第十二章振動(dòng)(樓)

第四篇

振動(dòng)和波動(dòng)1不同的振動(dòng)現(xiàn)象具有一些共同的物理特性振動(dòng)與波動(dòng)都是自然界最常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式各種波具有的共同特性稱為波動(dòng)性水面波超聲波胎兒圖像光導(dǎo)纖維傳導(dǎo)光波心電圖座鐘的鐘擺衛(wèi)星繞月周期運(yùn)動(dòng)特征：重復(fù)性、周期性2只要一個(gè)物理量在一定的平衡值附近發(fā)生周期性的變化，都可認(rèn)為該物理量在作振動(dòng)振動(dòng)3第十二章振動(dòng)4*§12-5兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成§12-4一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍現(xiàn)象*§12-3阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振§12-2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量§12-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)§12-6振蕩電路電磁振蕩5§12-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)一、諧振動(dòng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體稱為諧振子。（最典型的例子是彈簧振子的運(yùn)動(dòng)）簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最基本的振動(dòng):任何復(fù)雜的振動(dòng)都可認(rèn)為是由幾個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)最振動(dòng)基本簡(jiǎn)單6１．彈簧振子ｋ＋ｍ系統(tǒng)輕彈簧＋剛性物體kmxO彈簧勁度系數(shù)諧振子x

胡克定律彈性力大小方向始終指向平衡位置O坐標(biāo)x為物體相對(duì)于平衡位置的位移7２．平衡位置物體受合力為０的位置平衡位置Ｔmg３．諧振動(dòng)ａ．定義：彈簧振子系統(tǒng)在平衡位置附近位移不太大，沿直線周期性來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)。原長(zhǎng)？堅(jiān)直？水平彈簧振子彈簧原長(zhǎng)（坐標(biāo)原點(diǎn)）8ｂ．用學(xué)分析諧振動(dòng)動(dòng)力運(yùn)動(dòng)ｃ．諧振動(dòng)方程即令受力回復(fù)力牛頓第二定律為積分常數(shù)*求解得運(yùn)動(dòng)方程：9

物體所受合外力大小F=-kx

的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)d.簡(jiǎn)諧振動(dòng)定義令

加速度與位移成正比且方向相反的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移是時(shí)間的余弦（正弦）函數(shù)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程10e．諧振動(dòng)物體的速度及加速度t11二.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期及頻率振幅

A周期

T物體作一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間，單位s頻率

v單位時(shí)間內(nèi)所作完全振動(dòng)的次數(shù)，單位Hz角(圓)頻率ω秒內(nèi)物體作全振動(dòng)的次數(shù)kmxOAA單位rad/s或s-1物體離開(kāi)平衡位置的最大位移。12簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程可以表示為振動(dòng)周期和頻率可以表示為固有周期固有頻率與初始條件無(wú)關(guān)伽利略曾觀察的比薩教堂的吊燈13符合定義的幾種簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型豎直彈簧振子Ol0彈簧無(wú)形變位置平衡位置平衡時(shí)單擺l振動(dòng)方程14三.諧振動(dòng)的相位、初相和振幅的決定確定

t

時(shí)刻振動(dòng)物體位置和運(yùn)動(dòng)方向相位t=0時(shí)的相位初相

由初始條件確定A和設(shè)t=0時(shí)，由振幅15

由給出的兩個(gè)可能值

由的正負(fù)號(hào)，確定的值初相的決定或16例12-１彈簧振子從平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)，振幅為Ａ，經(jīng)過(guò)３／８Ｔ，其位移如何？＞０解:17四.用圖示法描述諧振動(dòng)1.用曲線tｘ(m)0.02ｔ(s)0118解：設(shè)運(yùn)動(dòng)方程：由圖：A=2mt=1：t(s)O2-2x(m)1例12-2：已知某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)曲線如圖，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫(xiě)出振動(dòng)表達(dá)式。

t=0：19

t=0時(shí)，與x軸夾角

t＞0時(shí)，以為角速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，與x軸夾角

參考圓旋轉(zhuǎn)矢量末端的投影點(diǎn)tt=0xOMMP2.旋轉(zhuǎn)矢量法(振幅矢量法)

