求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法總結(jié)

求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法數(shù)列是高考中的重點(diǎn)考察內(nèi)容之一，每年高考都會考察，小題一般較易，大題一般較難。數(shù)列的通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。-、直接規(guī)律法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項(xiàng)公式。例1.根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，說出數(shù)列的通項(xiàng)公式:6

/ 351——3，(1\4例1.根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，說出數(shù)列的通項(xiàng)公式:6

/ 351——3，(1\4158/ 630，51099(2X-19— 35176333— 99（時1,2,5,8,12（5、二、公式法利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)若已知數(shù)列的前（5、二、公式法利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系IS n=1a=K1 求解?n[S—S nN2（注意：求完后一定要考慮合并通項(xiàng)）例2.①已知數(shù)列的前n項(xiàng)和5〃滿足S的通項(xiàng)an可用公式②已知數(shù)列｝的前n項(xiàng)和S滿足S=n2+n—1已知等比數(shù)列七｝的首項(xiàng)a1=1列b｝的通項(xiàng)公式。n=2a+（—1）n,n>1.求數(shù)列k｝的通項(xiàng)公式.，求數(shù)列kJ的通項(xiàng)公式.公比0VqV1，設(shè)數(shù)列b｝的通項(xiàng)為b=a+1+a+2，求數(shù)③解析：由題意，b③解析：由題意，b=a++2+an+1n+3又匕｝是等比數(shù)列，公比為q婦=婦=氣+七3=qbn an+1+an+2故數(shù)列X｝是等比數(shù)列，b=a+a=aq+aq2=q(q+1)，

n 12 3 1 1b=b=q(q+1)-qn-1=qn(0+1)三、待定系數(shù)法:求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪f推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未

知為已知的化歸思想，運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。1、遞推式為a1=Pa+q(p/l，pq/°)型，通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列｛a+燈的形式求解。解法：設(shè)氣+1+k=p(a^+k)與原式比較系數(shù)可得pk—k=q，即k=；1，從而得等比數(shù)列｛a+k｝。例3、數(shù)列｛a「滿足a1=1,a廣2a〃_1+1(nN2)，求數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式。解：由a=萬a1+1(nN2)得a—2=^(a1—2)，而a1—2=1—2=—1，?, 口1,一 ，………，，?.?數(shù)列｛a^-2｝是以萬為公比，一1為首項(xiàng)的等比數(shù)列11「.a-2=-(2)n~1 「.a=2-(-^)n~1說明：通過對常數(shù)1的分解，進(jìn)行適當(dāng)組合，可得等比數(shù)列｛an技｝,從而達(dá)到解決問題的目的。練習(xí)、1數(shù)列｛a「滿足a1=1，3氣+1+a「7=0,求數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式。TOC\o"1-5"\h\z1 7n+1 n設(shè)a+k=——(a+k)n+1 3n7 1…，...｛n+1 n設(shè)a+k=——(a+k)n+1 3n7 1…，...｛a—?。且浴簽楣萛o"CurrentDocument"4 37 3/1、「,a—彳=—彳x(-§)n-12、已知數(shù)列｝滿足an 1k7 7比較系數(shù)得—k—-=-解得k=—-33 4\o"CurrentDocument"7 7 3，以a1—彳=1—云=—彳為首項(xiàng)的等比數(shù)列73,1、^na=3-彳x(-3)n—1=1，且a1=3a+2，求a.解：設(shè)a+1=3(a+1)，則a=3a+Itnt=1，a+1=3(a+1)nta+1｝是以(a1+1)為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列na+1=(a1+1)-3n-1=2-3n-1na=23-1—1點(diǎn)評：求遞推式形如a^+1=pa”+q(p、q為常數(shù))的數(shù)列通項(xiàng)，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列a+-^=p(a+-^~)來求得,也可用"歸納一猜想一證明”法來求，這也是近年高考〃+1p—1 n1一p考得很多的一種題型?2、遞推式為a=pa+qn+1(p、q為常數(shù))型，可同除qn+1，得％+1=—-%+1，令b=土從而n+1 n qn+1qqn nqn化歸為a=pa+q(p、q為常數(shù))型.n+1 n例4.已知數(shù)列k｝滿足a1=1，a=3n+2a1(n>2)求a.解：將a=3n+2a兩邊同除3n，得a=1+2七1na=1+—^-^1n n—1 3n 3n 3n 33n-1

