第04章-正弦交流電路的分析

第4章正弦交流電路的分析Chapter42/6/20231第4章正弦交流電路的分析第4章正弦交流電路的分析4.1相量法4.2阻抗和導納4.3RLC串聯(lián)電路4.4RLC并聯(lián)電路4.5正弦交流電路的相量圖求解法4.6復雜正弦交流電路4.7正弦電路中的功率4.8串聯(lián)諧振電路4.9并聯(lián)諧振電路本章小結(jié)2/6/20232第4章正弦交流電路的分析4.1相量法1.復數(shù)及表示形式復數(shù)由實數(shù)和虛數(shù)組成，對應于復平面上的一個點A或一向量OA，如圖4.1所示。復數(shù)A在復平面實軸上的投影為a，在虛軸上的投影為b。4.1.1復數(shù)概述虛軸上的j稱為虛數(shù)單位：2/6/20233第4章正弦交流電路的分析1.復數(shù)的表示形式:①代數(shù)形式：A=a+jb。其中：a為復數(shù)A的實部，b為復數(shù)A的虛部。指數(shù)形式由歐拉公式而得②三角形式：其中:r稱為復數(shù)A的模，總為正值，φ稱為復數(shù)A的輻角。③指數(shù)形式：

工程上常用復數(shù)的極坐標形式：2/6/20234第4章正弦交流電路的分析2.

代數(shù)形式和極坐標形式間的互換:根據(jù)：可得：二者之間的關(guān)系可用一直角三角形表示，如下圖所示。

2/6/20235第4章正弦交流電路的分析3.

復數(shù)的四則運算：加減運算:乘除運算:復數(shù)的向量表示:已知向量如右圖示，在向量圖中可進行向量的加減（乘除）運算。+1+jboajr2/6/20236第4章正弦交流電路的分析4.1.2正弦量的復數(shù)表示法1.相量與正弦量：一個以角頻率ω隨時間不斷旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)相量，它在縱軸上的投影就是正弦量，如下圖所示。2/6/20237第4章正弦交流電路的分析結(jié)論：正弦量i是相量乘以并以角頻率（角速度）ω隨時間旋轉(zhuǎn)的相量在虛軸上的投影。因此可用相量來表示正弦量i：包含了正弦量i三要素的兩個要素：有效值和初相，而頻率沒有反映其中。注意：相量與正弦量i是一種表示方式的對應關(guān)系而不是相等關(guān)系。在相量中，2/6/20238第4章正弦交流電路的分析2.相量圖

相量是用復數(shù)表示的，相量在復平面上的圖形稱為相量圖。舉例：2/6/20239第4章正弦交流電路的分析4.1.3復數(shù)形式的歐姆定律與基爾霍夫定律1.正弦量運算轉(zhuǎn)換為相應的相量運算（1）正弦量的加減運算：設(shè)有兩個正弦量i1和i2，i=i1±i2，則加減運算可轉(zhuǎn)換為相量運算：（2）正弦量的微分運算：2/6/202310第4章正弦交流電路的分析（3）正弦量的積分運算：2/6/202311第4章正弦交流電路的分析2.歐姆定律的相量形式（1）電阻元件的歐姆定律相量形式：可得：φu

=φi

UR

=R·IR設(shè)：則：2/6/202312第4章正弦交流電路的分析（2）電感元件的歐姆定律相量形式：可得：φu

=φi

+90°UL

=XL

·IR設(shè)：則：2/6/202313第4章正弦交流電路的分析討論:感抗oXLwL呈現(xiàn)短路。呈現(xiàn)高阻力,對低頻L呈現(xiàn)低阻力。利用該原理可制作高頻扼流圈。直流穩(wěn)態(tài)時,f=0，XL=0，對高頻L頻率特性:

(2)∵具有電阻量綱,∴

(1)∵2/6/202314第4章正弦交流電路的分析（3）電容元件的歐姆定律相量形式：可得：設(shè)：則：2/6/202315第4章正弦交流電路的分析討論:0XCω⑵頻率特性即對高頻率信號呈現(xiàn)低阻力,對低頻率信號呈現(xiàn)高阻力。如:電子線路中的旁路電容。直流穩(wěn)態(tài)時,f=0,C元件呈現(xiàn)為開路。⑴φu

