第5章振動與波動

振動狀態(tài)的傳播的過程——波動第五章 振動與波動（Vibrationandwavemotion）定義：一個物理量在某一數(shù)值附近往復(fù)變化時，則稱為振動。力學(xué)量電磁量§5.1簡諧運(yùn)動的基本特征及其描述1.定義(1)平衡位置(Equilibriumposition)：平衡不動時物體的位置，(O)之點(diǎn)。(2)恢復(fù)力(Restoringforce)：振動物體偏離平衡位置時，受到的使它回到平衡位置的力。(3)簡諧運(yùn)動(Simpleharmonicmotion)：相對平衡位置的位移x

按余弦(或正弦)規(guī)律隨時間變化的物體的運(yùn)動?！喼C運(yùn)動的運(yùn)動方程5.1.1簡諧運(yùn)動(SimpleHarmonicMotion(SHM))

2．描述諧振的三個特征量(1)振幅(A)(Amplitute)振動過程中離開平衡位置的最大距離定義：意義：求法：由初條件定(2)周期(T)(Period)頻率(n)

(Frequency)振動往返一次所經(jīng)歷的時間(s)單位時間內(nèi)振動往返的次數(shù)(Hz)角頻率

(w)(Angularfrequency)

2p

秒內(nèi)振動的次數(shù)(rad/s)只一個獨(dú)立意義：描述周期性(1)振幅(A)(Amplitute)2．描述諧振的三個特征量(3)相位(wt+j)(Phase)反映任一時刻t的運(yùn)動狀態(tài)x=Acos(wt+j)v=-Awsin(wt+j)a=-Aw2cos(wt+j)vOOv，則則(2)周期(T)(Period)頻率(n)

(Frequency)角頻率

(w)(Angularfrequency)(1)振幅(A)(Amplitute)2．描述諧振的三個特征量初相(j)(InitialPhase)決定

t=0時振動狀態(tài)由初條件定Ax0-v0/wj必須同時滿足(3)相位(wt+j)——反映任一時刻t的運(yùn)動狀態(tài)(2)周期(T)、頻率(n)、角頻率

(w)(1)振幅(A)2．描述諧振的三個特征量初相(j)(InitialPhase)決定

t=0時振動狀態(tài)由初條件定(3)相位(wt+j)——反映任一時刻t的運(yùn)動狀態(tài)(2)周期(T)、頻率(n)、角頻率

(w)(1)振幅(A)2．描述諧振的三個特征量負(fù)+A-A0IIIpIVIII-p0負(fù)正正1.振動曲線j

>0(I)A、w、j描述諧振動txATTx0-x0-AbabaccO分析比較baba不同態(tài)不同態(tài)vavbc同態(tài)c同態(tài)(wtc+j)-(wtb+j)=w(tc

-

tb)=wT=2p(wtc+j)-(wtb+j)=w(tc

-

tb)=w(2T)=4p兩相同態(tài)所對應(yīng)的相位差為2p

或2p的整數(shù)倍5.1.2簡諧運(yùn)動的描述方法2.旋轉(zhuǎn)矢量圖參考圓(CircleofReference)t

時刻，與

x

軸夾(wt+j)P

的位移變速直線運(yùn)動xMOM0jwtPxw(t=0)勻速圓周運(yùn)動之參考圓諧振動A矢長振幅w角速圓頻wt+j與

x

軸夾角相位xA

在

x

軸投影位移vwA在

x

軸投影速度aan=

w2A

在

x

軸投影加速度vmt11xx234567891012345678910111[例](1)t=0

時，x0=A/2，v0>0，求j；

(2)已知w，求x=A/2x=-A/2

的最短時間。解：(1)(2)qv0xMOA/2wMA-A/2-A應(yīng)用(1)求初相

j、相位

wt+j[例]已知：諧振動的曲線；

求：該系統(tǒng)的

w、T。xOQPj1j0解：t=0x0=A/2v0>0t=1sx1=0v1<0Dt=1sx(m)t(s)6.0O-6.03.0-3.0123(2)求相位差QxN(2)O