a 2 2 2[ 1,設(shè)b=—^，則b =1+—b .令b—t=_(b —t) nb=—b +—tn3n n 3n—1 n 3n—1 n3n—13nt=3.條件可化成bn-3=3(bn—1—3)，數(shù)列3｝是以b1—3=%—3=—?為首項(xiàng)，2 82fa3為公比的等比數(shù)列.bn-3=—3X(-)n—1.因bn=蓊，…c/ 8 2 c、 c Ca=b3n=3n(-3X(3)n—1+3)na=3n+1—2n+2.3、遞推式為\+=pa+an+b(p豐1、0,a豐0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an+1+x(n+1)+y=p(a〃+xn+y)，與已知遞推式比較，解出x,y，從而轉(zhuǎn)化為E+xn+〉｝是公比為p的等比數(shù)列。n例5:設(shè)數(shù)列 ｝：。］=4,a=3a1+2n—1,(n>2)，求a.解令a +x(n+1)+y=3(a+xn+y)化簡得:a=3a+2xn+2y—x化簡得:TOC\o"1-5"\h\zn+1 nJ2x=2 x=1所以［之'—x=—1解得<y=0 所以a+(n+1)=3(a+n)又因?yàn)槠?1=5，所以數(shù)列'"n+^是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。\o"CurrentDocument"a+n=5x3n-1，所以a=5x3n-1-n從而可得n n變式：(2006，山東，文,22,本小題滿分14分)已知數(shù)列"n｝中，(1)令bn=an1-a廣已知數(shù)列"n｝中，(1)令bn=an1-a廣3,求證數(shù)列b〃｝是等比數(shù)列;的通項(xiàng);(II)求數(shù)列n4'遞推式為a+1=pa+an2+bn+c(p豐1、0,a豐0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=p(an+xn2+yn+z)，與已知遞推式比較，解出x,y,z.從而轉(zhuǎn)化為｛an+xn2+yn+z｝是公比為p的等比數(shù)列。例6：設(shè)數(shù)列E｝：a=4,a=3a+2n2—1,(n>2)，求a.n1 n n—1 n5,遞推式為a〃+2=pa〃+1+qa^(其中p，q均為常數(shù))。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為氣+廠七+1=t(Qg-w〃)[s+1=p其中s,t滿足〈[st=-q解法二(特征根法)：對于由遞推公式a =pa+qa，a=a,a=P給出的數(shù)列k｝，方程TOC\o"1-5"\h\zn+2 n+1 n1 2 nx2-px-q=0，叫做數(shù)列E｝的特征方程。若x,x是特征方程的兩個根，當(dāng)x主x時，數(shù)列｛a｝n 1 2 1 2 n的通項(xiàng)為a=Axn-1+Bxn-1，其中A，B由a=a,a=P決定(即把a(bǔ),a,x,x和n=1,2，代n 1 2 1 2 12 12入an=Axn-1+Bxn-1，得到關(guān)于A、B的方程組)；當(dāng)x1=x2時，數(shù)列“｝的通項(xiàng)為a=(A+Bn)xnT，其中A，B由a=a,a=P決定(即把a(bǔ),a,x,x和n=1,2，代入n 1 1 2 12 12a=(A+Bn)xn-i，得到關(guān)于A、B的方程組)。n1例7:已知數(shù)列｛a｝中，a=1,a=2,a=2a+1a，求a。n 1 2 n+23n+13n n變式:1.已知數(shù)列｛a^｝滿足a=1,a=3,a=3a -2a(ngN*).⑴證明：數(shù)列｛an+1-aj是等比數(shù)列；(II)求數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式;(III)若數(shù)列｛b ｝滿足4b1-14b2-1...4bn-1= (a + 1)bn(ngN*),證明｛b ｝是等差數(shù)列n n n2.已知數(shù)列｛a｝中，a=1,a=2,a=2a+1a，求an 1 2 n+23n+13nn3.已知數(shù)列kJ中，S丑是其前n項(xiàng)和，并且S+1=4a+2(n=1,2,…),a1=1，⑴設(shè)數(shù)列=。山-2a.(n=1,2,……)，求證：數(shù)列b「是等比數(shù)列;⑵設(shè)數(shù)列七=壬,(n=1,2,……)，求證：數(shù)列七｝是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列七｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。四、累加(乘)法1,遞推式為。山二an+f(n)型數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1?n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加即可得到通項(xiàng)公式。例8.若在數(shù)列｛a｝中，a1=3，a+1=a+n，求通項(xiàng)a。解析：由。孔+1=a.+n得a^+1-a^=n，所以

