初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第1章全等三角形 全省一等獎(jiǎng)

《第1章全等三角形》一、選擇題1．下列圖形中，和所給圖全等的圖形是（）A． B． C． D．2．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①全等三角形的周長(zhǎng)相等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；③全等三角形的面積相等；④全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等．A．4 B．3 C．2 D．13．下列條件中，能判定兩個(gè)三角形全等的是（）A．有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 B．有兩條邊對(duì)應(yīng)相等C．有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等 D．有兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等4．如圖，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．35° D．25°5．在下列條件中，不能說(shuō)明△ABC≌△A′B′C的是（）A．∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′C．∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′ D．AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′6．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，則下列結(jié)論中正確的是（）A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．AC=B′C′ D．∠A=∠A′7．要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，如圖，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL8．如圖所示，H是△ABC的高AD，BE的交點(diǎn)，且DH=DC，則下列結(jié)論：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．一塊三角形玻璃樣板不慎被小強(qiáng)同學(xué)碰破，成了四片完整四碎片（如圖所示），聰明的小強(qiáng)經(jīng)過(guò)仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅畫(huà)一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認(rèn)為下列四個(gè)答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、2或2、3去就可以了C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、4或2、4或3、4去均可10．將兩個(gè)斜邊長(zhǎng)相等的三角形紙片如圖①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1，如圖②，連接D1B，則∠E1D1B的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．° D．15°二、填空題11．如果△ABC≌△A′B′C′，AB=24，S△A′B′C′=180，那么△ABC中AB邊上的高是．12．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，5，m，另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為n，6，2，若這兩個(gè)三角形全等，則m+n=．13．已知，如圖∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說(shuō)明△ABC≌△DEF（1）若以“SAS”為依據(jù)，還要添加的條件為；（2）若以“ASA”為依據(jù)，還要添加的條件為．14．下列說(shuō)法正確的有個(gè)．（1）兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．（2）有一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等．（3）一條直角邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等．（4）面積相等的兩個(gè)直角三角形全等．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，線段PQ=AB，P，Q兩點(diǎn)分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AO上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AP=時(shí)，△ABC和△PQA全等．16．如圖，△ABC的高BD，CE相交于點(diǎn)O．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使BD=CE．你所添加的條件是．（僅添加一對(duì)相等的線段或一對(duì)相等的角）17．如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF，由這三個(gè)條件組合運(yùn)用可以得到若干結(jié)論，請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)正確結(jié)論：．18．如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，下面有四個(gè)條件：①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．請(qǐng)你在其中選3個(gè)作為題設(shè)，余下的1個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出所有能組成真命題組合的題設(shè)為．（填序號(hào)）三、解答題（共46分）19．如圖所示，已知∠ACB和∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一點(diǎn)．求證：CP=DP．20．如圖所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分別為B，C，過(guò)D點(diǎn)作BC的垂線交BC于F，交AC于E，AB=EC，試判斷AC和ED的長(zhǎng)度有什么關(guān)系并說(shuō)明理由．21．已知：如圖所示，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE=CF．求證：（1）AD是∠BAC的平分線；（2）AB=AC．22．如圖所示，施工隊(duì)在沿AC方向開(kāi)山修路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊點(diǎn)E同時(shí)施工，從AC上的一點(diǎn)B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直線，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離點(diǎn)B的距離如何求得？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出解決方案．23．如圖，∠BAC=∠BAD，點(diǎn)E在AB上．（1）添加一個(gè)條件，使△ACE≌△ADE，你添加的條件是；（2）根據(jù)（1）中你添加的條件，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出另外一對(duì)全等三角形，并證明．24．?dāng)?shù)學(xué)作業(yè)本發(fā)下來(lái)了，徐波想“我應(yīng)該又是滿分吧”，翻開(kāi)作業(yè)本，一個(gè)大紅的錯(cuò)號(hào)映入眼簾，徐波不解了，“我哪里做錯(cuò)了呢”下面就是徐波的解法，親愛(ài)的同學(xué)，你知道他哪兒錯(cuò)了嗎？你能幫他進(jìn)行正確的說(shuō)明嗎？如圖所示，∠BAC是鈍角，AB=AC，D，E分別在AB，AC上，且CD=BE．試說(shuō)明∠ADC=∠AEB．徐波的解法：在△ACD和△ABE中，，所以△ABE≌△ACD，所以∠ADC=∠AEB．25．如圖，已知直線l1∥l2，線段AB在直線l1上，BC垂直于l1交l2于點(diǎn)C，且AB=BC，P是線段BC上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交l2、l1于點(diǎn)D、E（點(diǎn)A、E位于點(diǎn)B的兩側(cè)），滿足BP=BE，連接AP、CE．（1）求證：△ABP≌△CBE；（2）連結(jié)AD、BD，BD與AP相交于點(diǎn)F．