第八章檢驗(yàn)假設(shè)

第八章

檢驗(yàn)假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)的含義利用樣本信息，根據(jù)一定概率，對總體參數(shù)或分布的某一假設(shè)作出拒絕或保留的決斷，稱為假設(shè)檢驗(yàn)。實(shí)際上是對樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之間是否存在顯著差異進(jìn)行檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理如果這個(gè)隨機(jī)樣本統(tǒng)計(jì)量的值在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率較大，則保留這個(gè)假設(shè)，即承認(rèn)該樣本來自這個(gè)總體，而樣本統(tǒng)計(jì)量的值與總體參數(shù)的差異是抽樣誤差所致；如果這個(gè)隨機(jī)樣本統(tǒng)計(jì)量的值在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率極小，則否定這個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量是來自這個(gè)總體參數(shù)值的假設(shè)，也就是說，樣本統(tǒng)計(jì)量的值與總體參數(shù)之間的差異不是抽樣誤差所致，而是存在著本質(zhì)差異，故稱它們之間差異顯著。一、假設(shè)虛無假設(shè)H0：樣本均值與總體均值無顯著差異——可以直接進(jìn)行檢驗(yàn)的假設(shè)。（也叫無差假設(shè)、零假設(shè)、原假設(shè)）備選假設(shè)H1：樣本均值與總體均值存在顯著差異——不能直接進(jìn)行檢驗(yàn)的假設(shè)（也叫備擇假設(shè)、對立假設(shè)）虛無假設(shè)與備擇假設(shè)相互矛盾且只有一個(gè)正確。顯著性水平與虛無假設(shè)的關(guān)系虛無假設(shè)是否成立，是以由顯著性水平所確立的小概率事件的判斷標(biāo)準(zhǔn)為前提的：當(dāng)把概率越小的隨機(jī)事件確定為小概率事件，虛無假設(shè)成立的可能性就越大，反之，虛無假設(shè)被拒絕的可能性就越大。二、推斷時(shí)容易發(fā)生的兩類錯(cuò)誤類型一錯(cuò)誤()：根據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果否定虛無假設(shè)，而實(shí)際上虛無假設(shè)是成立的；類型二錯(cuò)誤()：根據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果接受虛無假設(shè)，而實(shí)際上虛無假設(shè)不成立。控制兩種類型錯(cuò)誤產(chǎn)生的方法:在保持類型一可能的錯(cuò)誤率一定情況下，利用已知的實(shí)際總體參數(shù)值與假設(shè)參數(shù)值之間大小關(guān)系，合理安排拒絕區(qū)域的位置：采用雙側(cè)檢驗(yàn)采用右側(cè)檢驗(yàn)采用左側(cè)檢驗(yàn)使樣本容量增大，可以同時(shí)減少兩類錯(cuò)誤的概率，或減少其中一種錯(cuò)誤的概率而不增加另一種錯(cuò)誤的概率，因?yàn)槿萘吭酱螅闃诱`差越小。第二節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)具體步驟：建立假設(shè)：虛無假設(shè)：①u1=u0；②u1

u0；③u1u0；備選假設(shè)：①u1u0；②u1<u0；③u1>u0；選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算Z分布T分布確定檢驗(yàn)形式雙側(cè)單側(cè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷如何確定檢驗(yàn)形式？雙側(cè)：當(dāng)根據(jù)理論或經(jīng)驗(yàn)不能預(yù)料總體平均數(shù)的值與假設(shè)總體平均數(shù)的值之間關(guān)系時(shí)，可采用雙側(cè)檢驗(yàn)/2；單側(cè)：當(dāng)能預(yù)料總體平均數(shù)的值大于假設(shè)的值，采用右側(cè)檢驗(yàn)；當(dāng)能預(yù)料總體平均數(shù)的值小于假設(shè)的值，采用左側(cè)檢驗(yàn)。一、總體為正態(tài)分布、總體方差已知例8-1全區(qū)統(tǒng)一考試物理平均分μ0＝50，標(biāo)準(zhǔn)差σ0＝10分。某校的一個(gè)班(n＝41)平均成績=52.5，該班成績與全區(qū)平均成績差異是否顯著？解：設(shè)全區(qū)考生成績服從正態(tài)分布①從表面看該班成績52．5分，高于全區(qū)平均分，但是并沒有任何依據(jù)說明該班真實(shí)水平比全區(qū)分?jǐn)?shù)高。因而需要用雙側(cè)檢驗(yàn)。H0：μ1＝μ0H1：μ1≠μ0

②算出樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤③計(jì)算臨界比率CR(Criticalratio)

