概率3-二元隨機變量與相關(guān)性

概率論基礎(chǔ)（Ⅲ）2009年3月山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性1二維隨機變量與相關(guān)性山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性2一、多維隨機變量（隨機向量）二、二維隨機變量的特征數(shù)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)三、樣本相關(guān)系數(shù)的計算皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)相關(guān)概念山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性3n維隨機變量（隨機向量）的形式：n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)：二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列：二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)：二維隨機變量的協(xié)方差山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性4設(shè)（X，Y）是一個二維隨機變量，如果存在，則稱其為X與Y的協(xié)方差，或稱為X與Y的相關(guān)（中心）矩，并記為特別地：協(xié)方差>0，稱X與Y正相關(guān)，即同增同減；協(xié)方差<0，稱X與Y負相關(guān)，即增減相反；協(xié)方差=0，稱X與Y不（線性）相關(guān)。二維隨機變量的協(xié)方差山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性5協(xié)方差的性質(zhì)：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)；若X與Y獨立，則Cov(X,Y)=0，反之亦然；Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；Cov(X,a)=0，a為常數(shù)；Cov(aX,bY)=abCov(Y,X)，a,b為常數(shù);Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)；Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y),Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)。二維隨機變量的相關(guān)系數(shù)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性6設(shè)（X，Y）是一個二維隨機變量，且

則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差是同符號的，即同正同負，所以從相關(guān)系數(shù)的取值也可以反映X與Y的（線性）相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)可以看做是X與Y標準化后的協(xié)方差。施瓦茲不等式：(Schwarzinequality)二維隨機變量的相關(guān)系數(shù)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性7相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：有界：;相關(guān)系數(shù)大于（小于）0表示兩變量正（負）相關(guān)，等于0說明不線性相關(guān)；相關(guān)系數(shù)為的充分必要條件是X與Y幾乎處處有線性關(guān)系，即存在a(不為0)和b，使得P(Y=aX+b)=1。其中當Corr(X,Y)=1時，有a>0；當Corr(X,Y)=1，有a<0。不相關(guān)與獨立山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性8一般場合，獨立必然導(dǎo)致不相關(guān)，但不相關(guān)推不出獨立。但在正態(tài)場合下兩者等價。TH.在二維正態(tài)分布場合，不相關(guān)與獨立是等價的。相關(guān)與因果山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性9兩變量有較強的相關(guān)關(guān)系（相關(guān)系數(shù)較大），并不意味著兩者之間有因果關(guān)系。例如某年的降雨量與出生率有很強的相關(guān)性，但不能說高降雨量導(dǎo)致了高出生率，也不能說高出生率導(dǎo)致了高降雨量。即使兩者有因果關(guān)系，也要特別注意：導(dǎo)致一件事情發(fā)生的原因很多，不能說完全由它引起，所以要進一步考慮多元線性回歸問題。相關(guān)性的描述與表示山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性10變量間的兩類基本關(guān)系：確定性關(guān)系與相關(guān)關(guān)系。前者可以用函數(shù)關(guān)系表示出來，但后者沒有確切的函數(shù)關(guān)系。例如身高與體重的關(guān)系，相關(guān)但不確定。相關(guān)關(guān)系又分為線性相關(guān)與非線性相關(guān)。（圖略）根據(jù)兩變量變化的同向性，可以分為正相關(guān)與負相關(guān)；根據(jù)線性相關(guān)的強弱又可分為強相關(guān)和弱相關(guān)。相關(guān)但不線性相關(guān)稱為非線性相關(guān)。沒有任何相關(guān)關(guān)系稱為不相關(guān)。只有線性相關(guān)的兩變量我們才能做線性回歸。相關(guān)性的量化山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性11前面所講的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)是兩個基本的相關(guān)性指標。以下講：1、皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)Pearsonproduct-momentcorrelationcoefficient2、斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)Spearmanrankcorrelationcoefficient皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性12適應(yīng)于正態(tài)樣本，滿足相關(guān)系數(shù)的一般性質(zhì)。計算公式：顯然，兩樣本容量應(yīng)該相同。皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性131、陳述原假設(shè)與備擇假設(shè)：2、設(shè)定顯著性水平alpha；3、計算檢驗統(tǒng)計量r（如兩變量服從正態(tài)分布）；4、查“檢驗表”，的臨界值C;5、拒絕域為：因為原假設(shè)中選用總體分布的相關(guān)系數(shù)，因此屬于參數(shù)假設(shè)檢驗。皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)示例山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性14考察兩位教師的判分標準是否一致。（P127）兩位教師對20個學(xué)生的英語作文判分給出，通過計算兩組分數(shù)的相關(guān)系數(shù)，來考察之間的相關(guān)性。作文編號1-20教師甲的分數(shù)……總分1（256）平方和1（3498）教師乙的分數(shù)……總分2（265）平方和2（3713）相應(yīng)分數(shù)相乘后求和（3534）皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)示例（續(xù)）山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性15相關(guān)系數(shù)計算式為：正值，且接近于1。斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性16適應(yīng)于順序樣本，首先計算出樣本的相應(yīng)等級。計算公式：等級的確定：從小到大升序排列，最小的數(shù)等級為1，依次遞增，如遇并列數(shù)據(jù)則取他們所在等級的平均數(shù)。注意：過多的并列數(shù)據(jù)可能導(dǎo)致過高估計相關(guān)系數(shù)。此時，一種更精確的方法是——計算等級序列的Pearson相關(guān)系數(shù)。斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性171、陳述原假設(shè)與備擇假設(shè)：2、設(shè)定顯著性水平alpha；3、計算檢驗統(tǒng)計量（如兩變量服從正態(tài)分布）；4、查“檢驗表”，的臨界值C;5、拒絕域為：因為不涉及總體分布和總體分布參數(shù)，因此屬于非參數(shù)假設(shè)檢驗。斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)示例山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院二維隨機變量與相關(guān)性18同前例（P130）。數(shù)據(jù)如下：T甲R1T乙R2dT甲R1T乙R2d171715151314121581210715171816151615127716161014101612101010111519151413981811214.514.515.59.581219.59.56.519.516.51.59.54.512.5814.59.55.5