2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)寧市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．定義．若向量，向量為單位向量，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，利用空間向量的數(shù)量積和模的公式求解.【詳解】解：由題意知．設(shè)與的夾角為，則．又，．,故選：B．2．在正方體中，有下列命題：①；②；③與的夾角為.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)向量加法的幾何意義可得，結(jié)合正方體性質(zhì)判斷；②由，應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)、判定可得即可判斷；③若分別是中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)及向量共線判斷與夾角大小即可.【詳解】①由，故，正確；②，而面，面，則，又，，面，故面，又面，故，則，正確；③若分別是中點(diǎn)，則且，故與的夾角即為與夾角，為，錯(cuò)誤.故選：C.3．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A． B．C． D．【答案】A【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問(wèn)題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，往往結(jié)合平面幾何知識(shí)（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過(guò)兩圓的圓心的直線方程）可減小運(yùn)算量.4．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，為橢圓上一點(diǎn)，.若的內(nèi)切圓面積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】計(jì)算得到，，化簡(jiǎn)得到，解得答案.【詳解】根據(jù)勾股定理得到：，即；的內(nèi)切圓面積為，故.根據(jù)等面積法得到：，故.故，即，解得或（舍去）.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.5．已知，是橢圓的左右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最近距離為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和橢圓的定義可得是的中位線，，可得Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以5為半徑的圓，由此可得選項(xiàng).【詳解】是焦點(diǎn)為、的橢圓上一點(diǎn)，的外角平分線，，設(shè)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，由題意知是的中位線，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以5為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)與軸重合時(shí)，與短軸端點(diǎn)取最近距離，故選：D．6．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，，，記的前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，可得，因此，，．進(jìn)而判斷出結(jié)論．【詳解】解：等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，，，若，則一定有，不符合由題意得，，，故A、B正確．，，，故C正確，，故D錯(cuò)誤，滿足的最大正整數(shù)的值為12．故選：．7．若數(shù)列滿足，，若對(duì)任意的正整數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】遞推關(guān)系變形可得，分析可知時(shí)不滿足題意，再驗(yàn)證時(shí)滿足題意，即可得解．【詳解】，，若，則，則，則，那么可以無(wú)限的大下去，不符合題意；若，則，則，數(shù)列單調(diào)遞增，又，故，又，故與同號(hào)，則，符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．8．若函數(shù)的極值點(diǎn)為1，則=（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】A【分析】求出，然后根據(jù)可解出答案.【詳解】因?yàn)?，函?shù)的極值點(diǎn)為1，所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及其應(yīng)用，較簡(jiǎn)單.二、多選題9．給出下列命題，其中是假命題的是（

）A．若A，B，C，D是空間中的任意四點(diǎn)，則有B．是，共線的充要條件C．若，共線，則D．對(duì)空間中的任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算、共線與共面的條件，即可判斷正誤.【詳解】解：由向量的加法運(yùn)算，顯然A是真命題；若，共線，則（同向）或（反向），故B是假命題；若，共線，則直線AB，CD平行或重合，故C是假命題；只有當(dāng)時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故D是假命題．故選：BCD．10．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為交準(zhǔn)線于點(diǎn)M(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．直線軸 D．的最小值是【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A設(shè)直線方程代入拋物線方程中化簡(jiǎn)寫(xiě)出韋達(dá)定理，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示運(yùn)算即可；選項(xiàng)C利用三點(diǎn)共線找出關(guān)系式來(lái)說(shuō)明即可；選項(xiàng)B利用數(shù)量積即可說(shuō)明；選項(xiàng)D設(shè)直線的傾斜角為，則表示出利用函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.【詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，代入，得，所以，則，所以，所以A不正確，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，又，所以所以直線軸，所以C正確，由題意可得的坐標(biāo)分別為，所以，所以，所以B正確；設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)取等號(hào)，所以D正確，故選：BCD.11．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為【答案】ABD【分析】由已知數(shù)列遞推式可得，結(jié)合，得數(shù)列為以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，可得，結(jié)合求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】解：由，得，，即，又，數(shù)列為以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，則，可得，故正確；當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列的最大項(xiàng)為，故錯(cuò)誤，正確．故選：．12．若直線是函數(shù)圖像的一條切線，則函數(shù)可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求得已知直線的斜率，對(duì)選項(xiàng)中的函數(shù)分別求導(dǎo)，可令導(dǎo)數(shù)為，解方程即可判斷結(jié)論【詳解】解：直線的斜率為，由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率小于0，故A不正確；由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故B正確；由的導(dǎo)數(shù)為，而有解，故C正確；由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題三、填空題13．如圖，在和中，是的中點(diǎn)，，，，若，則與的夾角的余弦值等于__________．【答案】【分析】由題意可得，由此求得，由以及兩個(gè)向量的加減法的法則及其幾何意義可求得，由數(shù)量積的定義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，∴.由，可得.