CR的意義與標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z相似。在總體分布為正態(tài)、總體方差已知時(shí)，臨界比率CR一般用Z表示。μ0-1.6×1.562＜＜μ0＋1.6×1.56247.50＜＜52.50答：該班成績與全區(qū)平均成績差異不顯著。例8-2有人調(diào)查早期教育對兒童智力發(fā)展的影響，從受過良好早期教育的兒童中隨機(jī)抽取70人進(jìn)行韋氏-兒童智力測驗(yàn)(μ0＝100，σ0＝15)，結(jié)果＝103.3，能否認(rèn)為受過良好早期教育的兒童智力高于一般水平？解：根據(jù)題意，應(yīng)該用單側(cè)檢驗(yàn)(設(shè)總體正態(tài)分布)H0：μ1≤μ0H1：μ1>μ0從正態(tài)分布表查得，單側(cè)α＝0.05時(shí)臨界點(diǎn)Zα＝1.645而所得臨界比率Z=1.84>1.645，P<0.05，這意味著在0.05水平上

與μ0的差異是顯著的，或者說在0.05水平上μ1>μ0，從統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的結(jié)果可以下結(jié)論；受過良好早期教育的兒童智力高于一般水平。二、總體分布為正態(tài)，總體標(biāo)準(zhǔn)差未知具體步驟：建立假設(shè)：虛無假設(shè)：u=u0

；uu0

；uu0

；備選假設(shè)：uu0；u<u0

；u>u0

；選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算T分布確定檢驗(yàn)形式(df=n-1)雙側(cè)單側(cè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷

例8-3某心理學(xué)家認(rèn)為一般汽車司機(jī)的視反應(yīng)時(shí)平均175毫秒，有人隨機(jī)抽取36名汽車司機(jī)作為研究樣本進(jìn)行了測定，結(jié)果平均值為180毫秒，標(biāo)準(zhǔn)差25毫秒。能否根據(jù)測試結(jié)果否定該心理學(xué)家的結(jié)論。(假定人的視反應(yīng)時(shí)符合正態(tài)分布)解：H0：μ1＝μ0H1：μ1≠μ0

＝180S＝25n＝36

查t分布表(雙側(cè))df＝35t0.05／2＝2.031.18<2.03即P>0.05(這表示否定H0時(shí)犯錯(cuò)誤的概率大于0.05，因而從統(tǒng)計(jì)學(xué)上不能否定H0)這就是說樣本平均值(180)與總體平均值(175)的差異不顯著。因此不能否定心理學(xué)家的結(jié)論。答：不能否定心理學(xué)家的結(jié)論。三、總體非正態(tài)分布

一般認(rèn)為當(dāng)n≥30時(shí)，盡管總體分布非正態(tài)，對于平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)仍可以用Z檢驗(yàn)。(這時(shí)的Z檢驗(yàn)是近似的)即：當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ0未知時(shí)，由于樣本容量較大，可以直接用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替上式中的σ0

小結(jié)總體為正態(tài)分布Z檢驗(yàn)又叫大樣本的檢驗(yàn)方法，t檢驗(yàn)又叫小樣本的檢驗(yàn)方法。總體為正態(tài)分布、總體方差已知，用Z檢驗(yàn)，總體為正態(tài)分布、總體方差未知，用t檢驗(yàn)?？傮w分布為非正態(tài)總體分布為非正態(tài)，大樣本，且要求不是特別嚴(yán)格時(shí)，近似地Z檢驗(yàn)。總體分布為非正態(tài)，小樣本，不能Z檢驗(yàn)也不能t檢驗(yàn)。（可以做非參數(shù)檢驗(yàn)或數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換）第三節(jié)平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)何謂平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)？需要考慮的條件：總體分布總體方差兩個(gè)總體方差是否一致兩個(gè)樣本是否相關(guān)兩個(gè)樣本容量大小試驗(yàn)設(shè)計(jì)的類型一、兩個(gè)總體都是正態(tài)分布，兩個(gè)總體方差都已知兩個(gè)樣本平均數(shù)之間的差異：兩個(gè)樣本平均數(shù)之間的差異的總體平均數(shù)：經(jīng)過證明：不用考慮大樣本還是小樣本。（一）獨(dú)立樣本的平均數(shù)差異檢驗(yàn)例8-4在參加了全國統(tǒng)一考試后，已知考生成績服從正態(tài)分布。在甲省抽取153名考生，得到平均分為57.41，該省的總標(biāo)準(zhǔn)差為5.77分；在已省抽取686名，得到平均分?jǐn)?shù)55.95分，該省的總標(biāo)準(zhǔn)差為5.17分。問兩省考生在這次考試中平均分?jǐn)?shù)是否有顯著的差異？（取α=0.01）答案：Z=2.88＞2.58，兩省考生的平均分?jǐn)?shù)差異極為顯著。（二）相關(guān)樣本的平均數(shù)差異檢驗(yàn)例8-5某幼兒園在兒童入園時(shí)對49名兒童進(jìn)行了比奈智力測驗(yàn)（標(biāo)準(zhǔn)差=16），結(jié)果平均智商為106，一年后再對同組被試進(jìn)行施測，結(jié)果平均智商為110。已知兩次測驗(yàn)結(jié)果的相關(guān)系數(shù)為0.74，問能否說隨著年齡的增長與一年的教育，兒童智商有了顯著的提高？解：已知（1）假設(shè)：H0：μ1＝μ0H1：μ1＞μ0

