初中數(shù)學(xué)北師大版八年級下冊第一章三角形的證明本章復(fù)習(xí)與測試 全市獲獎(jiǎng)

第一章三角形的證明博士寄語：親愛的同學(xué)們，前面我們通過“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想”獲得了一些有關(guān)等腰三角形、直角三角形、線段的垂直平分線、角平分線的結(jié)論，這種發(fā)現(xiàn)的過程，可稱為教學(xué)推理中的“合情推理”．本章是對以往“合情推理”所獲得的有關(guān)結(jié)論通過“尋求證據(jù)、引用公理進(jìn)行證明，或舉反例進(jìn)行證實(shí)”，可稱為數(shù)學(xué)推理中的“演繹推理”，它有助于培養(yǎng)同學(xué)們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性，養(yǎng)成“說理有據(jù)”的習(xí)慣，形成證明意識(shí).為更有效地學(xué)好本章內(nèi)容，博士還想告訴你：本章學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，掌握綜合法的證明方法，體會(huì)反證法的含義，發(fā)展演繹推理能力．2．了解公理的內(nèi)容，會(huì)證明與三角形、線段的垂直平分線、角平分線有關(guān)的性質(zhì)定理及判定定理，并能夠運(yùn)用其進(jìn)行相關(guān)證明．3．了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別互逆命題.4．會(huì)用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線和角的平分線，已知底邊和底邊上的高作等腰三角形．本章重點(diǎn)難點(diǎn)：本章重點(diǎn)：在“對以往探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的推理證明”過程中，掌握綜合法的證明方法，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，發(fā)展邏輯推理能力．本章難點(diǎn)：將探索發(fā)現(xiàn)和證明有機(jī)地結(jié)合起來，使數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性與嚴(yán)謹(jǐn)性協(xié)調(diào)發(fā)展，并在“一題多解”的訓(xùn)練中，開闊視野，活躍思維．本章學(xué)習(xí)建議：1.通過適量的、難度適宜的命題證明，掌握證明的基本方法，體會(huì)證明的意義，協(xié)調(diào)發(fā)展推理能力，而不要過于追求證明的技巧及題目的數(shù)量和難度．2．對于“等腰三角形三線合一”“等角對等邊”“直角三角形中，角所對的直角邊是斜邊的一半”等結(jié)論的推證，能夠采取多種添加輔助線的方法進(jìn)行一題多證，培養(yǎng)思維的開闊性.3.反證法是一種重要的證明方法.通過生活實(shí)例和簡單的數(shù)學(xué)例子，初步體會(huì)反證法思想，但不必掌握反證法的嚴(yán)格的證明格式.4.在掌握“角平分線”“線段的垂直平分線”基本尺規(guī)作圖的同時(shí)，關(guān)注通過證明去驗(yàn)證尺規(guī)作圖的有效性、正確性，體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C意識(shí)，并能夠?qū)⒊咭?guī)作圖應(yīng)用到解決實(shí)際問題中.5.關(guān)注在折疊問題中對邊、角、三角形的探索發(fā)現(xiàn)，有助于培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力和觀察分析能力.等腰三角形第一課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，掌握證明的基本步驟和書寫格式；2.經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，能夠用綜合法證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理；3.能夠靈活運(yùn)用公理和等腰三角形有關(guān)性質(zhì)定理進(jìn)行相關(guān)題目的證明，進(jìn)一步發(fā)展推理能力.同步練習(xí)1.如圖，已知，則不一定能使的條件是（）A.B.C.D.2.如圖，在和中，，.若根據(jù)“”說明，則應(yīng)添加條件_____________________；若根據(jù)“”說明，則應(yīng)添加條件_____________________；若根據(jù)“”說明，則應(yīng)添加條件______________________.3.如圖，在中，，，是邊上的中線，，則的度數(shù)為___________.4.兩塊完全相同的三角形紙板和，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)為邊和的交點(diǎn).不重疊的兩部分與是否全等？為什么？5.如圖，是等邊的邊上一點(diǎn)，以為一邊向外作等邊，連接.請找出圖中的一組全等三角形，并進(jìn)行證明.正誤辨析6.如圖，已知，，求證：.錯(cuò)誤解法：證明：（已知），（等邊對等角）.①在和中，，②（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.③錯(cuò)因分析：上面的第①、②、③環(huán)節(jié)，哪一個(gè)是錯(cuò)誤的，為什么？正確解法：（請同學(xué)們自己完成）拓展與延伸7.如圖，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）在你連接后，還能得出什么新的結(jié)論？（請寫出三個(gè)，不證明）第二課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運(yùn)用已有公理、定理推證等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)；2.