∴，即，∴，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義、以及運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．14．直線恒過(guò)定點(diǎn)_____．【答案】【分析】直線方程即a（x+2）+（﹣x﹣y+1）=0，一定經(jīng)過(guò)x+2=0和﹣x﹣y+1=0的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組可求定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】直線（a﹣1）x﹣y+2a+1=0即a（x+2）+（﹣x﹣y+1）=0，根據(jù)a的任意性可得，解得x=﹣2，y=3，∴當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，3）．故答案為（﹣2，3）．【點(diǎn)睛】本題考查經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程形式，直線k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0表示過(guò)ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交點(diǎn)的一組相交直線，但不包括ax+by+c=0這一條．15．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).【詳解】由已知可得，又為上一點(diǎn)且在第一象限,為等腰三角形，．∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．16．若函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】求得，由題意可得在恒成立，討論的范圍，分，，，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最值，進(jìn)而得到的范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，則當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得極大值，即當(dāng)時(shí)的最大值；由，可得在恒成立，即為，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，有，可得，設(shè)，，，由時(shí)，，則，在遞減，且，可得；當(dāng)時(shí)，有，可得，設(shè)，，，由時(shí)，，在遞減，由時(shí)，，在，遞增，即有在處取得極小值，且為最小值，可得，綜上可得．故答案為：四、解答題17．如圖，和都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且它們所在平面互相垂直．平面，且．(1)設(shè)P是的中點(diǎn)，證明：AP平面．(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)取的中點(diǎn)O，先求出長(zhǎng)度，再結(jié)合等腰三角形三線合一得出，則有,則得出結(jié)論；(2)在點(diǎn)O建立空間坐標(biāo)系，分別計(jì)算兩個(gè)半平面的法向量，并計(jì)算法向量的余弦值，再求解二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接．是正三角形，．∵平面平面，平面平面，平面ABC平面．平面，．在中，，．又，為等腰三角形．是的中點(diǎn)，．平面，．平面平面，平面．（2）由（1）知，，∴四邊形為平行四邊形，，．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則,，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．．設(shè)二面角的平面角為，∴二面角的正弦值為．18．在中，,點(diǎn)在直線上，若的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】或.【詳解】試題分析：求出的距離，利用三角形的面積求出到的距離，求出的方程，設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出的坐標(biāo).試題解析：設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由題意知，，，，直線的方程為，即，在點(diǎn)直線上，設(shè)，，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【解析】直線的方程、三角形面積公式及點(diǎn)到直線的距離公式.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用，及確定數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式；（2）用分組求和法求和．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，由，①得，②①-②，得，又，∴，∴，∴是等比數(shù)列，∴（2）由，則，則．【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分組（并項(xiàng)）求和法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：（1）公式法：（2）錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組（并項(xiàng)）求和法；（5）倒序相加法．20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)記，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求，并求使不等式成立的最大正整數(shù)n．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析，；(2)；n為5．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由，得，即，．即，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，；（2）由（1）知．，①，②①-②，得，，，因?yàn)樗?，所以是遞增數(shù)列，，使不等式成立的最大正整數(shù)n為5．21．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的右頂點(diǎn)，，P是橢圓C上一點(diǎn)，M，N分別為線段的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若不過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，且，判斷直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)直線l過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）由三角形的中位線性質(zhì)可得四邊形OMPN的周長(zhǎng)即為2a，橢圓的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為a－c，聯(lián)立即可得橢圓方程；（2）分類(lèi)討論斜率存在與斜率不存在，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理可得，再由可得k與m的關(guān)系式，將其代入直線方程可得定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）M，N分別為線段的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為，，，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，代入，整理得，則，．易知，，化簡(jiǎn)得，或(舍去)，直線l的方程為，即，直線l過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，代入，解得，由得，，解得或(舍去)，此時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)．綜上，直線l過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】求解直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路(1)把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)．(2)由直線方程確定其過(guò)定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0，m)．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，對(duì)a分類(lèi)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，故，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）令，當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，因