a—a—n—1,a—a—n—2，…，a—a=1,將以上各式相加得：an-ai=(n—1)+(n—2)+???+1,又ai=3所以a="+3n22、遞推式為。山-f(n)an型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1?n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相乘即可得到通項(xiàng)公式。例9.在數(shù)列｝中，na=例9.在數(shù)列｝中，na=1，a=2na(neN*)，求通項(xiàng)a。a解析：由已知m—2

ana n——2n—1an—1a—n-1=2n-2，an—2%=2,又a1—11所以a=——? 2?a=2n-1?2n-2 2 ?1=22naaa1五、取倒變換、對數(shù)變換、換元變換法1、取倒變換：遞推式為f(a，a1，aa「=。的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以一-—,先求出nn—11一，，再求得a.nf(n)a或遞推式為an+1=g(n)a；h(n)類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后轉(zhuǎn)化為an+1=pan+q求解na例10?.設(shè)數(shù)列｛a〃｝滿足a1=2,a〃+1=廠巨(neN),求a”.nTOC\o"1-5"\h\zc 1 …1 1解：原條件變形為a〃+1?an+3?a〃+1—a-兩邊同乘以-—、—，得1+3?—=、一.nn+1 n n+111 11 11 273(a+/=廠+2；a+2=3n—1 廠2x3n—1—1.n n+1 n2、對數(shù)變換：遞推式為。打+1=pa,類型，一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為。計+1=pa^+q，再利用待定系數(shù)法求解例11、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足。廣1，a—2a2—1(nN2).求數(shù)列的通項(xiàng)公式.+1—2(log2an1+1)，設(shè)，氣+1—2(log2an1+1)，設(shè)，氣b=log1+1—1.=log2an+12n 2n—1 2n則氣=2bn1 必」是以2為公比的等比數(shù)列，b=1x2n-1=2n-1,logan+1=2n-1,log氣=2n-1—1, a=22n-1-1變式：已知數(shù)列｛a｝滿足：a=7■，且a= 廠~(n>2，neN*)n 12n2a+n—1n-1求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；證明：對于一切正整數(shù)n,不等式a1*a2* an<2*n!2、 若數(shù)列的遞推公式為a=3,上=—-2(neN)，則求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。1a.a3、已知數(shù)列｛1乃｝滿足a1=1,n>2時，a--1-a^=2a〃-1a^，求通項(xiàng)公式。4、 已知數(shù)列｛a｝滿足：a=an-1 ,a=1,求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n n3-a+11 n5、 若數(shù)列｛a｝中，a1=1,a1=>七》nEN，求通項(xiàng)a.n類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。3、換元變換： 遞推式中含有根號、指數(shù)、對數(shù)等一般是通過換元后轉(zhuǎn)化為a+1=pa+q求解例12已知數(shù)列｛a｝滿足a=-1(1+4a+寸1+24a),a=1,求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n n+116 n n1解：令氣=J1+24a〃，則。廣24(b2-1)故a++1=￡(b；+1-1)，代入a++1=116(1+4a〃+J1+24a〃)得—(b2-1)=—[1+4上伽-1)+b]24n+1 716 24n7n即4b2=(b+3)2TOC\o"1-5"\h\zn+1 n因?yàn)閎=Jl+24a>0,故b= >0一，一 1.3則2b=b+3，即b=-b+-,n+1 n n+12n2可化為b一3=;;(b一3),n+1 2n所以｛b一3｝是以b1-3=J1+24匕一3=J1+24x1-3=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此