=φi

-90°UC

=XC

·IC2/6/202316第4章正弦交流電路的分析φu

=φi

-90°UC

=XC

·ICφu

=φi

+90°UL

=XL

·IR結(jié)論：R、L、C元件上的電壓與電流的關(guān)系為：相量形式的歐姆定律。φu

=φi

UR

=R·IR2/6/202317第4章正弦交流電路的分析R、L、C基本元件的相量圖:R元件上的電壓與電流同相；L元件上的電壓超前電流90o；C元件上的電壓滯后電流90o。2/6/202318第4章正弦交流電路的分析3.基爾霍夫定律的相量形式：基爾霍夫定律：對應的相量形式就是：即在正弦交流電路中，當各正弦電流i用電流相量表示，各正弦電壓u用電壓相量表示，其KCL和KVL的表示形式與直流電路相同，正弦交流電路的等效變換分析方法及電路的網(wǎng)絡(luò)方程分析方法也同樣可以參照直流電路的分析方法，只是需要注意R、L、C元件有不同的電壓、電流相量的歐姆定律表達形式。2/6/202319第4章正弦交流電路的分析4.2阻抗和導納阻抗的定義：單口無源網(wǎng)絡(luò)的端口的電壓相量與電流相量之比。符號：Z單位：為歐姆（Ω）4.2.1阻抗2/6/202320第4章正弦交流電路的分析由阻抗的定義可知，對于單一元件R、L、C的阻抗Z分別為：阻抗Z=R+jX，所對應的阻抗三角形與電壓三角形：2/6/202321第4章正弦交流電路的分析4.2.2導納導納的定義：阻抗的倒數(shù)。符號：Y；單位：西門子（S）對于單一元件R、L、C的導納Y分別為：2/6/202322第4章正弦交流電路的分析導納Y=G+jB，所對應的導納三角形和電流三角形：

2/6/202323第4章正弦交流電路的分析例4.4有一元件的電流和電壓相量分別為：試求：該元件的阻抗和導納。解：阻抗為：導納為：2/6/202324第4章正弦交流電路的分析4.3

RLC串聯(lián)電路電路：4.3.1

RL串聯(lián)電路RL串聯(lián)電路：2/6/202325第4章正弦交流電路的分析4.3.2

RC串聯(lián)電路RC串聯(lián)電路：2/6/202326第4章正弦交流電路的分析4.3.3

RLC串聯(lián)電路RLC串聯(lián)電路：

2/6/202327第4章正弦交流電路的分析4.4RLC并聯(lián)電路RL并聯(lián)電路：4.4.1RL并聯(lián)電路RL并聯(lián)電路：2/6/202328第4章正弦交流電路的分析4.4.2RC并聯(lián)電路RC并聯(lián)電路：或2/6/202329第4章正弦交流電路的分析4.4.3RLC并聯(lián)電路

