第三講矩陣的初等變換及其性質(zhì)

第三講矩陣的初等變換一初等變換的概念三初等行變換法求逆矩陣矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算它在解線性方程組、求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸计鹬匾淖饔枚醯染仃嚰捌湫再|(zhì)本講主要討論三個(gè)問(wèn)題1方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系

在解線性方程組的過(guò)程中我們可以把一個(gè)方程變?yōu)榱硪粋€(gè)同解的方程這種變換過(guò)程稱為同解變換

一初等變換的概念同解變換有(1)交換兩個(gè)方程的位置

(2)把某個(gè)方程乘以一個(gè)非零數(shù)(3)某個(gè)方程的非零倍加到另一個(gè)方程上①②①②交換(Ab)

的第1行與第2行增廣矩陣的比較例1(Ab)=2-1-11211-2144-62-2436-9792-1-11211-2144-62-2436-979③2③2(Ab)第3行乘以1/2例1增廣矩陣的比較(Ab)=2-1-11211-2144-62-2436-9792-1-11211-2142-31-1236-979①2②①2②(Ab)第2行乘以(2)加到第1行例如增廣矩陣的比較(Ab)=2-1-11211-2144-62-2436-9790-33-1-611-2142-31-1236-9792初等變換定義初等行變換(1)交換矩陣的兩行rirjrow(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行ri×k(3)把矩陣的某一行的k倍加到另一行上ri+krj初等列變換(1)交換矩陣的兩列cicjcolumn(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一列ci×k(3)把矩陣的某一列的k倍加到另一列上ci+kcj初等變換初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11例1r1×2———-9378-111-213210-2-2———r1-r3×2-9378-111-213014-4-8初等陣有三種：二、初等矩陣對(duì)單位矩陣I施以一次初等變換得到的矩陣第j行乘k加到第i行=第i列乘k加到第j列I(i,j)I(i(k))I(i,j(k))第i行與第j行交換=第i列與第j列交換第i行乘k=第i列乘k=I(2,4)

例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：1000010000100001I=0001100000100100r2r4———=I(2,4)

1000010000100001I=0001100000100100c2c4———=I(3(4))

1000010000100001I=0040100001000001r34———=I(3(4))

1000010000100001I=0040100010000001c34———=I(2,4(k))

1000010000100001I=010k100000100001r2+kr4———=I(2,4(k))1000010000100001I=1000100010000k01c4+kc2———第4行乘k加到第2行=第2列乘k加到第4列

定理設(shè)A是一個(gè)mn矩陣三初等矩陣的性質(zhì)(1)對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣即

定理1設(shè)A是一個(gè)mn矩陣三初等矩陣的性質(zhì)相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣(2)對(duì)A施行一次初等列變換即第j列乘k加到第i列=第i行乘k加到第j行0-110101000011-12例如，設(shè)3011-12011A=，有I(1,2)A=3011-12011010100001=011301AI(1,2)=3011-12011=121310第一行與第二行交換第一列與第二列交換310102010001323I(1,3(2))A=3011-12011102010001=0111-12AI(1,3(2))=3011-12011=7410-11例如，設(shè)3011-12011A=，有第三行乘2加到第一行第一列乘2加到第三列定理2初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣(3)I(i,j(k))-1=I(i,j(-k))(2)I(i(k))-1=I(i(k-1))(1)I(i,j)-1=I(i,j)證明(1)I(i,j)·I(i,j)=I(2)I(i(k-1))·I(i(k))=I

(3)I(i,j(-k))·I(i,j(k))=I舉例如下舉例如下舉例如下四求逆矩陣的初等行變換法

首元:每行第一個(gè)不為0的元素首元嚴(yán)格單調(diào)右移動(dòng)(即:不能停留亦不能回頭)1階梯形,行簡(jiǎn)化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形階梯形:（1）如果有0行,則0行在最下方(2）首元列標(biāo)隨行標(biāo)增加而嚴(yán)格增加行簡(jiǎn)化階梯形：滿足下列條件的階梯形

