微分方程模型

微分方程模型第一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程分析對(duì)象特征的變化規(guī)律預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài)研究控制對(duì)象特征的手段

根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程動(dòng)態(tài)模型微分方程建模第二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日§3.1微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題例1（物體達(dá)到的最大高度）在地面上以初速度v0鉛直向上發(fā)射一質(zhì)量為m的物體，設(shè)地球引力與物體到地心距離的平方成正比，求物體可能達(dá)到的最大高度.若物體脫離太陽(yáng)系，則v0應(yīng)為多少？模型建立記地球半徑為R，假設(shè)空氣阻力不計(jì).設(shè)在時(shí)刻t物體上升的高度為s=s(t)，則根據(jù)Newton（牛頓）的萬(wàn)有引力定律知，物體受地球的引力為：第三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

又當(dāng)物體在地面上時(shí)，s=0,F=-mg又物體在上升過程中滿足Newton(牛頓)第二定律這是一個(gè)二階微分方程第四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

模型求解第五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

由于物體到達(dá)最大高度時(shí)，v=0，所以由此即第二宇宙速度第六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

例2液體的濃度稀釋問題在甲、乙兩個(gè)大桶內(nèi)各裝有100L的鹽水（兩桶均為裝滿），其濃度均為5g/L.現(xiàn)用一根細(xì)管將凈水以2L/min的速度輸入甲桶，攪拌均勻，同時(shí)又將混合溶液仍以2L/min的速度用細(xì)管輸入乙桶（兩桶容積足夠大，在稀釋過程中均不會(huì)溢出）；然后用細(xì)管以1L/min的速度從乙桶將混合溶液輸出.問時(shí)刻t時(shí)乙桶鹽水的濃度是多少？模型建立與求解設(shè)y1(t)和y2(t)分別表示時(shí)刻t時(shí)甲、乙兩桶內(nèi)含鹽的數(shù)量先分析甲桶第七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

兩邊同除以△t,并令△t→0,得甲桶內(nèi)含鹽的數(shù)學(xué)模型：分析乙桶同理在任意時(shí)間段[t,t+△t]內(nèi)乙桶內(nèi)含鹽量的變化為：兩邊同除以△t,并令△t→0,得乙桶內(nèi)含鹽的數(shù)學(xué)模型：第八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

這是一階線性微分方程，第九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

例3兇手作案時(shí)間的推斷問題某天在一住宅發(fā)生一起兇殺案，下午16：00刑偵人員和法醫(yī)趕到現(xiàn)場(chǎng)，立即測(cè)得尸體溫度為30°C，室內(nèi)環(huán)境溫度為20°C.已知在環(huán)境溫度20°C狀況下尸體最初2小時(shí)其溫度下降2°C.若假定室內(nèi)環(huán)境基本為恒溫，試推斷這一兇殺作案時(shí)間.第十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

問題分析該問題屬于物理上的冷卻現(xiàn)象，需要運(yùn)用Newton（牛頓）冷卻定律：“物質(zhì)在介質(zhì)中的冷卻速度同該物體溫度與介質(zhì)溫度之差成正比.”而“冷卻速度就是溫度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).”模型建立記Tt為時(shí)刻t物體的溫度，T0為初始時(shí)刻t0物體的溫度（即被害者被害時(shí)的體溫），Te為介質(zhì)（環(huán)境）的溫度，則由牛頓冷卻定律，得：（其中λ>0為比例系數(shù)）第十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

模型求解現(xiàn)在的問題是λ如何求？方法一利用已知介質(zhì)（環(huán)境）溫度Te下物體在最初時(shí)間段t1-t0其溫度下降為Td這一條件來(lái)確定λ.第十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

應(yīng)用第十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

方法二利用現(xiàn)場(chǎng)過一段時(shí)間，再增加一次溫度測(cè)定，從而增加一個(gè)條件來(lái)確定λ.第十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

例4馬王堆一號(hào)墓入葬年代的測(cè)定問題湖南長(zhǎng)沙市馬王堆一號(hào)墓于1972年8月發(fā)掘出土，其時(shí)測(cè)得出土的木炭標(biāo)本中碳—14平均（C—14）原子蛻變數(shù)為29.78次/分鐘，而新燒成的同種木材的木炭標(biāo)本中碳—14的原子蛻變數(shù)為38.37次/分鐘，又知碳—14的半衰期為5730年，試由此推斷墓人入葬的大致年代.問題分析放射性元素的衰變的速度不受環(huán)境的影響，它總是和該元素當(dāng)前的量成正比.運(yùn)用C—14測(cè)定文物或化石年代的理由：第十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