RLC并聯(lián)電路:2/6/202330第4章正弦交流電路的分析例4.6

在下圖中，已知R=50Ω，ω=100rad/s，L=10mH，C=0.01F，求電壓相量和其他電流相量。解：2/6/202331第4章正弦交流電路的分析4.5正弦交流電路的相量圖求解法1.正弦量可以用相量圖表示。2.正弦交流電路中的歐姆定律可用相量形式表示：3.KCL和KVL的相量形式：4.5.1用相量圖分析正弦電路的主要依據(jù)2/6/202332第4章正弦交流電路的分析4.5.2用相量圖求解正弦電路的方法1．參考相量的選擇：（1）對于串聯(lián)電路，常選電流為參考相量。（2）對于并聯(lián)電路，常選電壓為參考相量。（3）對于混聯(lián)電路，參考相量靈活選擇，常選末端電壓或電流為參考相量。2．用相量圖求解電路的方法：（1）根據(jù)電路結(jié)構(gòu)及已知條件選擇參考相量。（2）以參考相量為基準，依據(jù)各元件或電路的電壓與電流的相位關(guān)系畫出其余的電壓電流相量圖。（3）運用電路的二個基本定律（相量形式的歐姆定律和KCV、KVL定律）及三角函數(shù)求解電路。2/6/202333第4章正弦交流電路的分析例4.7應用相量圖求右圖（a）所示電路中電壓表的讀數(shù)。解：設(shè)RLC串聯(lián)電路的參考相量為：畫出相量圖如圖（b）所示。根據(jù)圖（b）中所示的直角三角形關(guān)系，可得電壓表讀數(shù)：2/6/202334第4章正弦交流電路的分析例4.8應用相量圖求下圖（a）所示電路中R支路電流的有效值。解：設(shè)RLC并聯(lián)電路的參考相量為：畫出相量圖如圖（b）所示。根據(jù)圖（b）中所示的直角三角形關(guān)系，可得R支路的電流為：2/6/202335第4章正弦交流電路的分析4.6復雜正弦交流電路1.極坐形式Z與Y的等效互換4.6.1阻抗與導納的等效互換因為：所以：2/6/202336第4章正弦交流電路的分析2.代數(shù)形式Z與Y的等效互換因為：所以：2/6/202337第4章正弦交流電路的分析例4.9電路如下圖（a）所示，已知，R=1Ω，XL=8Ω，XC=8.125Ω，（1）求電路的總導納Y，（2）求電路的總電流，（3）求電容中的電流。解：將圖（a）中的RL串聯(lián)支路變換為GB并聯(lián)電路，得到圖（b）電路.2/6/202338第4章正弦交流電路的分析總導納：總電流：電容支路電流：2/6/202339第4章正弦交流電路的分析4.6.2阻抗串并聯(lián)電路的計算1.阻抗的串聯(lián)總阻抗：2/6/202340第4章正弦交流電路的分析2.阻抗的并聯(lián)總阻抗：總導納：2/6/202341第4章正弦交流電路的分析例4.10求如圖4.22所示電路的輸入阻抗。已知：解：總阻抗：2/6/202342第4章正弦交流電路的分析＊4.6.3復雜電路的計算計算方法：運用歐姆定律和基爾霍夫定律的相量形式分析。運用在相量形式下的各種解題方法。（如：支路電流法、節(jié)點電壓法、網(wǎng)孔電流法以及疊加定理、戴維南定理、諾頓定理和電源的等效變換等）。注意點：在原定律或定理理論的基礎(chǔ)上，必須把所有的電流用電流相量表示，把所有的電壓用電壓相量表示，把所有的元件阻值用復阻抗來表示。這樣，直流電路的各種解題方法也可以用來對正弦交流電路進行分析計算。2/6/202343第4章正弦交流電路的分析例4.11電路如圖4.23所示，列出a、b點的節(jié)點電壓方程和3個網(wǎng)孔方程。解：設(shè)c點為參考節(jié)點，對于a點和b點的節(jié)點電壓方程為：2/6/202344第4章正弦交流電路的分析3個網(wǎng)孔電流方程為：同理，可以也可用其它的幾種方法解題。2/6/202345第4章正弦交流電路的分析4.7正弦電路中的功率任一單口無源網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率為：4.7.1瞬時功率恒定分量交流分量2/6/202346第4章正弦交流電路的分析4.7.2有功功率有功功率：又叫平均功率，是瞬時功率p在一個周期內(nèi)的平均值：符號：P單位：W電感和電容都是儲能元件，只進行能量的轉(zhuǎn)換，不消耗功率，因而電感和電容元件的平均功率為0。一個單口無源網(wǎng)絡(luò)的平均功率就是電阻上實際消耗的功率，電阻將電能轉(zhuǎn)換為其他形式的的能量而做功，故平均功率又稱為有功功率，單位為瓦(W)。2/6/202347第4章正弦交流電路的分析4.7.3無功功率無功功率：是電路中電感或電容元件與電源進行能量交換的量值。符號：用Q表示單位：泛（var）。2/6/202348第4章正弦交流電路的分析4.7.4視在功率視在功率：由網(wǎng)絡(luò)端口的額定電流和額定電壓的乘積決定。符號：用S表示。單位：伏安（V·A）。有功功率、無功功率和視在功率三者之間的關(guān)系：2/6/202349第4章正弦交流電路的分析4.7.5復功率復功率：便于將相量法引入正弦交流電路的功率計算。復功率的符號：單位：伏安（V·A）。定義：2/6/202350第4章正弦交流電路的分析例4.12已知：阻抗為：最后可得：有功功率為P=125W，無功功率為Q=125var，視在功率為S=177V·A。復功率為：電流的共軛為：電流相量為：解：求:有功功率、無功功率和視在功率。兩端的電壓為：2/6/202351第4章正弦交流電路的分析4.7.6功率因數(shù)的提高方法：對于感性負載，通常采用并聯(lián)補償電容的方法來提高功率因數(shù)。例4.13

