廣東省惠州市市第一中學高二數(shù)學理期末試題含解析

廣東省惠州市市第一中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)是

（）．周期為的奇函數(shù).周期為的偶函數(shù).周期為的奇函數(shù)

.周期為的偶函數(shù)參考答案：C2.如圖，圓C內(nèi)切于扇形AOB，，若在扇形AOB內(nèi)任取一點，則該點不在圓C內(nèi)的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C設(shè)圓半徑為，因為扇形面積為，所以該點不在圓內(nèi)的概率為，選C.

3.若a、b、c，則下列不等式成立的是 A． B． C． D．參考答案：C4.若命題，則是A．

B．C．

D．參考答案：A5.下表是離散型隨機變量X的分布列，則常數(shù)a的值是（

）X3459PA. B. C. D.參考答案：C【分析】由隨機變量分布列中概率之和為1列出方程即可求出a.【詳解】，解得.故選：C6.的值為

A．

B．

C．

D．參考答案：D7.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3=7a1，則數(shù)列{an}的公比q的值為（）A．2 B．3 C．2或﹣3 D．2或3參考答案：C【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式表示出S3等于前三項相加，讓其值等于7a1，根據(jù)a1不等于0，消去a1得到關(guān)于q的方程，求出方程的解即可得到q的值．【解答】解：由S3=7a1，則a1+a2+a3=7a1，即a1+a1q+a1q2=7a1，由a1≠0，化簡得：1+q+q2=7，即q2+q﹣6=0，因式分解得：（q﹣2）（q+3）=0，解得q=2或q=﹣3，則數(shù)列{an}的公比q的值為2或﹣3．故選C8.若球的半徑為，則這個球的內(nèi)接正方體的全面積等于（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A9.6本相同的數(shù)學書和3本相同的語文書分給9個人，每人1本，共有不同分法（）A. B.C. D.參考答案：A先分語文書有種，再分數(shù)學書有，故共有=，故選A.10.若復數(shù)（1+a?i）2（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)a=（）A．±1 B．﹣1 C．0 D．1參考答案：A【考點】復數(shù)的基本概念．【分析】利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)化簡復數(shù)（1+a?i）2，依據(jù)純虛數(shù)的定義求出答案．【解答】解：∵復數(shù)（1+a?i）2（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，（1+a?i）2=1﹣a2+2ai，∴1﹣a2=0，a=±1，故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)滿足不等式組那么目標函數(shù)的最大值是

.參考答案：412.將4名大學生分配到A、B、C三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少分配一名，則大學生甲分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)A的概率為

（用數(shù)字作答）．參考答案：13.一個幾何體由八個面圍成，每個面都是正三角形，有四個頂點在同一平面內(nèi)且為正方形，若該八面體的棱長為2，所有頂點都在球O上，則球O的表面積為_______．參考答案：8π【分析】根據(jù)該八面體的棱長為2，所有頂點都在球上可確定球的半徑，即可求出球的表面積?！驹斀狻扛鶕?jù)題意該八面體的棱長為，所有頂點都在球上所以球的半徑為幾何體高的一半，即半徑所以表面積【點睛】本題考查球體的表面積公式，解題的關(guān)鍵是求出半徑，屬于簡單題。14.已知為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則與的大小關(guān)系是______．參考答案：【分析】由題意利用銳角三角形的性質(zhì)、誘導公式和三角函數(shù)的單調(diào)性比較與的大小關(guān)系即可.【詳解】因為是銳角三角形的兩個內(nèi)角，故，，，，所以.即.【點睛】本題主要考查誘導公式的應用，銳角三角形的性質(zhì)等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15.若數(shù)列{an}是首項為，公比為a﹣的無窮等比數(shù)列，且{an}各項的和為a，則a的值為