如圖2．①當(dāng)=2時(shí)，求證：AP⊥BD；②當(dāng)=n（n＞1）時(shí)，設(shè)△PAD的面積為S1，△PCE的面積為S2，求的值．《第1章全等三角形》參考答案與試題解析一、選擇題1．下列圖形中，和所給圖全等的圖形是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】全等圖形．【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等形即可判斷出答案．【解答】解；如圖所示：和左圖全等的圖形是選項(xiàng)D．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等形的定義，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握全等形的定義．2．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①全等三角形的周長(zhǎng)相等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；③全等三角形的面積相等；④全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等．A．4 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)】命題與定理．【分析】根據(jù)全三角形的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)說(shuō)法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：全等三角形的周長(zhǎng)相等，故①正確；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，故②正確；全等三角形的面積相等，故③正確；全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等，故④正確；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題和定理，解題的關(guān)鍵是明確全等三角形的性質(zhì)．3．下列條件中，能判定兩個(gè)三角形全等的是（）A．有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 B．有兩條邊對(duì)應(yīng)相等C．有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等 D．有兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】熟練運(yùn)用判定方法判斷．做題時(shí)要按判定全等的方法逐個(gè)驗(yàn)證．【解答】解：有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，不能判定全等，A錯(cuò)誤；有兩條邊對(duì)應(yīng)相等，缺少條件不能判定全等，B錯(cuò)誤；有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等不能判定全等，C錯(cuò)誤；有兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等可判斷全等，符合AAS或ASA，是正確的．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．4．如圖，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．35° D．25°【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【分析】由全等三角形的性質(zhì)可得到∠BAC=∠EAD，在△ABC中可求得∠BAC，則可求得∠EAC．【解答】解：∵∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°，∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD=∠BAC=80°，∴∠EAC=∠EAD﹣∠DAC=80°﹣35°=45°，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．5．在下列條件中，不能說(shuō)明△ABC≌△A′B′C的是（）A．∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′C．∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′ D．AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】根據(jù)題意，對(duì)選項(xiàng)一一分析，選擇正確答案．【解答】解：A、∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故選項(xiàng)正確；B、∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′，可用AAS判定△ABC≌△A′B′C，故選項(xiàng)正確；D、AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故選項(xiàng)正確．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．6．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，則下列結(jié)論中正確的是（）A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．AC=B′C′ D．∠A=∠A′【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】此題難度較小，主要是對(duì)應(yīng)關(guān)系的問(wèn)題，可以采用排除法進(jìn)行分析確定．【解答】解：如圖所示，∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，∴AC=B′C′（A不正確，C正確），BC=A′C′（B不正確），∠A=∠B′（已知已給出，D不正確），故選C．【點(diǎn)評(píng)】主要考查全等三角形的判定，作此題需考慮對(duì)應(yīng)關(guān)系，不能憑主觀想象和習(xí)慣做題，畫(huà)個(gè)圖形，一目了然．7．要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，如圖，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用．【分析】結(jié)合圖形根據(jù)三角形全等的判定方法解答．【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△EDC和△ABC中，，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．8．如圖所示，H是△ABC的高AD，BE的交點(diǎn)，且DH=DC，則下列結(jié)論：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定；全等三角形的性質(zhì)．【分析】可以采用排除法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，從而得出最后的答案．【解答】解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠AEH=∠ADB=90°∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE∴∠HBD=∠EAH∵DH=DC∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD=AD，BH=AC②：∵BC=AC∴∠BAC=∠ABC∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD∴∠ABC=45°∴∠BAC=45°∴∠ACB=90°∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°∴結(jié)論②為錯(cuò)誤結(jié)論．③：由①證明知，△BDH≌△ADC∴BH=AC解④：∵CE=CD∵∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°∴△BEC≌△ADC由于缺乏條件，無(wú)法證得△BEC≌△ADC∴結(jié)論④為錯(cuò)誤結(jié)論綜上所述，結(jié)論①，③為正確結(jié)論，結(jié)論②，④為錯(cuò)誤結(jié)論，根據(jù)題意故選B．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．9．