b-3=2(1)n-1=(!)n-2,則b=(!)n-2+3，即(1+2物=(^)n-2+3，得TOC\o"1-5"\h\zn2 2 n2 n2a=2(1)n+(1)n+1。n34 2 3L… 1一3評注:本題解題的關(guān)鍵是通過將5+24虧的換元為bn,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化b++1=2bn+-形式，從而可知數(shù)列｛b-3｝為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛b-3｝的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列｛a｝的n n n通項(xiàng)公式。1 11+a例13.已知數(shù)列kJ滿足a1=-，七+1=\：丁，'1+'1+aan+1=T~r，?！?，a=cos ^解析?！?，a=cos ^.?.a=cos—，a=cos—2 6 3 22?3總之，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（或等比）數(shù)列，從而利用等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)。六、階差法（對無窮遞推數(shù)列）例14已知數(shù)列｛a｝滿足a=1，a=a+2a+3a+—+(n—1)a(n>2)，求｛a｝的通項(xiàng)公式。n 1 n12 3 n-1 n解：因?yàn)閍=a+2a+3a+???+(n-1)a(n>2)所以a=a+2a+3a+???+(n一1)a+na用②式一①式得a用②式一①式得a+1-a=na.則a=(n+1)a(n>2)故n+1=n+1(n>2)ana所以a所以a=fnan-1a―n-1an—2TOC\o"1-5"\h\za n!?a=[n(n—1) 4x3]a=—a.2由a=a+2a+3a+ +(n-1)a(n>2)，取n=2得a=a+2a，則a=a，又知a=1，則n1 2 3 n-1 2 12 2 1 1a=1，代入③得a=1?3?4?5 n=n。2 n 2所以，｛。｝的通項(xiàng)公式為a=:.n n2七、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計算.例15、(2003?高考?廣東)設(shè)a。為常數(shù)，且an=3n-i—2an(n為正整數(shù))證明對任意nN1,a=[3n+(—1)n-1? 2n]+(—1)n?2na0證明：n 0a=3n-1—2a=3n-1—2(3n-2—2a)nn-1n-2=3n-1—2,3n-2+22(3n-3—2a)n-3=3n-1—2?3n-2+22。3n-3—23(3n-4—2a)n-4=3n-1—2?3n-2+22-3n-3 +(—1)n-1^2n-1+(—1)n.2a0(—1)n?2na。前面的n項(xiàng)組成首項(xiàng)為3n-1，公比為一的等比數(shù)列，這n項(xiàng)的和為：=[3n+(—1)n-1^2n]a=[3n+(—1)n-m2n]+(—1)n?2na0八、數(shù)學(xué)歸納法 °如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。例16.(2002年北京春季高考)已知點(diǎn)的序列A〃(xn,0),n&N*，其中x1=0，x2=a(a>0)，A3是線段AA的中點(diǎn)，A是線段AA的中點(diǎn)，…，A是線段AA的中點(diǎn)，…12 4 23 n n-2n-1寫出Xn與Xn-1，Xn-2之間的關(guān)系式(n>3)。設(shè)a=x-x，計算a,a,a，由此推測k｝的通項(xiàng)公式，并加以證明。TOC\o"1-5"\h\zn n+1 n 123 n略解析：(1)?「A是線段AA的中點(diǎn)，.??x=xn1：xn2(n>3)n n-2n-3 n 2(2)a=x一x=a一0=a，x+x1,1a=x-x= —1一x=--2(x—x)=-2ax+x11a=x一x= 2—x=---(x—x)=—a3 4 3 2 323 2 4