參考圓:旋轉(zhuǎn)矢量矢端在一周期中劃過(guò)的軌跡。20

例12-3用旋轉(zhuǎn)矢量法求簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體在下列情況的初相.(1)起始時(shí),物體具有負(fù)最大位移.(2)t=0時(shí),物體在平衡位置且向負(fù)向運(yùn)動(dòng).(3)t=0時(shí),物體的位移為A/2且向正向運(yùn)動(dòng).解:(1)t=0時(shí)OX(2)t=0時(shí)XO(3)t=0時(shí)XO21模振幅A角速度角頻率旋轉(zhuǎn)周期振動(dòng)周期T=2/上的投影在oxAr上的投影端點(diǎn)速度在oxAr上的投影端點(diǎn)加速度在oxAr位移速度加速度x=Acos(t+)v=-

Asin(t+)a=-

2Acos(t+)旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧振動(dòng)符號(hào)或表達(dá)式初相t=0時(shí)，與ox夾角相位t+t時(shí)刻，與ox夾角旋轉(zhuǎn)矢量

與諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系22例12-4設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Ox軸上作諧振動(dòng)，振幅為A。若某時(shí)刻t測(cè)得質(zhì)點(diǎn)的位移，向Ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位。作旋轉(zhuǎn)矢量圖，t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位

解1旋轉(zhuǎn)矢量法AxO

解2解析法x=v<02324o例12-5

解：作t=0時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量求：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=-12cm處所需最短時(shí)間。已知：

A=24cm,T=3s,t=0時(shí)作x=-12cm處的旋轉(zhuǎn)矢量12-1224諧振動(dòng)的基本問(wèn)題：證明物體做諧振動(dòng)（滿足三個(gè)定義之一）寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程（確定）

例12-6一輕彈簧振子水平放置，m=0.40kg，當(dāng)它受力為F=810-3kg時(shí)伸長(zhǎng)量為x=4.9cm。就下列情形分別求諧振動(dòng)方程（1）將物體從平衡位置向右移到x=0.10m處后釋放。（2）將物體從平衡位置向右移到x=0.10m處后并給物體以向左的速度0.20m/s釋放。Ox0

25Ox0

X

v0O

X解：小球受力為F=-kx：小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)

（1）26（2）應(yīng)取27例12-7例P2912-13k解:ABAA平衡時(shí):任意時(shí):滿足作諧振動(dòng)的定義式,故物體作諧振動(dòng)。28kABAA29

§15-2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒水平放置的彈簧振子{以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)30E-t

曲線E-x曲線31注意：只要以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)點(diǎn)準(zhǔn)彈性勢(shì)能:（包括重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能）振動(dòng)系統(tǒng)總能量32例12-8:諧振動(dòng)物體m=0.02kg,當(dāng)其經(jīng)平衡位置時(shí),v=0.6m/s,問(wèn)其位移為A/2時(shí),解:33

例12-9

彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k,一端固定,另一端連一質(zhì)量為M的物體,其振幅為A.在下列兩種情況下,一塊質(zhì)量為m的粘土從h高處自由落下,正好落在M上,問(wèn)(1)振動(dòng)周期有何變化?(2)系統(tǒng)的能量有何變化?情況之一:粘土是在M通過(guò)平衡位置時(shí)落至M;之二,粘土是在M位于最大位移處落至M.

解:振動(dòng)系統(tǒng)為彈簧+(M+m)振動(dòng)周期取決于系統(tǒng),故在兩種情形(M+m)系統(tǒng)振動(dòng)周期都相同.