（1）宇宙射線不斷襲擊大氣層，使大氣層中產(chǎn)生C—14，而同時(shí)C—14又不斷衰變，從而大氣層中C—14的含量處于動(dòng)態(tài)平衡中，且其含量自古至今基本上不變；（2）C—14被動(dòng)植物體所吸收，所以活著的生物體由于不斷的新陳代謝，體內(nèi)的C—14也處于動(dòng)態(tài)平衡中，其含量自古至今也都是一樣的；（3）動(dòng)植物的尸體由于停止了從環(huán)境中攝取C—14，從而其體內(nèi)C—14含量將由于衰變而不斷減少.碳定年代法就是根據(jù)C—14的減少量來(lái)判斷生物體的大致死亡時(shí)間.運(yùn)用C—14測(cè)定文物或化石年代的理由：第十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

建立模型設(shè)t時(shí)刻生物體中C—14的含量為x(t)，x0為生物體死亡時(shí)間t0時(shí)所含C—14的含量，放射性物質(zhì)的半衰期為T，則C—14衰變規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為：模型求解運(yùn)用分離變量法，得：第十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

模型應(yīng)用把T=5730,x0=38.37,x(1972)=29.78代入上式得：即馬王堆墓入葬的年代大約在公元前123年左右的西漢中期。第十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

§3.2運(yùn)動(dòng)軌跡問題例1航跡曲線設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A，河寬OA=h,兩岸為平行直線，平行于河岸的水流速度為常數(shù)v1,有一小船從A點(diǎn)出發(fā)，駛向點(diǎn)O.設(shè)小船速度為v2(靜水中速度），且|v2|>|v1|.小船在航行中船頭恒指向O點(diǎn)，求小船航行的軌跡.模型建立設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，河岸沿y軸方向延伸,如右圖.小船航行的軌跡為y=y(x).第十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)小船t時(shí)刻位于點(diǎn)(x,y)處，則有：第二十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

第二十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

模型求解這是一階齊次微分方程第二十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

這就是小船的航行軌跡曲線.第二十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

例2追蹤問題在南海海域，我緝私艦雷達(dá)發(fā)現(xiàn)在距離艦艇dnmile(海里）處有一艘走私船正以勻速anmile(海里）朝垂直方向逃竄，緝私艦立即以最大的速度vnmile(海里）追趕.在雷達(dá)的指引下，緝私艦的速度方向始終指向走私船.試求緝私艦的追蹤軌跡及追上所用的時(shí)間.模型建立如果v≤a,則緝私艦不可能追上走私船，因此假設(shè)v>a.以緝私艦發(fā)現(xiàn)走私船的位置記為坐標(biāo)原點(diǎn)O，走私船逃竄的方向?yàn)閥軸方向，建立坐標(biāo)系，走私船的起點(diǎn)位置為A（d,0),如圖.第二十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

第二十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)該式兩邊求導(dǎo)并整理，即得追蹤曲線模型模型求解這是一個(gè)二階微分方程第二十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

第二十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

緝私艦追上走私船的時(shí)間第二十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日§3.3

火車彎道緩和曲線的設(shè)計(jì)問題火車駛上彎道時(shí)，根據(jù)力學(xué)原理，會(huì)產(chǎn)生離心力F=mv2/R.在軌道的直道與彎道（圓?。┑你暯犹?，列車受到的離心力若由0突然變到F，會(huì)損壞路軌和車輛，并使乘客趕到不適，甚至發(fā)生危險(xiǎn).為此火車軌道在彎道處采取“外軌超高”的辦法，使產(chǎn)生的向心力抵消部分離心力，以保證列車安全運(yùn)行.為使等高的直線軌道與外軌超高的圓弧平緩銜接，同時(shí)避免離心力的突然出現(xiàn)，要在彎道與直道間加設(shè)一段曲線，以使列車受到的離心力從0均勻地增大到F，外軌的超高也從0逐漸增大到h.所加的曲線稱為緩和曲線.試求滿足上述要求的緩和曲線的模型.第二十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

模型建立如圖，設(shè)鐵路軌道沿x負(fù)半軸直到原點(diǎn)為直線，從第一象限的B處開始，是半徑為R0的圓弧，OB弧是所求的緩和曲線，OB弧的總長(zhǎng)度為l0.當(dāng)列車行駛