jPw

jM(1)j>j比總超前j-

jP

比

Q

超前恒定的相位差P

比

Q

超前時間jMNtxxN(2)M(1)xp/2O應(yīng)用(1)求初相

j、相位

wt+j1.Dj=2kp，k

=0，1，2，…同相2.Dj=(2k+1)p，k

=0，1，2，…反相3.Dj

≠2kp、(2k+1)p，k

=0，1，2，…Dj>0：x2

超前x1

振DjDj<0：x2

落后x1

振|Dj|Dj=3p/2-2p=-p/2-p

Dj

p

x2

落后x1振p/2

Dj=

3p/2x2x15.1.3相位差諧振動x、、相位差j1

j2

j3v

超前x

相位p/2a、x

反相vmamtaxxvv

a與位移成正比而反向使F

總指向平衡位置5.1.4簡諧運(yùn)動的研究

1.彈簧振子xPPOFx——“k+

m”動力學(xué)方面胡克定律回復(fù)力牛二定律加速度與位移成正比而反向簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)特征動力學(xué)定義簡諧運(yùn)動的微分運(yùn)動方程式運(yùn)動學(xué)方面運(yùn)動學(xué)定義n

(w

)：固有(角)頻率令1.彈簧振子——“k+

m”動力學(xué)方面*拉開的角度

q0

不是初相mlv0[例]t=0(a)lOq0(b)v0=0回復(fù)力(矩)與位移(角位移)正比反向。(角)加速度與(角)位移正比反向。題目類型證明是否為簡諧運(yùn)動求振動周期或角頻率從簡諧運(yùn)動的特征入手選平衡位置；建坐標(biāo)系，原點(diǎn)在平衡位置；讓物體有一小的(角)位移，看回復(fù)力(矩)。解：

[例]液體比重計為

m，所測流體密度為

r，比重計上端圓管直徑為

d，試證經(jīng)推動(從平衡位置稍微壓低或提高)后，比重計在豎直方向作簡諧振動，并求周期。xdx向上浮力F向下重力mg設(shè)平衡時浸入液體中的體積為

V0合外力平衡時與位移成正比而反向∴該振動是簡諧運(yùn)動O回復(fù)力[例]細(xì)桿的小角度振動的角頻率？解法一：

mgl,ml/2qEp=0OC解法二：機(jī)械能守恒sinq

q§5.2

簡諧振動系統(tǒng)的能量1．以彈簧振子為例平衡位置時勢能=0，總機(jī)械能 EpmaxEkmaxtEtxOO討論(1)Ek、Ep隨

t周期性交替變化平衡位置Ep

0Ekmax|x|最大max0(2)=恒定∴機(jī)械能守恒簡諧運(yùn)動是無阻尼自由振動(3)Ek、Ep

的變化頻率=2w2．一周期

T內(nèi)平均值3．w

——固有屬性，A

——能量，j

——初條。振動波動適用于系統(tǒng)經(jīng)典量子[例]作簡諧運(yùn)動的小球，速度最大值為vm=3厘米/秒，振幅A=2厘米，若從速度為正的最大值的某時刻開始計算時間，求：(1)振動的周期；(2)加速度的最大值；(3)振動表達(dá)式；(4)

t=

何值時，動能=勢能。解：(1)(2)(3)(4)具體化§5.3簡諧運(yùn)動的合成5.3.1同方向簡諧運(yùn)動的合成數(shù)學(xué)分析法①②①2+②2②/①——同頻率的簡諧運(yùn)動

旋轉(zhuǎn)矢量圖法xj1x2x1xjwwwNMM1M2x2PQabROj2討論a)同相：k=0,1,2,…b)反相：k=0,1,2,…振動減弱c)

2kp

<Dj<(2k+1)p,k=0,1,2,…=2kp,

Dj=j2

-

j1cos(j2

-

j1)=1振動加強(qiáng)=(2k+1)p,Dj

=j2

-

j1cos(j2

-

j1)=-1若A1=A2,則A

=2A1,j=j1若A1=A2,則A

=0,質(zhì)點(diǎn)靜止相位差對合振動起著重要作用![例]某一質(zhì)點(diǎn)同時參與兩個同方向、同頻率的諧振動，其振動規(guī)律為：

x1=0.4cos(3t+p/3)，x2=0.3cos(3t

-

p/6)(SI)。求：(1)合振動的表達(dá)式;(2)若另有一同方向、同頻率的諧振動，

x3=0.5cos(3t+j3)