猜想an=(-2)nTa(neN*)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1。 當(dāng)n=1時，a1=a顯然成立；2。 假設(shè)n=k時命題成立，即ak=(-2)k-1a(keN*)貝gn=k+1時，a=x-x=、11*、-x=-—(x-x)=-—ak+1 k+2 k+1 2 k2k+1 k2k=(--1)=(--1)ka2=(一)(一)k-1a2 2.??當(dāng)n=k+1時命題也成立， .??命題對任意neN*都成立。變式：(2006，全國II,理,22,本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2—anx~an=0有一根為Sn~1，n=1，2，3，…求a1，a2；｛an｝的通項(xiàng)公式九：特征根法。1、設(shè)已知數(shù)列?｝的項(xiàng)滿足a1=b,a.+1=c,+d，其中c。0,31,求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。作出一個方程x=以+d,叫做數(shù)列匕」的特征方程，則當(dāng)x0=a1時，a.為常數(shù)列，即TOC\o"1-5"\h\za=a;當(dāng)x。a時,a=b+x，其中｛b｝是以c為公比的等比數(shù)列，即b=bcn-1,b=a—x.

n1 0 1nn0 n n1 110-2,neN,a=4,求a.當(dāng)a=4時，a.x,-2,neN,a=4,求a.當(dāng)a=4時，a.x,b=a+3=旦1 01 1 2 2解：作方程x=-^x-2,則x0?r,. 1, ，…“數(shù)列｛b｝是以-^為公比的等比數(shù)列.n311 1 3 311 1于是b=bn-1——(——)n-1,a=——+b=——+―^(——)n-1,neN.2.對于由遞推公式a=pa+qa，a=以,a=P給出的數(shù)列E｝，方程x2-px-q=0，叫做n+2 n+1 n1 2 n數(shù)列t｝的特征方程。者x,x是特征方程的兩個根，當(dāng)x。x時，數(shù)列E｝的通項(xiàng)為n 1 2 1 2a=Axn-1+Bxn-1，其中A，B由a=a,a=P決定(即把a(bǔ),a,x,x和n=1,2，代入n 1 2 1 2 12 12a=Axn-1+Bxn-1，得到關(guān)于入、B的方程組)；當(dāng)x1=x2時，數(shù)列“｝的通項(xiàng)為an=(A+Bn)x《-1，其中A，B由a=以,a=p決定(即把a(bǔ),a,x,x和n=1,2，代入a=(A+Bn)x?-1，得到關(guān)于人1 2 12 12 n 1

例18、(1)已知數(shù)列 ｝滿足a1 = a,a2 =b,3a 2-5ah+2a = 0(n >0,ngN)，求數(shù)列k｝的通項(xiàng)公式。解法一(特征根法：這種方法一般不用于解答題)：數(shù)列｝:解法一(特征根法：這種方法一般不用于解答題)：數(shù)列｝:ai=a，a2=b的特征方程是：3X2-5X+2=0。3a -5a +2a=0(n>0,ngN)，—j—2=1X= 1，X2 3,, c ,c2a=Axn-1+Bxn-1=A+B-(—)n-1又由ai=a,a2=b，于是a=a=A+B [A=3b-2a〈一2n〈_b=A+—B [B=3(a—b)I3 、2、故a=3b一2a+3(a一b)(—)n-i

n 3解法二(待定系數(shù)一一迭加法)由3a 一5a +2a=0，得—a—a=b—a。｝是以b-a為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，于是a-a=3(a -a)，且a則數(shù)列-an+1n2a一a=(b一a)G)n-1。把n=1,2,3,…,n代入，得n+1n 3=(b-a).(|)，=(b-a).(：)2，=(b-a)(3)n-2把以上各式相加，得2 2 2 1-(3)n-1a-a1=(b-a)[1+3+(3)+—+(3)n-2]= 2—(b-a)。1——322a=[3—3(—)n-1](b—a)+a=3(a—b)(—)n-1+3b—2a。n3 3

