北師版九年級數(shù)學(xué)下冊綜合復(fù)習(xí)試題含答案

北師版九年級數(shù)學(xué)下冊綜合復(fù)習(xí)試題含答案一、解答題(共66分)19．(8分)計(jì)算：sin30°－2cos230°＋(－tan45°)2022.解：原式＝eq\f(1,2)－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋(－1)2022＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＋1＝0.20．(10分)如圖，直線y＝x＋m和拋物線y＝x2＋bx＋c都經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B，且當(dāng)x＝4時，二次函數(shù)的值為6.(1)求m的值和拋物線的表達(dá)式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．解：(1)∵直線y＝x＋m經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，∴1＋m＝0，解得m＝－1；∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，且當(dāng)x＝4時，二次函數(shù)的值為6，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,16＋4b＋c＝6.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,c＝2.))∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－3x＋2.(2)∵由(1)知m＝－1，拋物線的表達(dá)式為y＝x2－3x＋2，∴直線的表達(dá)式為y＝x－1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝x2－3x＋2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0.))∴B(3，2)．∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜1或x＞3時，二次函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，∴不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集為x＜1或x＞3.21．(12分)某游樂園有一個直徑為16m的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3m處達(dá)到最高，高度為5m，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合，如圖所示，以水平方向?yàn)閤軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式；(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水頭意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8m的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？解：(1)設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x－3)2＋5(a≠0)，將(8，0)代入y＝a(x－3)2＋5，得25a＋5＝0，解得a＝－eq\f(1,5).∴水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－eq\f(1,5)(x－3)2＋5(0＜x＜8)．(2)當(dāng)y＝1.8時，有－eq\f(1,5)(x－3)2＋5＝1.8，解得x1＝－1，x2＝7.∴為了不被淋濕，身高1.8m的王師傅站立時必須在離水池中心7m以內(nèi)．22．(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E.已知AC＝15，cosA＝eq\f(3,5).(1)求線段CD的長；(2)求sin∠DBE的值．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝15，cosA＝eq\f(3,5)，∴AB＝eq\f(15,cosA)＝25.又∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(25,2).(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DC＝DB＝eq\f(25,2)，∴∠DCB＝∠DBC.又∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△BEC∽△ACB，∴eq\f(EC,BC)＝eq\f(BC,AB).又∵BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(252－152)＝20，∴eq\f(EC,20)＝eq\f(20,25)，∴EC＝16.∵CD＝eq\f(25,2)，∴DE＝16－eq\f(25,2)＝eq\f(7,2).∴在Rt△DEB中，sin∠DBE＝eq\f(7,2)×eq\f(2,25)＝eq\f(7,25).23．(12分)圖①是一臺實(shí)物投影儀，圖②是它的示意圖，折線B－A－O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于點(diǎn)O，點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，BC可轉(zhuǎn)動，當(dāng)BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)時，投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE，經(jīng)測量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm.(結(jié)果精確到0.1)(1)如圖②，∠ABC＝70°，BC∥OE.①填空：∠BAO＝160°.②求投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離．(2)如圖③，將(1)中的BC向下旋轉(zhuǎn)，當(dāng)投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為6cm時，求∠ABC的大?。?參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)①②③解：(1)②如圖②，過點(diǎn)A作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，∵AG＝30cm，OA＝6.8cm，∠ABC＝70°，∴AG＝30sin70°≈28.2(cm)，∴OG＝OA＋AG≈6.8＋28.2＝35(cm)，∴OG－CD≈27.0cm，∴點(diǎn)D到桌面OE的距離約是27.0cm.(2)如圖③，延長CD交OE于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作OE的平行線交DC的延長線于點(diǎn)H.∵CD⊥OE，OE∥BH，∴CD⊥BH，∠ABH＝70°.由題意得CM＝14cm，由(1)得HM≈35cm，∴CH＝21cm.在Rt△BCH中，sin∠CBH＝eq\f(CH,BC)≈eq\f(21,35)＝0.6，∴∠CBH≈36.8°，∴∠ABC＝∠ABH－∠CBH≈70°－36.8°＝33.2°.24．(12分)如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸相交于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，－3)．(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC.①求線段PM的最大值；②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．題圖解：(1)將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達(dá)式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3，))∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2－2x－3.(2)①設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋t，將B，C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達(dá)式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋t＝0，,t＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,t＝－3.))∴直線BC的表達(dá)式為y＝x－3.設(shè)M(n，n－3)，則P(n，n2－2n－3)，答圖①PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,4)(0＜n＜3)，∴當(dāng)n＝eq\f(3,2)時，線段PM的最大值為eq\f(9,4).②滿足題意的有PM＝PC和PM＝CM兩種情況：(Ⅰ)如答圖①，當(dāng)PM＝PC時，∵OB＝OC，PH⊥x軸，∴∠PMC＝∠OCB＝45°，又∵PM＝PC，∴△PCM是等腰直角三角形，∴PC∥x軸，∴點(diǎn)P與C(0，－3)關(guān)于y＝x2－2x－3的對稱軸x＝1對稱，答圖②此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－3)；(Ⅱ)如答圖②，當(dāng)PM＝CM時，作MN∥x軸交y軸于點(diǎn)N，則CM＝eq\r(2)MN＝eq\r(2)n，∴－n2＋3n＝eq\r(2)n，∵n＞0，∴n＝3－eq\r(2)，又∵n2－2n－3＝(n＋1)(n－3)＝2－4eq\r(2)，則此時P點(diǎn)坐標(biāo)為(3－eq\r(2)，2－4eq\r(2))．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－3)或(3－eq\r(2)，2－4eq\r(2))．二、解答題(共66分)19．(8分)計(jì)算：2cos30°＋tan45°－tan60°＋(eq\r(2)－1)0.解：原式＝2×eq\f(\r(3),2)＋1－eq\r(3)＋1＝eq\r(3)＋1－eq\r(3)＋1＝2.20．(10分)已知函數(shù)y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1與x軸總有交點(diǎn)，求m的取值范圍．解：當(dāng)m＋6＝0時，函數(shù)為y＝－14x－5與x軸必有一個交點(diǎn)；當(dāng)m＋6≠0時，它為二次函數(shù)，若它與x軸有交點(diǎn)，則一元二次方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0有實(shí)數(shù)根，故[2(m－1)]2－4(m＋6)·(m＋1)≥0，解得m≤－eq\f(5,9)且m≠－6.綜上可知，當(dāng)m≤－eq\f(5,9)時，此函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)．21．