空間任意力系的簡化

第3章空間任意力系1工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。

(a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系；

(b)圖中去了風力為空間平行力系。迎面風力側(cè)面風力b§3-1.空間任意力系的實例2一、定義為了度量力使物體繞軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，引用力對軸的矩。圖示門，求力對z（矩軸）的矩。z將力分解：§3-2

力對軸的矩AOd∥z軸⊥z

軸Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyd

=2OA’B’面積

于是：3即力

與軸共面時，力對軸之矩為零。結(jié)論：力對軸的矩等于該力在垂直于此軸的平面上的分力對此軸與這個平面交點的矩。（1）力對軸的矩是代數(shù)量。正負號規(guī)定：右手螺旋法則。（2）若力與軸空間垂直，則無須分解。（3）若//z

軸與z軸相交（4）力沿作用線移動，力對軸的矩不變。說明:4zabFxydMo(F)PoBAF|Mo(F)|=2OAB面積Mz(F)=

Fxyd

=2oab面積

二、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關(guān)系oab面積=OAB面積cos2oab面積=2OAB面積Mz(F)=|Mo(F)|cos

Mz(F)=Moz(F)cos力對任一點的力矩矢在對過此點的任一軸上的投影,等于此力對該軸的矩.5沿坐標軸的正向引入單位矢量i,j,kMo(F)=iMox(F)+jMoy(F)+kMoz(F)=iMx(F)+jMy(F)+k

Mz(F)則:yMo(F)PoBAFxz6Mx(F)=Mx(Fi)My(F)=My(Fi)Mz(F)=Mz(Fi)合力矩定理:力對任一軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。7力對軸的矩的計算方法：（1）定義法；（2）合力矩定理。[例3-1]已知P=20N，求P

對z軸的矩。解：方法一：定義法8例題3-2.設(shè)曲桿OABD位于同一平面內(nèi),且OA垂直于AB,AB垂直于BD,如圖所示.在曲桿D點上作用一力P,其大小為p=2kN.力P位于垂直于BD的平面內(nèi),且于豎直線成夾角=30o.求力P分別對圖示直角坐標軸的矩.xzyoABD3cm4cm5cmP9PxzyoABD3cm4cm5cm解:根據(jù)力對軸的矩的定義計算M1oPyzd1作和x軸垂直的平面M1.找出交點O.確定力P在平面M1內(nèi)的分力Pyz=1.732kN.在平面M1內(nèi)確定力Pyz到矩心O的距離即力臂d1=8cm計算力Pyz對點A的矩亦即力P對x軸的矩Mx(P)=Mo(Pyz)=-Pyz

d1=-13.86kN·cm

10作和y軸垂直的平面M2.PxzyoABD3cm4cm5cm確定力P在平面M2內(nèi)的分力Pxz=P=2kN.在平面M2內(nèi)確定力Pxz到矩心O的距離即力臂d2=3.464cm計算力Pxz對點O的矩亦即力P對y軸的矩My(P)=Mo(Pxz)=-Pxz

d2=-6.928kN·cm

M2Pd2亦可用合力矩定理計算:My(P)=Mo(Pz)=-Pz

d=-6.928kN·cm

找出交點O.o11PxzyoABD3cm4cm5cm作和z軸垂直的平面M3.o找出交點O.確定力P在平面M3內(nèi)的分力Pxy=1kN.在平面M3內(nèi)確定力P到矩心O的距離即力臂d3=8cm計算力Pxy對點O的矩亦即力P對z軸的矩Mz(P)=Mo(Pxy)=-Pxy

d2=-8kN·cm

PxyM3d212例題3-3.力F作用在邊長為a的立方體上如圖所示.求力F對各軸之矩.oABCB'C'A'O'F13解:oABCB'C'A'O'F力F的作用線與AO,A'O′,BC平行.與B'C'重合.MAO(F)=MA'O'(F)=MBC(F)=MB'C'(F)=014力F的作用線與A'B',oABCB'C'A'O'FC'O',BB'和CC'相交.MA'B'(F)=MC'O'(F)=MBB'(F)=MCC'(F)=015求力F對AA'

、OO'