十、不動點(diǎn)法不動點(diǎn)法不動點(diǎn)的定義：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在f(x)xgD，使f(x)=x成立，則稱x為f(x)的0 0 0 0不動點(diǎn)或稱(x。,f"為函數(shù)f⑴的不動點(diǎn)。例求函數(shù)f⑴=2x-4的不動點(diǎn)。解：令2x-4=x，解出x=4，即4是函數(shù)f(x)=2x-4的一個不動點(diǎn)。分析：由f⑴=x求出不動點(diǎn)x0，在遞推公式兩邊同時減去x0，在變形求解。類型一：形如a+1=qa+d例19、已知數(shù)列中，例19、已知數(shù)列中，a+1=2a+1求數(shù)列的通項(xiàng)公式a。解：因?yàn)閍 解：因?yàn)閍 =2a+1n+1 n所以x=2x+1nx=-1，兩邊都減去不動點(diǎn)-1得?！?1+1=2a〃+1+1，所以可以得到a可以得到a+1=2(a+1+1)，設(shè)a+1=b，所以b =2b，數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，故b=b「2n-1=2n，，n+1 n所以a-b-1=2n-1。類型二：形如a=a類型二：形如a=a氣n+bn+1c-a+da-x+b分析：遞歸函數(shù)為f(x)= ~c-x+d(1)若有兩個相異的不動點(diǎn) p,q時p,q將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動點(diǎn)p,q，再將兩式相除得a+^p=a+^p=k?q，其中k=Q

a-qa-q a-qc(aq-pq)kn-1-(ap-pq):.a= ——n (a-p)kn-1-(a-q)11(2)若有兩個相同的不動點(diǎn)p，則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動點(diǎn)(2)若有兩個相同的不動點(diǎn)p，則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動點(diǎn)p，然后用1除，得—+k，a-pa-p例20已知數(shù)列｛。｝滿足a= _，n n+1 4a+1na1=4，求數(shù)列｛叩的通項(xiàng)公式。21x—24解：令x= ，得4x2-20x+24=04x+121x—24 ,.則x1=2,x2=3是函數(shù)f⑴=WT的兩個不動點(diǎn)。因?yàn)橐驗(yàn)?1a—24_2a—2n+1a—3n+147+1— 21a—24—2(4a+1)13a—2613a—2n+1a—3n+121an—24 n —3421an—24 n —34a+1n21a—24—3(4a+1) 9a-27 9a—3 [a—3J4—2 13, a—2 13 1=2為首項(xiàng)，以一為公比的等比數(shù)列，故 -=2()n-1，則a= +3。9 「3 9 n2(11)n—1—11、 用函數(shù)的不動點(diǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果給出的數(shù)列的遞推式中不含有自變量n的函數(shù)f(n)，那么就可以考慮用函數(shù)的不動點(diǎn)法：首先求出函數(shù)的不動點(diǎn)，然后把遞推式的兩邊都減去不動點(diǎn)，最后把遞推式的兩邊都化為相同的形式去求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2、 定理1：若函數(shù)f(x)=ax+b,a豐0且a豐1，p是函數(shù)f(x)=ax+b的一個不動點(diǎn)，即f(p)=p如果數(shù)列｛xj滿足遞推關(guān)系4廣f(x〃「,n>1，則4廣p=a(x〃1—p)。3、定理2：設(shè)f(x)=aX+^(c豐0,ad—bc豐0)，數(shù)列｛x｝滿足遞推關(guān)系x=f(x「,n>1，且初始ax+b x_p,x—p、、一值x。f(x)，如果函數(shù)f(x)= 有兩個相異的不動點(diǎn)p,0，則——=kX——，這里1 1 cx+d x-qx—qk=竺土，也就是說數(shù)列\(zhòng)^^\是以k為公比的等比數(shù)列；如果函數(shù)f(x)=竺蘭只有唯一的a—qc [x_qJ cx+d1 1 , 7 2c I1I不動點(diǎn)p，則 = +k，這里k=一-，即數(shù)列< f是以k為公差的等差數(shù)列。x—px_p a+d [x_pJ例21例21、已知數(shù)列｛a〃｝滿足a1=1，4a 一6a=——n—1 na一1n—14x4x一6解：因?yàn)樗o數(shù)列的遞歸函數(shù)f(x)= 對應(yīng)的不動點(diǎn)的方程為x—1x= ~-(a=4,c=1)，解為x—1x2=2，所以數(shù)列1a—x―x2=2，所以數(shù)列1a—x―n 1a—x(n2a—cx 1為公比的等比數(shù)列，a—cx2一、，a—cx因?yàn)?= =—a—cx 4—222，所以a—3―n—a—2na—3—1 a—21(1An-1212=22-n，3—23-n再解出a=n 1—22—n例22、設(shè)數(shù)列｛。｝的首項(xiàng)ae(0,1),a=3?〃1,n=2,3,4,…，求｛a｝的通項(xiàng)公式。TOC\o"1-5"\h\zn 1 n2 n3—尤 一. 3—x解：因?yàn)樗o數(shù)列的遞歸函數(shù)f\x)=——對應(yīng)的不動點(diǎn)的萬程為x=——，解為x=1,把遞歸式的兩邊都減去不動點(diǎn)1得到a—1=——n—1—1=—-n--1，即1—a=——(1—a)，又1—a。0，所以n 2 2 n2 n-1 11 (1Sn-1｛1一a｝是首項(xiàng)為1—a，公比為—二的等比數(shù)列，得a=1—(1—a)—；。n 1 2 n 1k2)例23、已知?dú)?2，且x1= (n—1^，求數(shù)列｛x｝的通項(xiàng)公式。n解：因?yàn)樗o數(shù)列的遞歸函數(shù)f(x)=，+2對應(yīng)的不動點(diǎn)的方程為x=x+^(a=1,c=2)，解方程得2x 2x到函數(shù)的不動點(diǎn)x-2=工一/=n+1 2xnkr^lVn—1 /x+w'2以解出數(shù)列的通項(xiàng)公式xn到函數(shù)的不動點(diǎn)x-2=工一/=n+1 2xnkr^lVn—1 /x+w'2以解出數(shù)列的通項(xiàng)公式xn為x=—*2x=<2(x1 2土 ，兩式相除得2x以x+勇=工+龍=￡1