一塊三角形玻璃樣板不慎被小強(qiáng)同學(xué)碰破，成了四片完整四碎片（如圖所示），聰明的小強(qiáng)經(jīng)過(guò)仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅畫(huà)一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認(rèn)為下列四個(gè)答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、2或2、3去就可以了C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、4或2、4或3、4去均可【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】②④雖沒(méi)有原三角形完整的邊，又沒(méi)有角，但延長(zhǎng)可得出原三角形的形狀；帶①、④可以用“角邊角”確定三角形；帶③、④也可以用“角邊角”確定三角形．【解答】解：帶③、④可以用“角邊角”確定三角形，帶①、④可以用“角邊角”確定三角形，帶②④可以延長(zhǎng)還原出原三角形，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定的應(yīng)用；確定一個(gè)三角形的大小、形狀，可以用全等三角形的幾種判定方法．做題時(shí)要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題找條件．10．將兩個(gè)斜邊長(zhǎng)相等的三角形紙片如圖①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1，如圖②，連接D1B，則∠E1D1B的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．° D．15°【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DCE=60°，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，從而得到∠BCD1=∠A，利用“邊角邊”證明△ABC和△D1CB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根據(jù)∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出△ABC和△D1CB全等是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．如果△ABC≌△A′B′C′，AB=24，S△A′B′C′=180，那么△ABC中AB邊上的高是15．【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【分析】運(yùn)用全等三角形的面積相等得出S△ABC=180，再利用AB=24本題可解．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，S△A′B′C′=180，∴S△ABC=180，設(shè)AB邊上的高是h．則S△ABC=AB?h，又AB=24，∴△ABC中AB邊上的高h(yuǎn)=180×2÷24=15．故填15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的面積；要牢固掌握這些知識(shí)，并能靈活應(yīng)用．12．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，5，m，另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為n，6，2，若這兩個(gè)三角形全等，則m+n=11．【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等求出m、n的值，再相加即可得解．【解答】解：∵兩三角形全等，∴m=6，n=5，∴m+n=6+5=11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．已知，如圖∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說(shuō)明△ABC≌△DEF（1）若以“SAS”為依據(jù)，還要添加的條件為BE=CF或BC=EF；（2）若以“ASA”為依據(jù)，還要添加的條件為∠A=∠D．【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的SAS定理，只需找出夾角的另一邊，即BC=EF，即可證得．（2）要判定△ABC≌△DEF，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，加∠A=∠D即可．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，且以“SAS”為依據(jù)，∴還要添加的條件為：BE=CF或BC=EF；故答案為：BE=CF或BC=EF；（2）∵∠ABC=∠DEF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，且以“ASA”為依據(jù)，∴還要添加的條件為：∠A=∠D．故答案為：∠A=∠D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．14．下列說(shuō)法正確的有3個(gè)．（1）兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．（2）有一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等．（3）一條直角邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等．（4）面積相等的兩個(gè)直角三角形全等．【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定．【分析】利用全等三角形的判定方法逐個(gè)判斷即可．【解答】解：（1）當(dāng)這兩條邊都是直角邊時(shí)，結(jié)合直角相等，則可用SAS可判定兩個(gè)三角形全等，當(dāng)這兩條邊一條是斜邊一條是直角邊時(shí)，可用HL判定這兩個(gè)直角三角形全等，故（1）正確；（2）有一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，結(jié)合直角，可用AAS來(lái)判定這兩個(gè)直角三角形全等，故（2）正確；（3）當(dāng)一條直角邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，結(jié)合直角，可用AAS或ASA來(lái)證明這兩個(gè)直角三角形全等，故（3）正確；（4）當(dāng)兩個(gè)三角形面積相等時(shí)，這兩個(gè)直角三角形不一定會(huì)等，故（4）不正確；綜上可知正確的有3個(gè)，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，線段PQ=AB，P，Q兩點(diǎn)分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AO上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AP=5或10時(shí)，△ABC和△PQA全等．【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定．【分析】當(dāng)AP=5或10時(shí)，△ABC和△PQA全等，根據(jù)HL定理推出即可．【解答】解：當(dāng)AP=5或10時(shí)，△ABC和△PQA全等，理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，①當(dāng)AP=5=BC時(shí)，在Rt△ACB和Rt△QAP中∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②當(dāng)AP=10=AC時(shí)，在Rt△ACB和Rt△PAQ中∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案為：5或10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：判定兩直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．16．如圖，△ABC的高BD，CE相交于點(diǎn)O．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使BD=CE．你所添加的條件是BE=CD或∠EBC=∠DCB或∠DBC=∠BCE或AB=AC．（僅添加一對(duì)相等的線段或一對(duì)相等的角）【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法，從△BCD和△CBE全等，或者△ABD和△ACE全等考慮添加條件．【解答】解：添加BE=CD可以利用“HL”證明△BCD≌△CBE，添加∠EBC=∠DCB可以利用“AAS”證明△BCD≌△CBE，添加∠DBC=∠BCE可以利用“AAS”證明△BCD≌△CBE，添加AB=AC可以利用“HL”證明△ABD≌△ACE，綜上所述，所添加的條件可以是BE=CD或∠EBC=∠DCB或∠DBC=∠BCE或AB=AC．故答案為：BE=CD或∠EBC=∠DCB或∠DBC=∠BCE或AB=AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．