第5講(隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講第二章一維隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布§2.1一維隨機(jī)變量一、概念

例1拋一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，觀察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).X是一（因）變量（函數(shù)），取不同的數(shù)值表示試驗(yàn)可能發(fā)生的不同結(jié)果，且X是以一定概率取值的.例2設(shè)有一批產(chǎn)品10件，其中3件次品.現(xiàn)從中任取2件.X是一變量，取不同的數(shù)值表示抽到的不同結(jié)果，且X是以一定概率取值的.例3測(cè)試某種電子元件的壽命X（單位：小時(shí)）.X取值由試驗(yàn)結(jié)果而定，可為[0，+∞）上任一數(shù).X是一變量，取不同的數(shù)值表示抽到的不同結(jié)果.如100≤X≤150:事件{被測(cè)試的電子元件壽命在100小時(shí)在150小時(shí)之間}.

例4

擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，觀察出現(xiàn)正面、反面.

X是一變量，取不同的數(shù)值表示出現(xiàn)的不同結(jié)果，且X是以一定概率取值的.這樣，上述例子中變量（函數(shù)）X是所有試驗(yàn)結(jié)果（樣本空間）的函數(shù)，可記為X=X(ω).這種隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可理解為:.XX(ω)

與高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)不同.定義一個(gè)實(shí)值函數(shù)X=

X(ω),將◎

X(ω)隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值.故在試驗(yàn)之前只知道其可能取值的范圍，而不能預(yù)知其取哪個(gè)具體的值.◎由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，所以“X(ω)取每個(gè)值或某個(gè)確定范圍內(nèi)的值”也有一定的概率.稱這種定義在樣本空間Ω上的實(shí)值函數(shù)為隨機(jī)變量，簡記為r.v.(randomvariable).不同之處：定義隨機(jī)變量通常用英文大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示.隨機(jī)變量的取值一般用小寫字母x,y,z

等表示.這樣，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可用隨機(jī)變量的取值來表示.

如：例1中事件{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4}可用{X>4}或{X=5}

∪

{X=6}表示.例2中事件{至少抽到1件次品}可用{X≥1}或{X=1}

∪

{X=2}表示.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上重大的事件.引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)充到對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.二、隨機(jī)變量的分類

一維、多維在維數(shù)確定后，可按取值分為：

定義若隨機(jī)變量X只取有限個(gè)或可列無窮多個(gè)數(shù)值，稱X是離散型隨機(jī)變量.否則，稱為非離散型隨機(jī)變量.如例1,2,4中的X是離散型隨機(jī)變量.對(duì)非離散型隨機(jī)變量，只研究連續(xù)型隨機(jī)變量，如例3中的X.隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量學(xué)習(xí)時(shí)要注意它們各自的特點(diǎn)及描述方法.我們所研究的這兩種類型的隨機(jī)變量因都是隨機(jī)變量，自然會(huì)有許多相同或相似之處；但因其取值方式不同，故又有其各自的特點(diǎn).設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其可能取值為x1,x2,….為描述隨機(jī)變量X，我們不僅要知道其所有可能的取值，還應(yīng)知道取各值的概率.§2.2一維離散型隨機(jī)變量2.2.1分布律（列）及其性質(zhì)稱其為離散型隨機(jī)變量X的分布律或概率分布（密度），也稱概率函數(shù).或表格形式或矩陣形式

定義1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值的概率解：依分布律的性質(zhì)有

例1設(shè)隨機(jī)變量

X的概率分布為確定常數(shù)a.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)數(shù)列是否是概率分布。性質(zhì)從中解得這里用到了冪級(jí)數(shù)展開式例2設(shè)有一批產(chǎn)品10件，其中3件次品.現(xiàn)從中任取2件.用X表示抽到的次品數(shù)，求X的分布律及至少有一件次品的概率.例3如上圖所示,電子線路中裝有兩個(gè)并聯(lián)繼電器.設(shè)這兩個(gè)繼電器是否接通具有隨機(jī)性，且彼此獨(dú)立.已知各電器接通的概率為0.8，記X為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù).求

(1)X

的概率分布；(2)線路接通的概率.解：(1)記Ai={第

i個(gè)繼電器接通},i=1,2.因兩個(gè)繼電器是否接通是相互獨(dú)立的,所以A1和A2相互獨(dú)立，且

P(A1)=P(A2)=0.8.X的所有可能取值為:0,1,2.