標(biāo)準(zhǔn)形：（2）首元所在列其余的元素全為0(1)首元為1

左上角為單位陣其余位置全為0例1階梯形,行簡(jiǎn)化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形513847200256875003452690000042800000000E=例1階梯形,行簡(jiǎn)化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形例2階梯形,行簡(jiǎn)化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形例3階梯形,標(biāo)準(zhǔn)階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形第一步(1)在第一列中選一個(gè)非0元作為首元（一般選較小接近1的數(shù)）并將此元素交換到a11位置(2)將首元變?yōu)?，此列其余元素全變?yōu)?第二步選定下一個(gè)首元，將首元變?yōu)?，此列其余元素全變?yōu)?將矩陣用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形的步驟:第三步重復(fù)第二步23454681000002A=23450000200000第一行乘-2加到第二行2345000000000223400000000001第二行與第三行交換位置第二行除以2第二行乘-5加到第一行例1用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形00311-12231-2-14-3A=00314231-2-14-321-12第一行與第二行交換位置003121-12005-3003-1第一行乘-2加到第三行第一行加到第四行例2用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形第一行除以2第二行除以3003121-12005-3003-10011/311/2-1/21005-3003-111/207/60011/3000-14/3000-2第二行乘1/2加到第一行第二行乘-5加到第三行第二行乘-3加到第四行11/207/60011/3000-14/3000-2第三行乘-3/14第三行乘-1/3加到第二行第三行乘-7/6加到第一行第三行乘2加到第四行11/200001000010000-4-3-5-3-164A=-4-3033021第二行乘4加到第一行第二行乘-2加到第三行011-4-3021第二行除以30110100-1第一行乘-2加到第二行第一行加到第三行01000001例3用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形-13-11-1-1423-2234A=例4用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形第一行乘-2加到第二行,第一行乘-3加到第三行1-13-1101-76001-761第二行乘加到第一行第二行乘-1加到第三行01-76010-4510000101-7600000110-45011111210-3601236-3543261A=例5用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形111110-1-2-3-6301236-30-1-2-31-40-1-2-5401236-300000000007-70-1-20101230300001-10000002求逆矩陣的初等行變換法

定理1任意一個(gè)矩陣Amn經(jīng)過(guò)若干次初等變換可以化為推論如果A為n階可逆矩陣，則A的標(biāo)準(zhǔn)型為D=I

nD=Or(n-r)O(m-r)(n-r)O(m-r)r

Ir證明：A經(jīng)過(guò)若干次初等變換,可化為標(biāo)準(zhǔn)型矩陣D所以存在可逆矩陣P與Q，使PAQ=D|P|·|A|·|Q|=|D|因?yàn)锳、P、Q都可逆,行列式都不等于零所以|D|0，從而D=I

n標(biāo)準(zhǔn)形即A可以表示為一些初等矩陣的乘積=Ps-1P1-1Qt-1

Q1-1A=Ps-1P1-1IQt-1

Q1-1P1PsAQ1

Qt=I定理2

n階矩陣A可逆A可以表示為一些初等矩陣的乘積證明充分性是顯然的，只需證必要性若A可逆，則經(jīng)若干次初等變換可化為I即存在初等陣P1，，Ps，Q1，，Qt，使求逆矩陣的初等行變換法如果A可逆，則A-1也可逆A-1=G1G2

GkA-1A=G1G2

Gk

AG1G2

Gk

A=IG1G2

Gk

I=A-1分析如下G1G2

Gk為初等陣對(duì)A施以若干初等行變換化為單位陣I對(duì)單位陣I

施以相同初等行變換化為A-1初等行變換(AI)(IA-1)特別提示:不能進(jìn)行列變換A=的逆矩陣?yán)?求矩陣12-301210-512-301210-5100010001解10110001-2-21002-2301—r2-2r1r3+3r110110001-2-2100027-21—r3-2r2100-2.51-0.50105-110027-21—r2+r3r1-0.5r3—100-2.51-0.50105-110013.5-10.5-2.553.51-1-1-0.510.5A-1=(AI)=r30.5練習(xí)：1求下列矩陣的逆2312134A=解2310012010134001(AI)=第一行乘-2加到第二行第一行乘-1加到第三行231000-3-4-210011-101231000-3-4-210011-101第二行與第三行交換位置231000-3-4-210011-10110130-200-1-513011-101第二行乘-2加到第一行第二行乘3加到第三行100-21100-1-513010-614第三行加到第一行第三行加到第二行100-2110015-1-3010-614A-1=-211-6145-1-3100-2110015-1-3010-614練習(xí)：2求矩陣的逆123A=221343001解(AI)=1231002210103430-2-6-3011231000-2-5-21000-1-1-1110-2-1100-2-5-21000-1-1-1110013-20-2036-500111-110013-2010-3/2-35/2練習(xí)：3求矩陣的逆-2-1605-6-11A=-6-11001解(AI)=-2-1610040501002-17-301-2-161000-217210000-111-2-161000-217210可知:A-1不存在用初等變換解矩陣方程(1)AX=B(A