（2）確定檢驗(yàn)形式：右側(cè)檢驗(yàn)（3）計(jì)算臨界值：（4）查表獲得Z值（5）比較推斷：差異顯著（6）答：略。二、兩個(gè)總體都是正態(tài)分布，兩個(gè)總體方差都未知一般不用考慮大樣本還是小樣本（一）獨(dú)立樣本的平均數(shù)差異檢驗(yàn)

（1）兩個(gè)總體方差相等例8-6對甲、乙兩校小學(xué)一年級的學(xué)生進(jìn)行智力測驗(yàn)，兩個(gè)學(xué)校分別測查100人和90人，他們的平均智商分別為110和107，標(biāo)準(zhǔn)差分別為17和16，檢驗(yàn)兩校一年級學(xué)生智商是否有顯著差異？

解：已知：所以有1.242＜1.96=t0.05/2因此，兩所小學(xué)一年級學(xué)生智力測驗(yàn)結(jié)果沒有顯著差異。答：兩所小學(xué)一年級學(xué)生智力測驗(yàn)結(jié)果沒有顯著差異。（2）兩個(gè)總體方差不相等解決方法第一步，需要做方差齊性檢驗(yàn)第二部，阿斯平—威爾士（Aspin-Welch）檢驗(yàn)例8-7為了對某門課程進(jìn)行教學(xué)改革，該學(xué)校對各方面條件類似的兩個(gè)班學(xué)生進(jìn)行測驗(yàn)，甲班45人，采用教師免受的教學(xué)方法；乙班36人，采用教師講授要點(diǎn)，學(xué)生討論的方法。一年后，用同一試題對兩個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行測驗(yàn)，結(jié)果如下：甲班平均數(shù)69.5分，標(biāo)準(zhǔn)差8.35；乙班平均數(shù)78分，標(biāo)準(zhǔn)差16.5。試問兩種教學(xué)方法是否有顯著差異？（α=0.01）解：（二）相關(guān)樣本的平均數(shù)差異檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)誤：檢驗(yàn)公式：

例8-8

從某小學(xué)四年級隨機(jī)抽取15名學(xué)生，學(xué)期初進(jìn)行了一次推理測驗(yàn)，學(xué)期末有進(jìn)行了一次相似的推理測驗(yàn)，兩次成績?nèi)缦?。問學(xué)生的推理測驗(yàn)成績是否顯著提高？（已知：S1=3.53，S2=4.13，r=0.42）期初525352515053545655515960615859期末545555535460626563586453586063解：答：這一學(xué)期的學(xué)生推理能力有極其顯著的提高。例8-9從某小學(xué)一年級隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，在學(xué)期初進(jìn)行了閱讀測驗(yàn)，學(xué)期末又進(jìn)行了類似的測驗(yàn)，計(jì)算得到兩次測驗(yàn)的相關(guān)系數(shù)為0.50，其他數(shù)據(jù)如下。問這100名學(xué)生的兩次測驗(yàn)成績差異顯著嗎？（α=0.01）答案：t=8.98＞2.640，極其顯著。（提高極為顯著）測驗(yàn)時(shí)間n平均分Sr期初100456

0.50期末100505研究生入學(xué)考試真題（2005，北師大）在一項(xiàng)反饋對知覺判斷的影響研究中n（人數(shù)）X(平均數(shù))S（標(biāo)準(zhǔn)差）試驗(yàn)組（有反饋）60X1=80S1=18控制組（無反饋）52X2=73S2=15問實(shí)驗(yàn)組的平均結(jié)果是否顯著高于控制組？三、兩個(gè)總體非正態(tài)分布當(dāng)兩個(gè)樣本都大于30可以用近似Z檢驗(yàn)。不用考慮總體方差已知否（一）獨(dú)立樣本的平均數(shù)差異檢驗(yàn)（二）相關(guān)樣本的平均數(shù)差異檢驗(yàn)三種T檢驗(yàn)——

應(yīng)用最多的三種平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)單樣本T檢驗(yàn)樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之間的比較檢驗(yàn)。條件——總體正態(tài)分布，總體方差未知配對（相關(guān)）樣本T檢驗(yàn)來自同一個(gè)總體的兩個(gè)樣本的平均數(shù)之間差異的顯著性檢驗(yàn)。條件——總體正態(tài)分布，總體方差未知獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)來自不同的兩個(gè)總體中的兩個(gè)樣本的平均數(shù)顯著性檢驗(yàn)。條件——總體正態(tài)分布，兩個(gè)總體方差未知，但是相等第四節(jié)方差的差異檢驗(yàn)一、樣本方差與總體方差的差異檢驗(yàn)例8-10在一次全區(qū)統(tǒng)考中，全體學(xué)生的總標(biāo)準(zhǔn)差為18，某校40名學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)差為12

，問該校學(xué)生成績的方差與全區(qū)方差是否有顯著差異？答：該校學(xué)生成績的方差與全區(qū)方差之間存在顯著差異。二、兩個(gè)樣本方差之間的差異顯著性檢驗(yàn)（一）獨(dú)立樣本例8-11隨機(jī)抽取男生n1=31，女生n2=25，進(jìn)行閃光融合頻率的測定，結(jié)果男生的標(biāo)準(zhǔn)差