會(huì)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題.同步練習(xí)1.如圖，在平行四邊形中，已知，，平分交邊于點(diǎn)，則等于_____________.2.已知等邊三角形的邊長為，則它一邊上的高是___________，它的面積是__________.3.如圖，與是兩個(gè)全等的等邊三角形，且，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③直線與垂直；④四邊形是軸對稱圖形.其中正確的個(gè)數(shù)是（）.A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)觀察與思考4.求證：等腰三角形兩腰上的中線相等.拓展與延伸5.如圖，在等邊中，為的中點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，且，若的周長為，則的周長為（）A.B.C.D.6.在中，以、為邊向外作兩個(gè)等邊三角形和三角形，連接、、和相交于（）求證：（1）；（2）求的度數(shù).第三課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運(yùn)用已有公理、定理推證等腰三角形的判定定理；2.了解反證法的推理方法；3.會(huì)運(yùn)用“等角對等邊”解決實(shí)際應(yīng)用問題及相關(guān)證明題.同步練習(xí)1.如圖，，，，則圖中的等腰三角形一共有__________個(gè).2.如圖，已知是的、的角平分線的交點(diǎn)，交于，交于.若，則的周長等于________.3.如圖，已知，.（1）求證：；（2）若于，求證：.正誤辨析4.如圖，已知中，.求證：.錯(cuò)誤解法：證明：取中點(diǎn)，連接.是中點(diǎn)（已知），（中點(diǎn)定義）①在和中，，②（全等三角形對應(yīng)邊相等）.③錯(cuò)因分析：上面的第①②③環(huán)節(jié)中，哪一個(gè)是錯(cuò)誤的？為什么？正確解法：（請同學(xué)們自己完成）觀察與思考5.如圖，已知中，，于，于，與交于點(diǎn).（1）求證：；（2）連接，請找出圖中所有的等腰三角形（除外）并進(jìn)行證明.拓展與延伸6.已知：如圖，中，，在上取一點(diǎn)，在的延長線上取一點(diǎn)，作，連接，交于點(diǎn).求證：.第四課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握“等邊三角形判定”定理及“角的直角三角形性質(zhì)”定理的推證；2.會(huì)運(yùn)用上述結(jié)論進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)幾何推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、條理性.同步練習(xí)1.如圖，中，，，于，，則______.2.如圖，中，，，交于，，則______.3.如圖，是等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，若，則______________.4.如圖，是的中線，，，把沿直線折疊，點(diǎn)落在處，連接，那么的長為_____________.觀察與思考5.已知：如圖，中，，，，.（1）判斷是什么特殊的三角形，并證明你的結(jié)論；（2）求證：.拓展與延伸6.如圖，是等邊三角形，，、相交于，于.求證：.直角三角形第一課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)證明勾股定理及其逆定理，并能夠用之進(jìn)行計(jì)算、證明；2.結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.同步練習(xí)1.下列說法中正確的是（）.A.如果一個(gè)命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題B.任何定理一定有逆定理C.任何命題一定有逆命題D.定理一定是命題，但不一定是真命題2.下列命題中，真命題是（）.A.周長相等的銳角三角形都全等B.周長相等的直角三角形都全等C.周長相等的鈍角三角形都全等D.周長相等的等腰直角三角形都全等3.命題“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題是：_____________________________，此逆命題是________________________（填“真命題”或“假命題”）4.如圖，在中，，，，則的長為________，的長為______________.5.如圖，長方體的長為，寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是（）.A.B.C.D.6.如圖，，，，，，則四邊形的面積____________.觀察與思考7.如圖，折疊長方形（四個(gè)角都是直角，對邊相等）的一邊使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，已知，，求的長.第二課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)能夠運(yùn)用證明直角三角形全等的“”定理解決相關(guān)證明題.同步練習(xí)1.滿足下列條件的兩個(gè)三角形一定全等的是（）.A.腰相等的兩個(gè)等腰三角形B.兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形C.斜邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形D.底相等的兩個(gè)等腰直角三角形2.如圖，于，于，下列條件：①是的平分線；②；③；④.其中能夠證明的條件的個(gè)數(shù)有（）A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)3.如圖，已知，.求證：.觀察與思考4.如圖，已知，是上一點(diǎn)，，求證：.拓展與延伸5.求證：如果一個(gè)三角形兩邊上的高相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.