(12分)如圖，某旅游區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB，棧道AB與景區(qū)道路CD平行，在C處測得棧道一端A位于北偏西42°方向，在D處測得棧道另一端B位于北偏西32°方向，已知CD＝120m，BD＝80m，求木棧道AB的長度．(結(jié)果保留整數(shù))eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：sin32°≈\f(17,32)，cos32°≈\f(17,20)，tan32°≈\f(5,8)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin42°≈\f(27,40)，cos42°≈\f(3,4)，tan42°≈\f(9,10)))解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)F，則CE∥DF，∵AB∥CD，∴四邊形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120m，DF＝CE，在Rt△BDF中，∠BDF＝32°，BD＝80m，∴DF＝BD·cos32°≈80×eq\f(17,20)≈68m．BF＝BD·sin32°≈80×eq\f(17,32)＝eq\f(85,2)m.∴BE＝EF－BF≈eq\f(155,2)m.在Rt△ACE中，∠ACE＝42°，CE＝DF≈68m.∴AE＝CE·tan42°≈68×eq\f(9,10)＝eq\f(306,5)m．∴AB＝AE＋BE≈eq\f(306,5)＋eq\f(155,2)≈139(m)．答：木棧道AB的長度約為139m.22．(12分)(江西中考)如圖①，AB為半圓的直徑，點(diǎn)O為圓心，AF為半圓的切線，過半圓上的點(diǎn)C作CD∥AB交AF于點(diǎn)D，連接BC.(1)連接DO，若BC∥OD，求證：CD為半圓的切線；(2)如圖②，當(dāng)線段CD與半圓交于點(diǎn)E時，連接AE，AC，判斷∠AED和∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．①(1)證明：連接OC，∵CD∥AB且BC∥OD，∴四邊形BODC為平行四邊形．∴CD＝BO＝AO，∵CD∥OA，∴四邊形OADC為平行四邊形，∵AD為切線，可得AD⊥OA，∴四邊形OADC為矩形，∠OCD＝90°，即CD為半圓的切線．(2)解：∠AED＋∠ACD＝90°.②證明：連接BE，∠ACD＝∠2.∵AB為直徑，可得∠AEB＝90°，∠2＋∠EAB＝90°.∵AD為切線，∠EAB＋∠EAD＝90°，∴∠2＝∠EAD，∠1＝∠EAD.∵CD∥AB，∴∠EDA＝90°，∠EAD＋∠AED＝90°，即∠AED＋∠ACD＝90°.23．(12分)(望花區(qū)模擬)每年5月的第二個星期日為母親節(jié)，“父母恩深重，思憐無歇時”，許多人喜歡在母親節(jié)送花給母親，感恩母親，祝福母親，今年節(jié)日前夕，某花店采購了一批康乃馨，經(jīng)分析上一年的銷售情況，發(fā)現(xiàn)這種康乃馨每天的銷售量y(枝)是關(guān)于銷售單價x(元)的一次函數(shù)，已知銷售單價為7元時，銷售量為16枝；銷售單價為8元時，銷售量為14枝．(1)求這種康乃馨每天的銷售量y(枝)關(guān)于銷售單價x(元)的一次函數(shù)表達(dá)式；(2)若按去年的方式銷售，已知今年這種康乃馨的進(jìn)價是每枝5元，商家若想每天獲得42元的利潤，銷售單價要定為多少元？(3)在(2)的條件下，當(dāng)銷售單價x為何值時，花店銷售這種康乃馨每天獲得的利潤最大？求出獲得的最大利潤．解：(1)設(shè)y＝kx＋b(k≠0)，∵銷售單價為7元時，銷售量為16枝；銷售單價為8元時，銷售量為14枝，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7k＋b＝16，,8k＋b＝14，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝30，))∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝－2x＋30.(2)設(shè)商家若想每天獲得42元的利潤，銷售單價要定為x元，根據(jù)題意，得(x－5)(－2x＋30)＝42，整理，得x2－20x＋96＝0，解得x1＝8，x2＝12.答：商家若想每天獲得42元的利潤，銷售單價要定為8元或12元．(3)設(shè)花店銷售這種康乃馨每天獲得的利潤為w元，根據(jù)題意，得w＝(x－5)(－2x＋30)＝－2x2＋40x－150＝－2(x－10)2＋50.∵－2＜0，∴當(dāng)x＝10時，w有最大值，最大值為50.答：當(dāng)銷售單價為10元時，花店銷售這種康乃馨每天獲得的利潤最大，最大利潤為50元．24．(12分)如圖①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一過點(diǎn)C的動圓⊙O與斜邊AB相切于動點(diǎn)P，連接CP.(1)當(dāng)⊙O與直角邊AC相切時，如圖②所示，求此時⊙O的半徑r的長；(2)隨著切點(diǎn)P的位置不同，弦CP的長也會發(fā)生變化，試求出弦CP的長的取值范圍；①(3)當(dāng)切點(diǎn)P在何處時，⊙O的半徑r有最大值？試求出這個最大值．解：(1)∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.∵AC，AP都是圓的切線，∴AP＝AC＝3，∴PB＝2.連接PE，PO.∵∠ACB＝90°，AC切⊙O于C，∴點(diǎn)O此時在BC上．∵∠BPE＋∠OPE＝∠OPE＋∠OPC＝90°，∴∠BPE＝∠OPC.②又∵∠OPC＝∠OCP，∴∠BPE＝∠OCP，∵∠B＝∠B，∴△PBE∽△CBP，∴PB2＝BE·BC，即22＝BE×4，∴BE＝1，∴⊙O半徑r＝eq\f(4－1,2)＝eq\f(3,2).(2)∵最短PC為AB邊上的高，即最短PC＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)，最長PC＝BC＝4，∴eq\f(12,5)≤PC≤4.