電路如下圖(a)所示，電源電壓U為220V，工作頻率為50Hz，負載為感性（等效為RL串聯(lián)電路），負載的有功功率為P=10kW，功率因數(shù)cosθ1=0.6，如將功率因數(shù)提高到cosθ2=0.9，如圖（b）所示，求并聯(lián)在負載兩端的電容器C的大小。2/6/202352第4章正弦交流電路的分析解：設(shè):并聯(lián)電容之前，cosθ1=0.6，θ1=arccos0.6=53.13o。則有并聯(lián)電容之后，cosθ2=0.9，θ2=arccos0.9=25.84o。其相量圖如上圖所示。則有2/6/202353第4章正弦交流電路的分析則有電容并聯(lián)補償后，有功功率不變，無功功率減少，線路電流減少，使線路損耗降低。同時視在功率也減少，負載所需要的無功功率由電容提供了。而對RL支路，并聯(lián)電容器前后，其電流、功率因數(shù)、有功功率及無功功率都不變。2/6/202354第4章正弦交流電路的分析4.8串聯(lián)諧振電路諧振現(xiàn)象:

指是在含有L和C的單口網(wǎng)絡(luò)中，當出現(xiàn)端口電壓與電流同相，電路呈純阻性時所發(fā)生的一種特殊現(xiàn)象。諧振條件:

電路的總阻抗為純電阻，即：電路的電抗為0。

Z=R，或

X=0。4.8.1諧振現(xiàn)象與諧振條件2/6/202355第4章正弦交流電路的分析RLC串聯(lián)諧振電路：或諧振頻率諧振角頻率諧振條件：電路總阻抗：2/6/202356第4章正弦交流電路的分析4.8.2串聯(lián)諧振時電路的特點1.串聯(lián)諧振時，電路的總阻抗最小，且等于R，為純阻性。2.串聯(lián)諧振時，在外加電壓不變的情況下，電路的電流最大，且與總電壓同相。3.串聯(lián)諧振時，電感上的電壓與電容上的電壓大小相等、方向相反，且為電源電壓的Q倍。4.諧振時，電感與電容進行完全的能量交換。2/6/202357第4章正弦交流電路的分析4.8.3串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)：工程中簡稱為Q值，是反映諧振電路性能的一個物理量。Q值的大?。撼Ｓ弥C振電路的特性阻抗ρ與電路中的電阻R的比值來確定。ρ：特性阻抗是指RLC電路諧振時的感抗或容抗：或2/6/202358第4章正弦交流電路的分析例4.14電路如右圖所示，電路已處于諧振狀態(tài)，已知U=10V，L=1H，C=25μF，R=10Ω，（1）求電路的諧振角頻率ω0，（2）求I，UL，UC，UR，（3）求品質(zhì)因數(shù)Q。解：因電路已處于諧振狀態(tài)，總電流與總電壓同相，所以總阻抗的虛部為0，即X=0。2/6/202359第4章正弦交流電路的分析2/6/202360第4章正弦交流電路的分析4.9并聯(lián)諧振電路4.9.1諧振條件RLC并聯(lián)諧振電路:2/6/202361第4章正弦交流電路的分析電路總導納：