17．如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF，由這三個(gè)條件組合運(yùn)用可以得到若干結(jié)論，請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)正確結(jié)論：△BDE≌△CDF，BD=CD，AD是△ABC的中線．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知條件得到△BDE≌△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CD．AD是△ABC的中線【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BD=CD．∴AD是△ABC的中線．故答案為：△BDE≌△CDF，BD=CD，AD是△ABC的中線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．做題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用．18．如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，下面有四個(gè)條件：①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．請(qǐng)你在其中選3個(gè)作為題設(shè)，余下的1個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出所有能組成真命題組合的題設(shè)為①②④或①③④．（填序號(hào)）【考點(diǎn)】命題與定理．【分析】直接利用全等三角形的判定方法分別得出符合題意的答案．【解答】解：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∵，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF，即①③④為題設(shè)，可以得出②；∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∵，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC=∠DEF，即①②④為題設(shè)，可以得出③；故答案為：①②④或①③④．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了命題與定理，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．三、解答題（共46分）19．如圖所示，已知∠ACB和∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一點(diǎn)．求證：CP=DP．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】先根據(jù)HL判定Rt△ACB≌Rt△ADB得出BC=BD，∠CBA=∠DBA，再利用SAS判定△CBP≌△DBP從而得出CP=DP．【解答】證明：在Rt△ACB和Rt△ADB中，，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）．∴BC=BD，∠CBA=∠DBA．∵BP=BP，∴△CBP≌△DBP（SAS）．∴CP=DP．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．20．如圖所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分別為B，C，過(guò)D點(diǎn)作BC的垂線交BC于F，交AC于E，AB=EC，試判斷AC和ED的長(zhǎng)度有什么關(guān)系并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定；全等三角形的性質(zhì)．【專題】探究型．【分析】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．【解答】解：AC=ED，理由如下：∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）．∴AC=ED（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．21．已知：如圖所示，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE=CF．求證：（1）AD是∠BAC的平分線；（2）AB=AC．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）要證AD平分∠BAC，只需證明△ABD≌△ACD即可．（2）由1可證得Rt△AED≌Rt△AFD，然后推出BE=CF可得AB=AC．【解答】證明：（1）AD是△ABC的中線（已知），∴BD=CD．在Rt△EBD和Rt△FCD中，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．∴DE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），即AD是∠BAC的平分線．（2）在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．又∵BE=CF（已知），∴AB=AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．22．（6分）如圖所示，施工隊(duì)在沿AC方向開(kāi)山修路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊點(diǎn)E同時(shí)施工，從AC上的一點(diǎn)B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直線，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離點(diǎn)B的距離如何求得？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出解決方案．【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；方案型．【分析】本題讓我們了解測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離的一種方法，設(shè)計(jì)只要符合全等三角形全等的條件，具有可操作性，需要測(cè)量的線段和角度在空地可實(shí)施測(cè)量．【解答】解：方案設(shè)計(jì)如圖，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)F，使BD=DF=500米，過(guò)F作FG⊥ED于點(diǎn)G．因?yàn)椤螦BD=145°，所以∠CBD=35°，在△BED和△FGD中所以△BED≌△FGD（ASA），所以BE=FG（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．所以要求BE的長(zhǎng)度可以測(cè)量GF的長(zhǎng)度．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；解答本題的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)三角形全等，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關(guān)系．本題主要是利用了△BED≌△FGD的判定及性質(zhì)．23．如圖，∠BAC=∠BAD，點(diǎn)E在AB上．（1）添加一個(gè)條件，使△ACE≌△ADE，你添加的條件是AC=AD；（2）根據(jù)（1）中你添加的條件，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出另外一對(duì)全等三角形，并證明．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由圖形可知AE=AE，結(jié)合條件可再添加AC=AD，利用SAS可證明△ACE≌△ADE；（2）利用SAS可證明△ACB≌△ADB．【解答】解：（1）∵在圖形中有AE=AE，且∠BAC=∠BAD，∴可添加AC=AD，利用SAS判斷△ACE≌△ADE，故答案為：AC=AD；（2）可證明△ACB≌△ADB，證明如下：在△ACB和△ADB中∴△ACB≌△ADB（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．24．?dāng)?shù)學(xué)作業(yè)本發(fā)下來(lái)了，徐波想“我應(yīng)該又是滿分吧”，翻開(kāi)作業(yè)本，一個(gè)大紅的錯(cuò)號(hào)映入眼簾，徐波不解了，“我哪里做錯(cuò)了呢”下面就是徐波的解法，親愛(ài)的同學(xué)，你知道他哪兒錯(cuò)了嗎？你能幫他進(jìn)行正確的說(shuō)明嗎？如圖所示，∠BAC是鈍角，AB=AC，D，E分別在AB，AC上，且CD=BE．試說(shuō)明∠ADC=∠AEB．徐波的解法：在△ACD和△ABE中，，所以△ABE≌△ACD，所以∠A