靜電場邊值問題的唯一性

2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫靜電場邊值問題的唯一性定理例題典型的靜電問題給定導(dǎo)體系中各導(dǎo)體的電量或電勢以及各導(dǎo)體的形狀、相對位置（統(tǒng)稱邊界條件），求空間電場分布，即在一定邊界條件下求解靜電場的邊值問題泛定方程＋邊界條件例題確定電荷分布：空腔內(nèi)表面一定會感應(yīng)出與點電荷q等量的負(fù)電荷-q，外表面所帶總電量為Q+q。由于空腔具有球?qū)ΨQ性，且點電荷處于球心，因此內(nèi)、外表面的電荷均勻分布在球面上。2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫如圖所示，孤立球形導(dǎo)體空腔本身帶正電Q，內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，在其球心處放置一點電荷，帶正電q，求空腔內(nèi)、外表面的電荷分布和和空腔內(nèi)外各點的電場分布求場強(qiáng)分布電荷分布決定電場分布，那么剩下的問題就是根據(jù)已知的電荷分布，用庫侖定律和場強(qiáng)疊加原理來求各區(qū)域的場強(qiáng)。我們可以先分別求出電荷q、-q及Q+q單獨存在時在空間各區(qū)域產(chǎn)生的場強(qiáng)分布，再利用場強(qiáng)疊加原理，求出空間各區(qū)域的場強(qiáng)分布2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫設(shè)空間某點到球殼中心的距離為r，則q

、-q、Q+q及它們在各區(qū)域的疊加結(jié)果為：

點電荷q

內(nèi)表面-q

外表面Q+q

疊加結(jié)果2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫

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表中列出的疊加結(jié)果就是達(dá)到靜電平衡以后，空腔內(nèi)外各區(qū)域的場強(qiáng)分布。2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫即便是點電荷偏心放置，點電荷和內(nèi)殼上的負(fù)電荷產(chǎn)生的場在內(nèi)殼外疊加為零，外殼形狀決定外殼上的電荷分布2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫唯一性定理對于靜電場，給定一組邊界條件，空間能否存在不同的恒定電場分布？——回答：否！邊界條件可將空間里電場的分布唯一地確定下來該定理對包括靜電屏蔽在內(nèi)的許多靜電問題的正確解釋,至關(guān)重要理論證明在電動力學(xué)中給出，p59

給出普物方式的論證論證分三步：引理——疊加原理——證明2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫幾個引理引理一：在無電荷的空間里電勢不可能有極大值和極小值證明（反證）若有極大，則極大極小若有極小，同樣證明2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫引理二：若所有導(dǎo)體的電勢為0，則導(dǎo)體以外空間的電勢處處為0即意味著空間電勢有極大值，違背引理一證明（反證）在無電荷空間里電勢分布連續(xù)變化，若空間有電勢大于0（或小于0）的點，而邊界上電勢又處處等于零——必出現(xiàn)極大值或極小值——矛盾推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍的空間里各導(dǎo)體的電勢都相等（設(shè)為U0），則空間電勢等于常量U02023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫引理三：若所有導(dǎo)體都不帶電，則各導(dǎo)體的電勢都相等證明（反證）若不相等，必有一個最高，如圖設(shè)U1>U2、U3，——導(dǎo)體1是電場線的起點——其表面只有正電荷——但與導(dǎo)體1上的總電量為0矛盾引理二(＋)引理三可推論：所有導(dǎo)體都不帶電的情況下空間各處的電勢也和導(dǎo)體一樣，等于同一常量2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫疊加原理在給定各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對位置后，賦予兩組邊界條件：UⅠ、UⅡ1：給定每個導(dǎo)體的電勢UⅠk

（或總電量QⅠk）2：給定每個導(dǎo)體的電勢UⅡk

（或總電量QⅡk)設(shè)UⅠ、UⅡ滿足上述兩條件，則它們的線性組合

U=a

UⅠ+bUⅡ必滿足條件3:

3：給定每個導(dǎo)體的電勢Uk=a

UⅠk+bUⅡk

（或總電量Qk=QⅠk

a

k+bQⅡk）

特例：

取UⅠk＝

UⅡk，則U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)滿足

4：給定每個導(dǎo)體的電勢為0為什么？引理二2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫唯一性定理給定每個導(dǎo)體電勢的情形設(shè)對應(yīng)同一組邊值

有兩種恒定的電勢分布根據(jù)引理二所有導(dǎo)體上電勢都為0，導(dǎo)體以外空間電勢處處為0說明場分布是唯一的2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫與電勢參考點有關(guān)，不影響電勢梯度給定每個導(dǎo)體上總電量的情形

第k個導(dǎo)體上的電量電量與場強(qiáng)、電勢的關(guān)系設(shè)對應(yīng)同一組邊值有兩種恒定電勢分布說明場分布是唯一的2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫解釋靜電屏蔽唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不違背導(dǎo)體平衡特性，又是物理實在，則這種電荷分布就是唯一可能的分布。

圖中是根據(jù)導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)處處為零判斷存在兩種實在的電荷分布的迭加就是唯一的分布

2006.12北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編電像法——解靜電問題的一種特殊方法實質(zhì)：用假想的不存在的點電荷，去代替未知的邊界面（或介質(zhì)交界面）上的真實電荷（如感生電荷或極化電荷）代替的條件：不改變所求問題中的方程，邊值關(guān)系和邊界條件假想電荷的個數(shù)、電量極位置由方程和邊界條件決定2006.12北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編幾種常用的導(dǎo)體鏡像面平面鏡像無限大平面兩無限大平面相交角形導(dǎo)體球面鏡像導(dǎo)體柱面鏡像2006.12北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編接地?zé)o限大導(dǎo)體板