當(dāng)j3

等于多少時，x1、x2、x3的合振幅最大？當(dāng)j3

等于多少時，x1、x2、x3的合振幅最?。拷猓?1)解析法解：(1)相量圖法xajp/6p/3O(2)當(dāng)j3=j=0.12p,

當(dāng)j3=j

-p=-0.88p

[例]某一質(zhì)點(diǎn)同時參與兩個同方向、同頻率的諧振動，其振動規(guī)律為：

x1=0.4cos(3t+p/3)，x2=0.3cos(3t

-

p/6)(SI)。求：(1)合振動的表達(dá)式;(2)若另有一同方向、同頻率的諧振動，

x3=0.5cos(3t+j3)

當(dāng)j3

等于多少時，x1、x2、x3的合振幅最大？當(dāng)j3

等于多少時，x1、x2、x3的合振幅最小？[例]已知：n個同向、同頻、等幅a、相鄰二振動相位差d，求：合振動。解：xCORddd2134a1an∴DCA1A2

等腰內(nèi)接一個半徑為R的圓。解：xCORdddndj2134wa1an等腰D的頂角

[例]已知：n個同向、同頻、等幅a、相鄰二振動相位差d，求：合振動。解：討論a)d

=2kp,k=0,1,2,b)d

=2kp/n,k≠nk的整倍,p/2xCORdddndj2134wa1an[例]已知：n個同向、同頻、等幅a、相鄰二振動相位差d，求：合振動。5.5波動的基本特征平面簡諧波的波函數(shù)1.行波(TravelingWave)一定擾動的傳播稱為波動，簡稱波。例如，機(jī)械波：機(jī)械擾動在介質(zhì)中的傳播。聲波、超聲波、次聲、水波、地震波等。電磁波：變化電場和變化磁場在空間的傳播。無線電波、光波、X射線、γ射線等。振動狀態(tài)及能量都在傳播叫行波。例如脈沖波、簡諧波。注意介質(zhì)并沒有沿傳播方向遷移。橫波：質(zhì)元運(yùn)動方向波的傳播方向縱波：質(zhì)元運(yùn)動方向//波的傳播方向(Transverseandlongitudinalwaves)

數(shù)學(xué)描述：取行波的傳播方向為x

軸，當(dāng)波經(jīng)過原點(diǎn)時，起初處于原點(diǎn)的質(zhì)元發(fā)生位移y0，它與時間t

的函數(shù)關(guān)系為y0=f(t)。設(shè)波沿+x

方向以速度u

傳播,坐標(biāo)為

x

的點(diǎn)在

t

時刻的位移

y

為t–x/u

的函數(shù)，即它可以表示任意位置的質(zhì)元在任意時刻的位移，稱為波函數(shù)(wavefunction)

。（沿+x

傳播）（沿–x

傳播）若波以速度u沿–x

方向傳播，則波函數(shù)為2.惠更斯原理(Huygens’principle)(1)波線和波面(wavelineandsurface)波傳播方向的直線形象地稱為波線。波傳播過程中相位相同的點(diǎn)組成的平面叫波面。波傳播時最前面的波面稱為波陣面或波前。一般情況下，波線垂直于波面。波面是平面的波叫做平面波。u波面波線S1S2波面是球面的波叫做球面波。OS1S2r1r2波面波線(2)惠更斯原理惠更斯原理是有關(guān)波的傳播方向的規(guī)律：波陣面上的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，其后任一時刻的波陣面就是這些子波的包跡(包絡(luò)面)。平面波在某一時刻的波前是平面，在下一時刻的波前仍是平面。新的波前球面波在某一時刻的波前是球面，在下一時刻的波前仍是球面。新的波前(3)利用惠更斯原理解釋波傳播的一些現(xiàn)象a.衍射：波遇到障礙物而改變傳播方向。障礙物b.波的反射定律：入射角等于反射角，i=i/