（嘗試用兩種方法進(jìn)行證明）線段的垂直平分線第一課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握線段的垂直平分線定理及逆定理的證明過程，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行相關(guān)題目的計(jì)算與證明；2.會(huì)用尺規(guī)作線段的垂直平分線，并了解作圖的實(shí)質(zhì)是通過構(gòu)造全等三角形得到線段的垂直平分線，能夠通過線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖，解決有關(guān)作圖的實(shí)際應(yīng)用題.同步練習(xí)1.如圖，，，交于點(diǎn)，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①垂直平分；②垂直平分；③平分；④平分.A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)2.如圖，中，，是的垂直平分線，交于，垂足為點(diǎn).若，則的度數(shù)是______________.3.如圖，已知中，，的垂直平分線交于.（1）若，則的度數(shù)為____________；（2）若，，的周長為___________.4.如圖，在中，，，的垂直平分線交于，交于，，則___________.觀察與思考5.已知線段.（1）求作：線段的中點(diǎn)；（2）求作：線段的四等分點(diǎn).6.如圖，在中，，，是的平分線，交于點(diǎn).求證：點(diǎn)在的垂直平分線上.走進(jìn)生活7.如圖，、是兩個(gè)村莊，是一條公路，為使兩個(gè)村莊的居民出行方便，現(xiàn)在要在公路上建一個(gè)公共汽車站，并使得該公共汽車站到、兩個(gè)村莊的距離相等，請作出該公共汽車站的位置.第二課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過作三角形的三邊的垂直平分線，探究發(fā)現(xiàn)其相關(guān)性質(zhì)；2.初步體會(huì)三線交于一點(diǎn)的證明方法；3.掌握有關(guān)等腰三角形的一些特殊尺規(guī)作圖.同步練習(xí)1.在聯(lián)歡晚會(huì)上，有，，三名同學(xué)站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝.為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬堑模ǎ?A.三邊中線的交點(diǎn)C.三邊上高的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊中垂線的交點(diǎn)2.如圖，是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，，且，則________.3.、兩點(diǎn)在線段的中垂線上，且，，則等于（）.A.B.C.或D.或4.已知線段，求作以線段為底的等腰直角三角形.走進(jìn)生活5.如圖，現(xiàn)有三個(gè)村莊，，，為了解決村民子女的入學(xué)問題，擬新建一所小學(xué)，要求學(xué)校到三個(gè)村莊的距離相等，請?jiān)趫D上用尺規(guī)作出學(xué)校的位置.角平分線第一課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握角平分線定理及其逆定理的證明過程，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行相關(guān)題目的計(jì)算與證明；2.會(huì)用尺規(guī)作角的平分線，并了解作圖的實(shí)質(zhì)是通過構(gòu)造全等三角形得到角平分線；3.能夠通過角平分線的尺規(guī)作圖解決有關(guān)實(shí)際問題.同步練習(xí)1.用尺規(guī)作圖法作的平分線的方法如下：以為圓心，以任意長為半徑畫圓弧交、于、，再分別以點(diǎn)、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，由作法得的根據(jù)是（）A.B.C.D.2.如圖，在中，是它的角平分線，，，那么與的面積比是（）.A.B.C.D.不能確定3.如圖，中，，于，是上一點(diǎn)，于.若，則____________度.4.已知：如圖，，交于點(diǎn)，.求證：平分.拓展與延伸5.如圖，在中，，平分，于.如果，，求：（1）的長；（2）的長.第二課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過尺規(guī)作圖，發(fā)現(xiàn)并推證三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且此點(diǎn)到三角形三邊距離相等；2.能夠綜合運(yùn)用角平分線定理及逆定理解決有關(guān)的計(jì)算與證明題.同步練習(xí)1.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的（）A.三條中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三邊垂直平分線的交點(diǎn)D.三條高線的交點(diǎn)2.如圖，一張直角三角形紙片，沿折疊，使兩個(gè)銳角頂點(diǎn)、重合.若，則_________.3.如圖，，，.若，則的長為___________.4.如圖，，平分，，，若，則_________.走進(jìn)生活5.三條公路圍成了一個(gè)三角形區(qū)域，今要在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)果品批發(fā)市場，到這三條公路的距離相等，試找出批發(fā)市場的位置.拓展與延伸6.如圖，在中，，，平分，，求的周長與面積.全章綜合測評題一、選擇題1.如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定的是（）A.B.C.D.2.