諧振角頻率：

或：

諧振條件：

2/6/202362第4章正弦交流電路的分析4.9.2并聯(lián)諧振時電路的特點1.并聯(lián)諧振時，輸入導納最小，也就是阻抗最大。2.在外加電流不變的情況下，電路的端電壓最大，且與總電流同相。3.并聯(lián)諧振時，電感中的電流與電容中的電流大小相等、方向相反，且為電源電流的Q倍。4.諧振時，電感與電容進行完全的能量交換。2/6/202363第4章正弦交流電路的分析4.9.3并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)并聯(lián)諧振電路的Q是反映并聯(lián)諧振電路性能的一個物理量。由Q=IL/I或Q=IC/I得:2/6/202364第4章正弦交流電路的分析Q值的定義：并聯(lián)諧振電路的Q值的計算式與串聯(lián)諧振電路的計算式正好相反。這是因為諧振電路的品質(zhì)因數(shù)的大小是由諧振時電路中LC電磁振蕩的總能量與電阻上消耗的能量的比值的大小來確定的，其一般定義式為:2/6/202365第4章正弦交流電路的分析LC儲存的總能量為：R一周內(nèi)消耗的能量為：所以，并聯(lián)諧振電路的Q為：LC儲存的總能量為：R一周內(nèi)消耗的能量為：所以，串聯(lián)諧振電路的Q為：在并聯(lián)諧振電路中：在串聯(lián)諧振電路中：2/6/202366第4章正弦交流電路的分析例4.15電路如右圖所示，電路已處于諧振狀態(tài)，已知：

I=2A，L=1H，C=1F，R=100Ω，（1）求諧振角頻率ω0，（2）求U，IL，IC，IR，（3）求品質(zhì)因數(shù)Q。解：因已處于諧振狀態(tài)，所以B=02/6/202367第4章正弦交流電路的分析2/6/202368第4章正弦交流電路的分析4.9.4電感線圈與電容器并聯(lián)諧振電路電感線圈與電容器并聯(lián)諧振電路：將圖（a）中的RL串聯(lián)電路通過阻抗與導納的等效變換，轉(zhuǎn)換為圖（b）理想狀態(tài)的RLC并聯(lián)諧振電路來分析。

2/6/202369第4章正弦交流電路的分析總導納為:其中：諧振時導納的虛部B為0：求解可得諧振頻率為：當線圈的電阻R值很小，R?時，可使諧振電路的品質(zhì)因數(shù)Q?1，此時的諧振角頻率與理想狀態(tài)的RLC并聯(lián)諧振電路的角頻率近似相等，即。其電路的諧振特性也與理想狀態(tài)的RLC并聯(lián)諧振電路相近。2/6/202370第4章正弦交流電路的分析本章小結(jié)1.復數(shù)的表示形式三種形式的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系是：復數(shù)的加減運算一般采用代數(shù)形式，復數(shù)的乘除運算一般采用指數(shù)形式或極坐標形式。復數(shù)的表示形式有3種：2/6/202371第4章正弦交流電路的分析2.正弦量的復數(shù)表示法相量與正弦量有一一對應的關(guān)系，一個旋轉(zhuǎn)相量在縱軸上的投影就是一個正弦量。則對應的相量為若正弦量為3.歐姆定律的相量形式其中Z為復阻抗，不同的元件有不同的表示形式：在正弦交流電路中，歐姆定律的相量形式為:2/6/202372第4章正弦交流電路的分析

對于R元件，復阻抗：ZR=R。電壓與電流的關(guān)系：瞬時值：u=Ri，有效值：U=RI，相位：φu=φi

。

對于L元件，復阻抗：ZL=jωL。電壓與電流的關(guān)系：瞬時值：有效值：U=ωLI，相位：φu=φi+90o。

對于C元件，復阻抗：電壓與電流的關(guān)系：瞬時值：有效值：I=ωCU

，相位：φi=φu+90o。2/6/202373第4章正弦交流電路的分析4.基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式為在正弦交流電路中，當各電壓用電壓相量表示，各電流用電流相量表示，各元件用復阻抗表示。則電路的分析計算方法與直流電路相同，只是直流電路對應的是代數(shù)方程的運算，而正弦交流電路對應的是復數(shù)的運算。5.阻抗和導納導納與阻抗之間的等效轉(zhuǎn)換關(guān)系為:導納與電流電壓的關(guān)系為：阻抗與電流電壓的關(guān)系為：阻抗：導納：2/6/202374第4章正弦交流電路的分析6.RLC串聯(lián)電路總電壓為：等效阻抗為：阻抗三角形的各條邊乘以電流可得電壓三角形關(guān)系：電壓三角形的各條邊再乘以電流可得功率三角形關(guān)系：在復平面上構(gòu)成阻抗三角形關(guān)系。2/6/202375第4章正弦交流電路的分析7.