。ABCDii/i/ic.波的折射定律：ABCiu1rrDiu2n1n2兩式相除，得

n21

稱為第二種介質(zhì)相對于第一種介質(zhì)的相對折射率。n1,n2

為絕對折射率。90oq12全反射以90o

入射角從介質(zhì)1向界面入射，折射角θ

為全反射的臨界角介質(zhì)2中大于q的入射波有全反射。3.簡諧波(SimpleHarmonicWave)簡諧振動的傳播叫做簡諧波，它是最簡單的波。···t=T/4·····················t=T···············t=T/2··

·············t=01471316

·········10····

··

···波峰波谷波形曲線以橫波為例·······t=3T/4···········4.平面簡諧波的波函數(shù)設(shè)原點(diǎn)振動函數(shù)為，則沿+x

方向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)為沿–x

方向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)為其中A,w,u

分別為簡諧波的振幅、角頻率和傳播速度(相速度，或波速)。(amplitude,angularfrequency)可理解為x

點(diǎn)振動相位比原點(diǎn)振動相位落后

wx/u可理解為x

點(diǎn)振動相位比原點(diǎn)振動相位超前

wx/u討論(1)波函數(shù)變形形式：其中，表征時間周期性的量有周期頻率表征空間周期性的量有波長波數(shù)PeriodFrequencyWavelengthWaveNumber(2)在空間某位置x=x1，有它表示x=x1

處的振動函數(shù)，其中為初相。(3)在某時刻t=t1，有它表示t=t1

時刻的波形。yxOt1t2Dx=u(t2-

t1)(4)質(zhì)元運(yùn)動速度與u

無直接關(guān)系。波速

u由媒質(zhì)定：彈性性質(zhì)慣性性質(zhì)彈性模量密度例如：在固體中，橫波波速和縱波波速分別為切變模量楊氏模量質(zhì)元運(yùn)動加速度(5)如果在x=x1

點(diǎn)處有一個簡諧波源，其振動函數(shù)為則該波源引起的簡諧波的波函數(shù)為源4.波動方程行波波函數(shù)的一般形式為將y

分別對

x

和t

求二階偏導(dǎo)數(shù)，則有比較以上兩式，可得——波動方程任何物理量y(x,t),只要波動方程,則這一物理量就以波的形式傳播，而且波的傳播速度可由波動方程的系數(shù)求得。例1一列平面簡諧波以波速u

沿+x

方向傳播，波長l，已知在x0=l/4處質(zhì)元的振動函數(shù)為y0=Acoswt。寫出波函數(shù)，并畫出t=T

和t=5T/4時的波形圖。解：x0

處的質(zhì)元在早些時刻(x–x0)/u=(x–l/4)/u的振動位移為相應(yīng)的相位在經(jīng)過時間(x–l/4)/u后傳至x

點(diǎn)，因此這就是x

處t

時刻的振動函數(shù)，即波函數(shù)其中用到t=0時刻的波形為根據(jù)波的時間周期性，t=T

時刻的波形與此相同。在t=5T/4時刻，波形較t=T

時刻的波形移動了距離T5T/4l/2l3l/22lxyOu例3平面簡諧波以u=20m/s向右傳播，已知點(diǎn)A

振動

y=3cos(4pt–p)m，已知D

在A

右

9m處，分別對以下兩種情況寫出波函數(shù)和D

點(diǎn)振動函數(shù)：(1)x

軸向左,

A

為原點(diǎn)；(2)x

軸向右，以A

左方5m處O

點(diǎn)為原點(diǎn)xAD0–9xxAD5140Ox解：(1)x

點(diǎn)相位比A

點(diǎn)領(lǐng)先所以x

點(diǎn)振動函數(shù)即波函數(shù)為D

點(diǎn)振動函數(shù)(2)x

點(diǎn)相位比A

點(diǎn)落后u§5.6波的能量1.波的能量傳播特征：平面簡諧縱波在彈性介質(zhì)中傳播，質(zhì)元dV

的速度為則其振動動能為xxdxdV媒質(zhì)r、E、Sdm=rdV受到外力的物體，形狀或體積都會發(fā)生變化，稱為形變。去掉外力，形狀或體積仍能復(fù)原，這樣的形變叫做彈性形變。lDlSFF線應(yīng)變Dl/l，伸縮應(yīng)力F/S胡克定律：彈性限度內(nèi)Y——楊氏模量當(dāng)外力不太大時，Dl較小，S

