初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)上冊(cè)第1章　二次函數(shù)1．4　二次函數(shù)的應(yīng)用 優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)

二次函數(shù)的應(yīng)用(一)1．已知二次函數(shù)y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的圖象的最低點(diǎn)在x軸上，則a＝__2__，此時(shí)函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2＋4x＋4(第2題)2．用長(zhǎng)為8m的鋁合金材料做成如圖所示的矩形窗框，要使窗戶的透光面積最大，那么這個(gè)窗戶的最大透光面積是__eq\f(8,3)__m2.(第3題)3．如圖，假設(shè)籬笆(虛線部分)的長(zhǎng)度為16m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是(CA.60m2B.C.64m2D.4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，3)．D是拋物線y＝－x2＋6x上一點(diǎn)，且在x軸上方．求△BCD面積的最大值．(第4題)【解】∵點(diǎn)C(4，3)，∴菱形OABC的邊長(zhǎng)＝eq\r(32＋42)＝5.∵拋物線y＝－x2＋6x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，9)，∴△BCD面積的最大值為S＝eq\f(1,2)×5×(9－3)＝15.5．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15<x<30.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，DF交BC于點(diǎn)G.(1)用含x的代數(shù)式表示BF的長(zhǎng)．(2)設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(3)當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出這個(gè)最大值．(第5題)【解】(1)∵DE＝BC＝x，∠A＝45°，DE⊥AE，∴AE＝DE＝x.由折疊知，EF＝AE＝x，∴BF＝AF－AB＝2x－30.(2)∵S△DEF＝eq\f(1,2)EF·DE＝eq\f(1,2)x2，S△BFG＝eq\f(1,2)BF·BG＝eq\f(1,2)(2x－30)2，∴S＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)(2x－30)2＝－eq\f(3,2)x2＋60x－450.(3)∵15<x<30，∴當(dāng)x＝eq\f(60,2×\f(3,2))＝20時(shí)，S有最大值，S最大＝150.6．豎直上拋的小球離地高度是關(guān)于它運(yùn)動(dòng)時(shí)間的二次函數(shù)，小軍相隔1s依次豎直向上拋出兩個(gè)小球，假設(shè)兩個(gè)小球離手時(shí)離地高度相同，在各自拋出后s時(shí)到達(dá)相同的最大離地高度，第一個(gè)小球拋出后t秒時(shí)在空中與第二個(gè)小球的離地高度相同，則t＝．【解】設(shè)各自拋出后s時(shí)到達(dá)相同的最大離地高度為h，則小球的高度y＝a(t－2＋h.由題意，得a(t－2＋h＝a(t－1－2＋h，解得t＝.7．如圖，從1×2的矩形ABCD的較短邊AD上找一點(diǎn)E，過(guò)這點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是AE，DE，當(dāng)剪下的兩個(gè)正方形的面積之和最小時(shí)，點(diǎn)E應(yīng)選在(A)(第7題)A.AD的中點(diǎn)B.AE∶ED＝(eq\r(5)－1)∶2C.AE∶ED＝eq\r(2)∶1D.AE∶ED＝(eq\r(2)－1)∶2【解】設(shè)AE＝x，剪下的兩個(gè)正方形的面積之和為y，則DE＝1－x，y＝AE2＋DE2＝x2＋(1－x)2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2).∴當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，y取得最小值，此時(shí)E是AD的中點(diǎn)．(第8題)8．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F(xiàn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(F不與A，B重合)，過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0)的圖象與BC邊交于點(diǎn)E.(1)當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)當(dāng)k為何值時(shí)，△EFA的面積最大，最大面積是多少．【解】(1)∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴點(diǎn)B(3，2)．∵F為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F(3，1)．∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0)的圖象上，∴k＝3，∴該函數(shù)的表達(dá)式為y＝eq\f(3,x)(x＞0)．(2)由題意知E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)，2))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(k,3)))，∴S△EFA＝eq\f(1,2)AF·BE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,2)k))，＝eq\f(1,2)k－eq\f(1,12)k2＝－eq\f(1,12)(k2－6k＋9－9)＝－eq\f(1,12)(k－3)2＋eq\f(3,4).∴當(dāng)k＝3時(shí)，△EFA的面積最大，最大面積是eq\f(3,4).9．如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC＝2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過(guò)平移得到的線段記為PQ，連結(jié)PA，QD，并過(guò)點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連結(jié)OA，OP.(1)請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過(guò)程中，四邊形APQD是什么四邊形？(2)請(qǐng)判斷OA，OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(3)在平移變換過(guò)程中，設(shè)y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最大值．(第9題)【解】(1)四邊形APQD為平行四邊形．(2)OA＝OP，OA⊥OP.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°.∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO，∴OB＝OQ，∴△AOB≌△OPQ(SAS)．∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP.(第9題解①)(3)如解圖①，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E.①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，BQ＝x＋2，OE＝eq\f(x＋2,2)，∴y＝eq\f(1,2)·eq\f(x＋2,2)·x＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4).又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值2.(第9題解②)②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，BQ＝2－x，OE＝eq\f(2－x,2)，∴y＝eq\f(1,