所以，X的分布律為(2)

因線路是并聯(lián)電路，所以P(線路接通)=P(只要一個(gè)繼電器接通)

=P{X≥1}

=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96.2.2.2常見離散型隨機(jī)變量的概率分布1.兩點(diǎn)分布

設(shè)

E

是一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用Ω={1,2}表示其樣本空間.

P({1})=p,P({2})=1-p.稱X服從參數(shù)p的兩點(diǎn)分布,記成X～B(1,p).定義2設(shè)X的分布律為X10PP1-p稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布或（0—1）分布，記為X～B(1,p).例4從裝有6只白球、4只紅球的口袋中任取一球，用X表示取到的白球數(shù)，求X的分布律.若試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，可用兩點(diǎn)分布來描述，如：射擊是否“中靶”，擲硬幣是否“正面朝上”，產(chǎn)品是否“合格”，種子是否“發(fā)芽”等.2.二項(xiàng)分布每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果的

n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作

n

重貝努里試驗(yàn)，簡稱貝努里試驗(yàn)或貝努里概型.貝努里試驗(yàn)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有下述要求：

(1)每次試驗(yàn)條件相同；(2)每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果

A

或,(3)各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.定義3則稱X服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布，也稱伯努利分布，記X～B(n,p).例4某工廠生產(chǎn)的螺絲的次品率為0.05，設(shè)每個(gè)螺絲是否為次品是相互獨(dú)立的，該工廠將10個(gè)螺絲包成一包出售，并保證若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個(gè)次品即可退貨，求某包螺絲次品個(gè)數(shù)X的分布律和售出的螺絲的退貨率.二項(xiàng)分布描述的是：n重貝努里試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)

X

的概率分布.

二項(xiàng)分布

B(n,p)

和兩點(diǎn)分布B(1,p)的關(guān)系.當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布稱為兩點(diǎn)分布.

將試驗(yàn)

E

在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行

n

次，記

X

為

n

次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù).描述第i

次試驗(yàn)的隨機(jī)變量記作Xi,則Xi

～

B(1,p)，且X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立(隨機(jī)變量相互獨(dú)立的嚴(yán)格定義將在第三章講述).則有X=X1+X2+…+Xn

.

設(shè)試驗(yàn)

E

只有兩個(gè)結(jié)果:A

和

.設(shè)隨機(jī)變量

X的分布律：3.泊松分布其中λ>0是常數(shù)，則稱X

服從參數(shù)為λ的泊松分布,記作X～

P(λ).易見

實(shí)際中，許多現(xiàn)象可用泊松分布來描述：一段時(shí)間內(nèi)電話的呼叫次數(shù)；布匹上的疵點(diǎn)數(shù)；線路板上的焊接不良處；書頁上的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)等.例5某一無線尋呼臺(tái)，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布.求：

(1)一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率；

(2)一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率..解:=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3

(1)P{X=3}(2)P{2≤X≤5}≈0.7169.=(33/3!)e-3≈0.2240；=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系

定理(泊松定理):對(duì)二項(xiàng)分布

B(n,p),當(dāng)

n充分大,p又很小時(shí),對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù)

k，有近似公式例6某出租汽車公司共有出租車400輛，設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02，求:一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率.解

將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試驗(yàn).因?yàn)槊枯v車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān),于是,觀察400輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做400次貝努利試驗(yàn).設(shè)

X

表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租車數(shù),則X

～

B(400,0.02).令=np=400×0.02=8，于是,P{一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障}=P{X=0}=b(0;400,0.02)≈(80/0!)e-8=0.0003355.幾何分布設(shè)隨機(jī)變量

X的分布律：則稱X

服從參數(shù)為p的幾何分布,記作

X～

G(p).幾何分布常用于描述獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件首次出現(xiàn)時(shí)，已經(jīng)完成的試驗(yàn)次數(shù).在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,則在第k次試驗(yàn)時(shí)A首次發(fā)生的概率即幾何分布的分布律.超幾何分布設(shè)隨機(jī)變量

X的分布律：