因能量與振幅的平方成正比,所以核心是根據(jù)初始條件定出A.

h34m粘上M之前:水平速度m為0,M為m粘上M之后:(M+m)水平速度為v.t=0時(shí)情形一:略去摩擦,M+m系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒之一:m是在M通過(guò)平衡位置時(shí)落至M35情形二:略去摩擦,M+m系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒m粘上M之前:水平速度m為0,M為0.之二:m是在M位于最大位移處落至M.m粘上M之后:(M+m)水平速度為v.t=0時(shí)有36mk1k2m例:彈簧的串并聯(lián)彈簧的串并聯(lián)與電阻串并聯(lián)相反截取一截彈簧,其中一斷K>K原長(zhǎng)37一.阻尼振動(dòng)能量衰減,不等幅的振動(dòng)§12-3阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振例:擺動(dòng)的秋千、單擺xtOT阻尼振動(dòng)的周期諧振動(dòng)：理想的等幅能量不衰減速的振動(dòng)。38使振動(dòng)能量減少的原因：1（振動(dòng)系統(tǒng)所受）摩擦阻力的作用2一部分能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰浚ㄓ捎谡駝?dòng)系統(tǒng)在彈性媒質(zhì)中引起波動(dòng)）向四周輻射二.受迫振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng)無(wú)周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng)----自由振動(dòng)例：音叉敲擊之后，音叉發(fā)生振動(dòng)----自由振動(dòng)電磁鐵使音叉振動(dòng)----受迫振動(dòng)（電磁周期性變化供給音叉周期性外力）39三、共振周期性外力頻率振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率受迫振動(dòng)振幅共振40長(zhǎng)850米、寬12米的美國(guó)華盛頓州TacomaNarrows橋，于1940年，在通車(chē)幾個(gè)月后，由凌晨的風(fēng)引起大幅擺動(dòng)因共振而垮塌41O

x2

x1

x

xM振幅初位相一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)位移一、兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成§12-4一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍現(xiàn)象421.相位相同

2.相位相反3.一般情況下相位差的影響43

合振動(dòng)的強(qiáng)弱與兩分振動(dòng)相位差的關(guān)系討論xOxO44例題12-10物體同時(shí)參與N個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)，其振幅都等于a，每相鄰二振動(dòng)的相位差都等于成等差級(jí)數(shù)。求合振動(dòng)振幅。解設(shè)N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為NOMPQ旋轉(zhuǎn)矢量表示可以證明內(nèi)接于同一圓弧。45合振動(dòng)的振幅COMNPQN個(gè)等腰三角形全等，每個(gè)三角形底角均=每個(gè)三角形頂角均=其中46解：作平行四邊形如圖o練習(xí)：已知:求：47二、兩個(gè)同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍現(xiàn)象兩個(gè)同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可表示為合振動(dòng)的位移為若|w1

-

w2|<<w1+w2

合振動(dòng)可看作角頻率為振幅為48合成后振幅時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象，稱為拍

拍頻w拍=|w2

–

w1|拍的周期雙簧管的兩個(gè)簧片的頻率相差無(wú)幾，能產(chǎn)生悅耳的拍音哨片雙簧管49一、兩個(gè)互相垂直的、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)互相垂直、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可表示為合振動(dòng)的軌道方程為一橢圓*§12-5兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成50軌道是過(guò)原點(diǎn)斜率為的直線1.兩振動(dòng)相位差時(shí)，軌道方程為質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅為xyOxy512.兩振動(dòng)相位差時(shí)，軌道方程質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅為xOy軌道是過(guò)原點(diǎn)斜率為的直線523.兩振動(dòng)相位差時(shí)，軌道方程

其軌道是一以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點(diǎn)在橢圓上沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)xOy534.兩振動(dòng)相位差時(shí)，軌道方程其軌道是一以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點(diǎn)在橢圓上沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)xOy54二、兩個(gè)互相垂直的、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成李薩如圖形55稱為電磁振蕩最簡(jiǎn)單的振蕩電路——LC振蕩電路電容器開(kāi)始放電前一瞬間I=0Wm=

0CL++++++-

-

-

-

-

-q0一、LC振蕩電路振蕩過(guò)程§12-6振蕩電路電磁振蕩

電路中電壓和電流（或電荷）的周期性變化產(chǎn)生電磁振蕩的電路稱為振蕩電路56LC電路的充、放電過(guò)程q0++++-

-

-

--

-

-

-++++I0I0q0++-

-Iq++-

-Iq++-

-IqI++-

-q57當(dāng)電容器極板上帶電量為q，電路中電流為I時(shí)線圈的自感電動(dòng)勢(shì)為不計(jì)電路中內(nèi)阻時(shí)，有二、LC振蕩電路振蕩過(guò)程的