基本不變，因而k=ES/l

近似為常數(shù)。材料發(fā)生線應(yīng)變時，具有彈性勢能xyl無波傳輸，質(zhì)元處于平衡位置傳輸縱波，質(zhì)元偏離平衡位置由楊氏模量的定義胡克定律有該質(zhì)元的彈性勢能為又可見，在平面簡諧波中，同一質(zhì)元每時每刻都具有相同的動能和勢能，這是參與波動的質(zhì)元不同于孤立振動系統(tǒng)的一個重要特點(diǎn)。xyλ無波傳輸，質(zhì)元處于平衡位置傳輸縱波，質(zhì)元偏離平衡位置wx2.能量密度：波動中的介質(zhì)單位體積內(nèi)的總機(jī)械能質(zhì)元機(jī)械能不守恒，時大時小，體現(xiàn)了波的傳播。平均能量密度：3.能流：單位時間內(nèi)通過垂直于波速的平面的能量能流密度：P/S=wu平均能流密度(波的強(qiáng)度)：u波面波線S1S2根據(jù)能量守恒，T內(nèi)通過S1和S2面的能量相等，則I1S1T=I2S2T，所以A1=A2

，即在均勻的不吸收能量的介質(zhì)中傳播的平面波的振幅保持不變。例：在各向同性、均勻、無吸收媒質(zhì)中的平面波的振幅。例：在各向同性、均勻、無吸收媒質(zhì)中的球面波OS1S2r1r2波面波線一定時間內(nèi)通過S1

和S2

面的能量相等，即因而有A1r1=A2r2，球面簡諧波的波函數(shù)為實際的波由于介質(zhì)的吸收等原因，其強(qiáng)度及振幅都要沿傳播方向逐漸減小。球面波振幅與到點(diǎn)波源的距離成反比?！?.7波的疊加1.波的疊加原理(superpositionprincipleofwaves)波在傳播過程中相遇，各自獨(dú)立，互不干擾（振幅、頻率、波長、振動方向、傳播方向都不變）。任一點(diǎn)的位移,為各個波單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的位移的合成。這個規(guī)律叫做波的疊加原理或波的獨(dú)立傳播原理。滿足條件的波為較弱波和經(jīng)典波。2.波的干涉(1)現(xiàn)象：波相遇時，空間上周期性地出現(xiàn)加強(qiáng)或減弱的現(xiàn)象，而且圖案不隨時間而改變。(2)條件(相干條件)：頻率相同、相位差恒定、振動方向相同；振幅相差不大。相應(yīng)的波叫相干波。(3)規(guī)律：兩列平面簡諧波在某點(diǎn)引起振動，r1,r2

為各自振源到該點(diǎn)的距離根據(jù)同頻同向簡諧振動的合成規(guī)律，仍得簡諧振動當(dāng)Dj=±2kp

時，A=A1+A2，振動互相加強(qiáng)；當(dāng)Dj

=±(2k+1)p

時，A=|A1–A2|，振動互相減弱。若j1=j2,則波程差加強(qiáng)減弱例S1,S2

為兩相干波源，坐標(biāo)如圖，它們在x1=9cm,x2=12cm處產(chǎn)生相鄰的干涉極小，求波長，以及波源的最小正相位差。O91230xS1x1x2S2解：設(shè)波源S1,S2

振動函數(shù)分別為則它們發(fā)出兩列波的波函數(shù)為由x1

點(diǎn)干涉極小得由x2

點(diǎn)干涉極小得兩式相減得波長而波源的相位差為最小為p3.駐波(StandingWave)同一介質(zhì)中兩列頻率、振動方向、振幅都相同的簡諧波，在同一直線上沿相反方向傳播時形成駐波。相加得駐波表達(dá)式x=0,y=2Acoswtx=l/6,y=

Acoswtx=

l/4,y=

0x=

l/3,y=

–Acoswt

=Acos(wt+p)x=

l/2,y=

–2Acoswt=2Acos(wt+p)

y2A–2AOx波節(jié)λ4波腹(2)由駐波表達(dá)式得波腹波節(jié)討論(1)駐波振幅隨x

周期性變化，同波腹內(nèi)質(zhì)元振動同相，相鄰波腹內(nèi)的質(zhì)元反相。所以相鄰兩波