、A′A

和O′O軸之矩.MAA'(F)=MOO'(F)=aFMA'A(F)=MO'O(F)=-aFoABCB'C'A'O'F16求力F對AB、OC、BA和CO軸之矩.MAB(F)=-aFMBA(F)=aFoACC'A'O'B'FBMOC(F)=-aFMCO(F)=aF17§3-4.空間任意力系向一點的簡化(1)主矢與主矩力線平移定理:作用于剛體上的一力F,可以平行移動到剛體上的任一點O.但必須同時在此力線與O所決定的平面內(nèi)附加一力偶,此附加力偶矢的大小和方向等于力F對O點的矩矢的大小和方向.設(shè)一剛體受空間任意力系F1,F2…Fn作用,各力作用點分別為A1,A2…An

.18在剛體內(nèi)任取一點O為簡化中心,應(yīng)用力線平移定理,依次將各力平移到點O即得到一個作用于簡化中心O的空間匯交力系

F'1

,

F'2

…F'n和一個由力偶矩矢分別為M1,M2…Mn的附加力偶所組成的空間力偶系.A1A2AnF1F2FnOxyzM1M2MnF'1F'2F'nOxyz19其中:F'1=F1,F'2=F2,…,F'n=FnM1

=

Mo(F1),M2

=

Mo(F2),…,

Mn

=

Mo(Fn)

空間匯交力系F1,F2…Fn可合成為作用在O點的一個力矢量FR',稱為原力系的主矢.FR'=F'i=Fi由力偶矩矢分別為M1,M2…Mn

的附加力偶所組成的空間力偶系可合成為一個力偶,其力偶矩矢Mo稱為原力系對簡化中心的主矩.Mo=Mi=mo(Fi)20

結(jié)論:空間任意力系向任一點簡化,一般可得到一個力和一個力偶.這個力作用在簡化中心,它的矢量稱為原力系的主矢,并等于這力系中各力的矢量和;這個力偶的力偶矩矢等于原力系中各力對簡化中心的矩的矢量和,并稱為原力系對簡化中心的主矩.主矢FR'只取決于原力系中各力的大小和方向,與簡化中心的位置無關(guān);而主矩Mo

的大小和方向都與簡化中心的位置有關(guān).21(2)主矢與主矩的解析表達式FR'=iFR'x+jFR'y+kFR'zFR'x=FixFR'y=FiyFR'z=FizMo

=i

Mox+j

Moy+k

Moz=iMox(Fi)+j

Moy(Fi)+k

Moz(Fi)§3-5.空間任意力系簡化結(jié)果的幾種情形(1)FR'=0,Mo=0原力系平衡.(2)FR'

0,Mo=0原力系的最后簡化結(jié)果為作用于簡化中心的一個力FR',即原力系的合力FR.=iMx(Fi)+j

My(Fi)+k

Mz(Fi)22(3)FR=0,Mo

0原力系的最后簡化結(jié)果為一個力偶,其力偶矩矢為Mo.此時主矩Mo與簡化中心的位置無關(guān).(4)FR'

0,Mo

0這是簡化結(jié)果的最一般情形.(a)FR'

Mo=0原力系的最后簡化結(jié)果為作用于O'點的一個合力FR

=

FR'.且OO'=Mo/FR'(c)FR'Mo

0原力系的最后簡化結(jié)果為由一個力和一個力偶所組成的力系即力螺旋.FR'

Mo

0為右螺旋.FR'

Mo

0為左螺旋.(b)FR'平行

Mo

時，簡化結(jié)果是力螺旋。23空間力系的合力矩定理:空間力系如能合成一個合力,則其合力對任一點之矩,等于力系中各力對同一點之矩的矢量和.Mo(FR)=Mo(Fi)Mx(FR)=Mx(Fi)My(FR)=My(Fi)Mz(FR)=Mz(Fi)FR'MoO(

FR'Mo

0

)FR'MoO(

FR'Mo

0

)合力對任一軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。24例題3-3.邊長1m的正方體的AB邊上作用一力F=10kN,在面A'B'C'O'上作用一力偶矩m=5kN.m的力偶.如圖所示.求最后的簡化結(jié)果.解:取O為簡化中心并建立坐標.oABCB'C'A'O'Fmxyz25計算主矢和主矩Mo

=Mo(F)+m=-5kFR'

Mo

=(-10j)(-5k)=0FoABCB'C'A'O'xyzO'FR=

F=-10jFR'=F=-10j確定最后簡化結(jié)果26例題3-4.邊長為2m的正方體兩側(cè)面AOO‘A’和BCC‘B’

上分別作用大小均等于10kN的力F和F‘.如圖所示.求最后的簡化結(jié)果.oABCB'C'A'O'FF'xy