f(2，3）PG，DE＝eq\f(1,3)PC。由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA＝6,可得DE＝2，PE＝2eq\r(2）.在等腰直角三角形EFP中,可得EF＝PF＝2。(11分)所以四面體PDEF的體積V＝eq\f（1,3）×eq\f（1，2)×2×2×2＝eq\f（4,3).（12分)【閱卷點評】本題通過正投影考查線面垂直．第（1)題較基礎(chǔ)，考查學(xué)生對垂直的判定和性質(zhì)的理解；第(2）題較復(fù)雜，既考查了學(xué)生的抽象推理能力，又考查