微專題二　中點(diǎn)模型

第四章三角形微專題二中點(diǎn)模型常見的中點(diǎn)模型1.已知三角形兩邊或三邊上的中點(diǎn)→構(gòu)造中位線→相似三角形；2.已知直角三角形斜邊中點(diǎn)→構(gòu)造斜邊中線→等腰三角形；3.已知等腰三角形、等邊三角形底邊上的中點(diǎn)→三線合一→全等三角形；4.已知任意三角形一邊上的中點(diǎn)→倍長(zhǎng)中線、類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）→全等三角形（八字全等）.需要注意一些隱形的中點(diǎn)，如中心對(duì)稱圖形對(duì)稱點(diǎn)連線的交點(diǎn)、圓中圓心是直徑的中點(diǎn)等，出現(xiàn)中點(diǎn)的圖形可以考慮用中點(diǎn)模型結(jié)合相關(guān)性質(zhì)解決問題.

類型作法圖示結(jié)論構(gòu)造中位線在三角形中，當(dāng)出現(xiàn)一邊中點(diǎn)時(shí)，取另一邊中點(diǎn)，構(gòu)造中位線.如圖，D是AB的中點(diǎn)，則取AC的中點(diǎn)E，連接DE類型作法圖示結(jié)論構(gòu)造中位線在三角形中，當(dāng)出現(xiàn)兩個(gè)中點(diǎn)，連接中點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形.如圖，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則連接DE類型作法圖示結(jié)論構(gòu)造中位線在三角形中，當(dāng)出現(xiàn)三個(gè)中點(diǎn)時(shí)，連接各中點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形，同時(shí)也構(gòu)造了相似比為1∶2的相似三角形.如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊上的中點(diǎn)，則連接DE，EF，DF類型作法圖示結(jié)論等腰三角形“三線合一”在等腰三角形中，若出現(xiàn)底邊的中點(diǎn)，可以考慮與頂角頂點(diǎn)相連用“三線合一”.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，則連接AD①BD＝CD；

②∠BAD＝∠CAD；③△ABD≌△ACD

類型作法圖示結(jié)論直角三角形斜邊上的中線在直角三角形中，若出現(xiàn)斜邊上的中點(diǎn)，則連接直角頂點(diǎn)與中點(diǎn)，構(gòu)造斜邊上的中線；過中點(diǎn)作一條邊的平行線可構(gòu)造中位線.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中點(diǎn)，則連接CD；過D點(diǎn)作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則DE是△ABC的中位線類型作法圖示結(jié)論倍長(zhǎng)中線如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，則延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得ED＝AD，連接CE

倍長(zhǎng)類中線如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，則作法一：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使得DF＝DE，連接CF；作法二：過點(diǎn)C作CF∥AB，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F△BDE≌△CDF類型作法圖示結(jié)論

?類型1：構(gòu)造中位線、倍長(zhǎng)中線

思路點(diǎn)撥方法一（構(gòu)造中位線法）：如圖1，取AB的中點(diǎn)F，連接FM，F(xiàn)N.圖1方法二（倍長(zhǎng)中線法）：如圖2，連接AM并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使得MP＝AM，連接BP，PD.

↓易得△AME≌△PMB

↓BP＝AE＝2，∠ABP＝120°

↓BD＝2BP，∠PBD＝60°

↓

↓

圖2?類型2：等腰三角形“三線合一”

↓AM⊥BC↓

↓

思路點(diǎn)撥連接AM，由題意得?類型3：直角三角形斜邊上的中線【例3】如圖，在△ABC中，BE，CF分別為邊AC，AB上的高，D為BC的中點(diǎn)，DM⊥EF于點(diǎn)M.若BC＝10，DM＝3，則EF的長(zhǎng)為

8

?.

8

BE⊥AC，CF⊥AB，D為BC的中點(diǎn)連接DF，DE↓

↓△DEF是等腰三角形DM⊥EF↓FM＝EM↓在Rt△FDM中，由勾股定理得FM＝4

思路點(diǎn)撥↓EF＝2FM＝8

?類型1：構(gòu)造中位線1.如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AC上的點(diǎn)，CE＝AB，AF＝EF，DF的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.求證：AG＝AF.

?類型2：倍長(zhǎng)中線

?類型3：等腰三角形“三線合一”3.如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，EC平分∠DEB，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接AF，BF.求證：AF⊥BF.

∴∠AFB＝∠DFC＝90°，∴AF⊥BF.?類型4：直角三角形斜邊上的中線4.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DF⊥CE于點(diǎn)F，CD＝AE.若BD＝6，CD＝5，則△DCF的面積是（

C

）

A.10C.5C5.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AB的中點(diǎn).（1）如圖1，E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)，且AE＝CF，請(qǐng)判斷△DEF的形狀，并寫出證明過程.圖1解：（1）△DEF是等腰直角三角形.證明如下：

如圖1，連接CD.

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.

解：（1）△DEF是等腰直角三角形.證明如下：如圖1，連接CD.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.∵AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∠FCD＝∠ACD＝45°，∴∠A＝∠ACD＝∠FCD，AD＝CD.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDF＋∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°.∴△DEF是等腰直角三角形.圖1（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CA，BC的延長(zhǎng)線上，AE＝CF，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，寫出完整的證明過程；若不成立，請(qǐng)說出理由.圖2解：（2）（1）中的結(jié)論仍然成立.理由如下：如圖2，連接CD.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，∴∠CAD＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝CD，∴∠DAE＝180°－∠CAD＝135°，∠DCF＝90°＋∠ACD＝135°，