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形（）的交點(diǎn).A.三個(gè)內(nèi)角平分線B.三邊垂直平分線C.三條中線D.三條高3.已知中，.若，則點(diǎn)到的距離等于（）A.B.C.D.4.如圖，和都是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)、、在同一條直線上，連接，則的長為（）.A.B.C.D.5.如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的長不可能是（）A.B.C.D.6.如圖，在中，，的垂直平分線交的延長線于，交于，連接，，，則的周長和分別為（）A.，B.，C.，D.，7.如圖，在中，，，垂足為，、分別是、上的點(diǎn)，且.如果，那么（）A.B.C.D.8.如圖，中，，，平分交于點(diǎn)，，垂足為，且，則的周長為（）A.B.C.D.二、填空題9.“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”的逆命題是：___________________________________.10.如圖，在中，，，的垂直平分線交于，交于.若，則____________.11.如圖，在上，且，，則__________.12.如圖所示的圖形由一系列直角三角形組成，則第個(gè)三角形的面積為______________.13.如圖，是的中線，，，把沿直線折疊，點(diǎn)落在處，連接，那么的長為________________.三、作圖題14.近年來，國家實(shí)施“村村通”工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革，某縣計(jì)劃在張村、李村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站，張、李兩村坐落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）.醫(yī)療站必須滿足下列條件：①使其到兩公路距離相等；②到張、李兩村的距離也相等.請你通過作圖確定點(diǎn)的位置.四、解答題15.已知：如圖，，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，的延長線交的延長線于點(diǎn).求證：是等腰三角形.16.某市在“舊城改造”中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上，種植草皮美化環(huán)境.已知這種草皮每平方米要元，求買這種草皮至少需多少元.17.如圖，以等腰的斜邊為邊作等邊，連接，以為邊作等邊，、在的同側(cè).若，求的長.18.如圖，已知是中邊上一點(diǎn)，，，求證：.19.如圖，中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，連接.（1）求證：；（2）若，求的長.瞭望角阿基米德當(dāng)牛頓說“如果我看得比別人遠(yuǎn)，是因?yàn)槲艺驹诰奕说募缟稀钡臅r(shí)候，他心目中的巨人必定有阿基米德（，約公元前一約前年）—古代最杰出的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和工程師.阿基米德一生大部分的時(shí)間是在希臘的敘拉古度過的，他受教于歐幾里得.他是國王海厄洛二世的親戚，曾為國王設(shè)計(jì)許多打仗用的機(jī)械來抵杭羅馬人的侵略.阿基米德是第一位講科學(xué)的工程師.在研究中，他使用歐幾里得的方法，先假設(shè)，再以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐普摰玫浇Y(jié)果，他不斷地尋求一般性的原則而用于特殊的工程上.他因?yàn)殍b定王冠的含金量而發(fā)現(xiàn)浮力原理，因此阿基米德成為物理學(xué)之父.阿基米德把杠桿原理應(yīng)用于戰(zhàn)爭來保衛(wèi)敘拉古的事跡是家喻戶曉的.而他也以同一原理導(dǎo)出部分球體的體積、回轉(zhuǎn)體的體積.此外，他還討論阿基米德螺線（例如蒼蠅由等速旋轉(zhuǎn)的唱盤中心向外走去所留下的軌跡）、圓、球體、圓柱的相關(guān)原理，其成就在古時(shí)無人能望其項(xiàng)背.阿基米德將歐幾里得提出的趨近觀念作了有效的運(yùn)用.他提出，當(dāng)邊數(shù)足夠大時(shí)，圓內(nèi)接多邊形和相似圓外切多邊形的周長便一個(gè)由下、一個(gè)由上地趨近于圓周長.他先用六邊形，以后逐次把邊數(shù)加倍，到了九十六邊形，求得的估計(jì)值介于和之間.另外，他算出球的表面積是其內(nèi)接最大圓面積的四倍.而令他最得意的是推導(dǎo)出圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，這個(gè)定理就刻在他的墓碑上，使他名垂千古.創(chuàng)新寄語想象力比知識(shí)更為重要.—愛因斯坦第一章三角形的證明答案等腰三角形第一課時(shí)同步練習(xí)2.，，，，，.3..4.解：全等.，，，，可證.在和中，.5..證明：和是等邊三角形，，，，，，.正誤辨析6.第②環(huán)節(jié)錯(cuò)誤，使用了“邊邊角”這一錯(cuò)誤結(jié)論.正確解法：，.，.又，，.在和中，，.拓展與延伸7.（1）證明：連接、.在和中，，.是的中點(diǎn)，.（2），，平分.第二課時(shí)同步練習(xí)1..2.，.觀察與思考4.寫出已知，求證，畫圖，利用全等證明.拓展與延伸.6.提示：（1）證明.（2）利用全等的結(jié)論、對頂角等知識(shí)，得.第三課時(shí)同步練習(xí)1..2..3.（1）證明：，.，，，.（2）證明：，，.正誤辨析4.第②環(huán)節(jié)錯(cuò)誤，使用了“邊邊角”這一錯(cuò)誤結(jié)論.證明：過點(diǎn)作于.，.在和中，，.觀察與思考5.（1）證明：，.，，.又，，.（2），，.證明略.拓展與延伸6.提示：過點(diǎn)作，交于，利用證明.第四課時(shí)同步練習(xí)1..2..3.4.觀察與思考5.（1）是等邊三角形，證明略.（2）提示：可證，.拓展與延伸6.提示：先證，再證.直角三角