n+1 2x 2xn n再經(jīng)反復(fù)迭代得、2〃-1+還'x+V2x—n+1 x—\2n+1n、2n-1解法：如果數(shù)列｛aj滿足下列條件：已知a］的值且對于neN都有an+1pa nra+h+q(其中p、q、r、hh均為常數(shù)，且ph豐qr,r豐0,a1^一-),那么，可作特征萬程x=px+q .一.,. ,提，當(dāng)特征萬程有且僅有一根x0時,則，0T7:是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個相異的根x1、n0練習(xí)、x2時，則］當(dāng)二|是等比數(shù)列?！?廣％J1、已知數(shù)列1、已知數(shù)列｛an｝滿足性質(zhì)：對于neN,a—一］:n+4,且a=3,求｛a｝的通項(xiàng)公式.2a+3 1 nn1313a—25 n a+32、已知數(shù)列｛an｝滿足：對于neN,都有a^(1)若a=5,求a;(2)若a=3,求a;(3)若a=6,求a;(4)當(dāng)a取哪些值時，無窮數(shù)列｛a｝1 n 1 n 1 n 1 n不存在？3、(2005，重慶，文,22，本小題滿分12分)數(shù)列｛a｝滿足a=1且8aa-16a +2a+5=0(n>1),記b=——(n>1).a——(I)求b「b2、b3、b4的值； (II)求數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式及數(shù)列｛ab｝的前n項(xiàng)和S.1 2 3 4 n nn n卜一、雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例24.已知數(shù)列｝中，a1=1；數(shù)列也｝中，已=0。當(dāng)n>2時，a=!(2a+b),b=上(a+2b)，求a,b.n3n—1n—1n3n—1n—1 nn解：因a+b=3(2a+b)+3(a+2b)=a+b所以a+b=a+b=a+b=???=a+b=a+b=1nn n—1n—1n—2n—2 2211(1)又因?yàn)閍一b=—(2a +b)一上(a+2b)=上(a一b)nn 3n—1n—1 3 n—1 n—1 3n—1n—1所以a”-bn= 3(a 1—b「= (3)2a 2—b 2) (3)n——b「(2)11n—1.即a—b==(3)n—1(2)由(1)、(2)得：an=2[1+(3)n-1]，bn=2[1—(3)n-1]十二、周期型 解法：由遞推式計算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例25、(04山東數(shù)學(xué)競賽)、已知數(shù)列｛a｝滿足a=2，a=1——，求a.n 1 n+1 a nn分析：周期數(shù)列的通項(xiàng)公式通常都可以分段表示，所以只需求出它的一個最小正周期即可.^解：a=1