．參考答案：1【考點】等比數(shù)列的通項公式．【分析】由題意可得：=a，化為：2a2﹣3a+1=0，解得a并驗證即可得出．【解答】解：由題意可得：=a，化為：2a2﹣3a+1=0，解得a=1或，a=時，公比為0，舍去．∴a=1．故答案為：1．16.已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且對任意都有成立，則不等式的解集是______.參考答案：【分析】令，可證為偶函數(shù)且為上的增函數(shù)，考慮當時，的解及當時，的解，它們的并是所求不等式的解集.【詳解】等價于，令，則，當時，有，故為上的增函數(shù)，而，故當時，的解為，故當時，的解為，因，故為偶函數(shù)，當時，等價于，因為偶函數(shù)，故當時，的解為即當時，的解為，綜上，的解集是，填.【點睛】如果題設(shè)中有關(guān)于函數(shù)及其導數(shù)的不等式，我們應具體該式的形式構(gòu)建新函數(shù)并且新函數(shù)的單調(diào)性可根據(jù)題設(shè)中的不等式得到，構(gòu)建新函數(shù)時可借鑒導數(shù)的運算規(guī)則.17.四個人進3個不同的房間，其中每個房間都不能空閑，則這四個人不同的住法種數(shù)是_______。參考答案：36三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分10分)已知函數(shù)（1）當?shù)闹涤?；?）設(shè)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：19.（理）m個元素環(huán)繞在一條封閉曲線上的排列，稱為環(huán)狀排列.已知m個不同元素的環(huán)狀排列的所有種數(shù)為.請利用此結(jié)論來解決下列問題，要求列式并給出計算結(jié)果.（1）從10個不同的元素中選出8個元素的環(huán)狀排列的所有種數(shù)為多少？（2）某班8個班干部中有1個班長，2個副班長，現(xiàn)在8個干部圍坐一張圓桌討論班級事務(wù)，則分別滿足下列條件的此8人的坐法有多少種？（i）班長坐在兩個副班長中間；（ii）兩個副班長不能相鄰而坐；（iii）班長有自己的固定座位.參考答案：解：（1）----------------------3分（2-i）

----------------------6分（2-ii）間接法：；插空法：----------------------10分(2-iii)

----------------------14分20.高二數(shù)學ICTS競賽初賽考試后，某校對95分以上的成績進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；（2）從所有95分以上的考生成績中，又放回的抽取4次，記這4次成績位于（95，105]之間的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．（以直方圖中的頻率作為概率）（分布列結(jié)果不用化簡）參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由頻率分布直方圖，能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，X～B（4，），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：M=100×0.1+110×0.25+120×0.45+130×0.15+140×0.05=118，…（2）X的可能取值為0，1，2，3，4．…某個考生成績位于（95，105]的概率=0.01×10=…因此X～B（4，），…∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列為：X01234PEX=4×=．…【點評】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．21.（本小題滿分12分）如圖，F(xiàn)是橢圓(a>b>0)的一個焦點，A,B

是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l1：相切．（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）過點A的直線l2與圓M交于PQ兩點，且

，求直線l2的方程． 參考答案：(1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0)且圓M的方程為(x-c)2+y2=4c2，圓M與直線l1：x+u+3=0相切，∴，解得c=1，22.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H為BC的中點，（1）求證：AC⊥平面EDB；（2）求四面體B﹣DEF的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）記AC與BD的交點為G，連接EG，GH，由已知可得AB⊥BC，且EF⊥BC，而EF⊥FB，由線面垂直的判定可得EF⊥平面BFC，進一步得到EF⊥FH．則AB⊥FH，再由已知可得FH⊥BC．則FH⊥平面ABCD，得到AC⊥EG．結(jié)合AC⊥BD，可得AC⊥平面EDB；（2）由EF⊥FB，∠BFC=90°，可得BF⊥平面CDEF，求出BF=FC=．代入三棱錐體積公式可得求四面體B﹣DEF的體積．【解答】（1）證明：記AC與BD的交點為G，連接EG，GH，由四邊形ABCD是正