(3)如答圖，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，圓最大．點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，答圖過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝2.∵AB是⊙O的切線，∴∠ABO＝90°，∴∠ABD＋∠OBD＝∠BOD＋∠OBD＝90°，∴∠ABC＝∠BOD，∴eq\f(BD,OB)＝sin∠BOD＝sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，∴OB＝eq\f(10,3)，即當(dāng)切點(diǎn)P在點(diǎn)B處時，⊙O的半徑r有最大值，最大值為eq\f(10,3).三、解答題(共66分)19．(8分)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，－4)和(－1，0)．(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)x在什么范圍內(nèi)，y隨x增大而減??？該函數(shù)有最大值還是有最小值？求出這個最值．解：(1)根據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－3＝－4，,a－b－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴拋物線表達(dá)式為y＝x2－2x－3.(2)∵y＝(x－1)2－4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－4)，∵a＞0，∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小，該函數(shù)有最小值，最小值為－4.20．(10分)如圖是某小區(qū)的一個健身器材的示意圖，已知BC＝0.15m，AB＝2.7m，∠BOD＝70°，∠ODC＝∠BCD＝90°.求端點(diǎn)A到地面CD的距離．(精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F，則四邊形EFBC是矩形，∴EF＝BC＝0.15m.∵OD⊥CD，AE⊥CD，∴AE∥OD.∴∠A＝∠BOD＝70°.∵在Rt△AFB中，AB＝2.7m，∴AF＝AB·cosA＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918(m)．∴AE＝AF＋EF≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)．答：端點(diǎn)A到地面CD的距離約為1.1m.21．(12分)(安徽期末)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AD，BC的延長線交于點(diǎn)E，F(xiàn)是BD延長線上任意一點(diǎn)，AB＝AC.(1)求證：DE平分∠CDF；(2)求證：∠ACD＝∠AEB.證明：(1)∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠CDE＝∠ABC，由圓周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，∴∠ACB＝∠FDE，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF.(2)∵∠ACB＝∠ABC，∴∠CAE＋∠E＝∠ABD＋∠DBC，又∠CAE＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD，∴∠ACD＝∠AEB.22．(12分)用一段長32m的籬笆和長8m的墻，圍成一個矩形的菜園．(1)如圖①，如果矩形菜園的一邊靠墻AB，另三邊由籬笆CDEF圍成．①設(shè)DE＝xm，直接寫出菜園面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；②菜園的面積能不能等于110m2，若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由；(2)如圖②，如果矩形菜園的一邊由墻AB和一節(jié)籬笆BF構(gòu)成，另三邊由籬笆ADEF圍成，求菜園面積的最大值．①解：(1)①由題意可得DE＝xm，則DC＝eq\f(1,2)(32－x)m.∴菜園面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(1,2)(32－x)x＝－eq\f(1,2)x2＋16x(0＜x≤8)．②不能，理由：若菜園的面積等于110m2，則－eq\f(1,2)x2＋16x＝110，解得x1＝10，x2＝22.∵0＜x≤8，∴不能圍成面積為110m2的菜園．②(2)設(shè)DE＝xm，則菜園面積為y＝eq\f(1,2)x(32＋8－2x)＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100.當(dāng)x＝10時，函數(shù)有最大值100.答：當(dāng)DE長為10m時，菜園的面積最大，最大值為100m2.23．(12分)(棗莊中考)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE.(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證：BC2＝CD·2OE；(3)若cos∠BAD＝eq\f(3,5)，BE＝6，求OE的長．(1)解：DE與⊙O相切，理由：連接OD，DB，∵AB是直徑，∴∠BDC＝90°，∵E為BC的中點(diǎn)，∴DE＝EB，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODE＝∠A