B)初等行變換(I

A-1B)(2)XB=C初等列變換BC

I

CB-1(3)AXB=CCAXB例1解方程AX=B其中123A=25B=解AX=B2213433143(AB)=123252213134343123250-2-5-1-90-2-6-2-1210-21-40-2-5-1-900-1-1-3100320-204600-1-1-310032010-2-300113例2解方程AX=B其中101A=31B=解AX=B1-100121004(AB)=101311-101001204101310-1-1-2-1012041013101121001-231005-20104-2001-23例3解方程XA=A+2X其中423A=解

XA=A+2X110-123223A-2I=1-10-121A-2IA=2231-10-121423110-1233013032-1221221-141-111-11-112-1221221-141-1只能進(jìn)行列變換11-11-112-1221221-141-111-11-110-340300-1123-311-11-110-340300-1123-310032-2001-6-690-1123-310032-2001-6-690-1089-1210032-2001-6-69010-8-912A-1=，31-3-2-15/211-3/2132242331例4設(shè)A=，B=，C=5231132310求矩陣X使AXBC-532-1B-1=，解XA-1CB-1

=31-3-2-15/211-3/2132310-532-1-2-101014-4=注意矩陣次序例5解方程AX=B其中-12-353-44A=-1-235-4B=解AX=BA-1=-201-2-15-1-1所以-201-2-15-1-1-1-235-4=-2-92-4例6解矩陣方程X-XA=B其中0110-32-3A=-21-341B=解X-XA=BXE-XA=BX(E-A)=BE-A=00-1-2003-24所以-21-341=11-9-3/2-2(E-A)-1=0-1/20-2-3/4-1/2-1000-1/20-2-3/4-1/2-100練習(xí)1解矩陣方程AX=B其中1-12101-11A=-13432B=練習(xí)2解矩陣方程AXB=C其中01000001A=-101B=-110120C=五矩陣的秩1矩陣的秩定義設(shè)A是mn矩陣，從A中任取k行k列,交叉位置的元素構(gòu)成的k階行列式,稱為A的一個(gè)k階子式

k階子式：例1242110352231A=選定第1、3兩行及第2、4兩列1032得一個(gè)2階子式例2242110352231A=

選定第1、2、3行及第1、3、4列，得一個(gè)3階子式242231352矩陣的秩：設(shè)A為mn矩陣,A中值不為零的子式最高階數(shù)r即存在r階子式不為零，而任何r+1階子式皆為零則稱r為矩陣A的秩記為r(A)=rrank(1)當(dāng)A=O時(shí)，規(guī)定r(A)=0(3)滿秩矩陣:(2)顯然(II)0rmin(m,n)如果r(A)=min(m,n)(I)r(A)=r(AT)說(shuō)明定理2(1)r(AB)min(r(A),r(B))(2)B,C為可逆陣,則矩陣秩的性質(zhì)定理1n階方陣A可逆的充要條件是r(A)=n滿秩方陣r(A)=r(BA)r(A)=r(AC)矩陣×可逆陣,秩不變(3)如果A為矩陣,b為列向量,則

r(A)r(A

b)r(A)1矩陣增加一列,秩最多增加1定理3(1)max{r(A),r(B)}r(A,B)

r(A)+r(B)(2)r(A+B)

r(A)+r(B)(3)r(AB)min{r(A),r(B)}

矩陣和的秩矩陣積的秩所以r(A)=3100210010301例1已知A=r(B)=2r(C)=3C=100001110100210301=10因?yàn)锳,B,C均為滿秩陣B=100210同理

例1

1

4-1

2245001

15670

0052080000000A=因?yàn)?12011005=5所以r(A)=33矩陣秩的計(jì)算(1)階梯形矩陣的秩例2

3

442243009156900000000000000A=因?yàn)?09=27所以r(A)=2定理1階梯形矩陣的秩等于非0行數(shù)（首元個(gè)數(shù)）定理2矩陣經(jīng)初等變換后，其秩不變矩陣A秩的求法A階梯形矩陣初等變換此處是唯一既能行變換又能列變換的地方r(A)=非0行數(shù)

（首元個(gè)數(shù)）解：所以r(A)=3113102-141-1410005A=020-20-10104501001010-100000054100