廣東省廣州市第八十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省廣州市第八十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓C1：f（x，y）=0，圓C2：g（x，y）=0，若存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2）滿足f（x1，y1）＜0，f（x2，y2）＞0，g（x1，y1）＜0，g（x2，y2）＜0，則C1與C2的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相離C．相交或C1在C2內(nèi) D．相交或C2在C1內(nèi)參考答案：C2.命題，則是

（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略3.將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）A．10種B．20種C．36種D．52種參考答案：A略4.橢圓的焦點坐標是A．

B．

C．

D．

參考答案：A略5.中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才藝：禮、樂、射、御、書、數(shù)，簡稱“六藝”,某高中學(xué)校為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化，分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識競賽，現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐,規(guī)定：每場知識競賽前三名的得分都分別為且；選手最后得分為各場得分之和，在六場比賽后，已知甲最后得分為26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一場比賽中獲得第一名，下列說法正確的是(

)A.乙有四場比賽獲得第三名B.每場比賽第一名得分a為4C.甲可能有一場比賽獲得第二名D.丙可能有一場比賽獲得第一名參考答案：A【分析】先計算總分，推斷出，再根據(jù)正整數(shù)把計算出來，最后推斷出每個人的得分情況，得到答案.【詳解】由題可知,且都是正整數(shù)當(dāng)時，甲最多可以得到24分，不符合題意當(dāng)時，，不滿足推斷出，最后得出結(jié)論:甲5個項目得第一,1個項目得第三乙1個項目得第一,1個項目得第二，4個項目得第三丙5個項目得第二,1個項目得第三,所以A選項是正確的.【點睛】本題考查了邏輯推理,通過大小關(guān)系首先確定的值是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的邏輯推斷能力.6.為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為（）A．50 B．40 C．25 D．20參考答案：C【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵從1000名學(xué)生中抽取40個樣本，∴樣本數(shù)據(jù)間隔為1000÷40=25．故選：C．【點評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．7.設(shè)是正數(shù)，且a+b=4，則下列各式中正確的一個是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.已知函數(shù)，則的值為

（

）A．1

B．2

C．4

D．5參考答案：C略9.對于任意的，不等式恒成立．則實數(shù)的取值范圍是（）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.命題“若x=2，則x2﹣3x+2=0”的逆否命題是（）A．若x≠2，則x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，則x=2C．若x2﹣3x+2≠0，則x≠2 D．若x≠2，則x2﹣3x+2=0參考答案：C【考點】四種命題間的逆否關(guān)系．【分析】根據(jù)命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”，寫出它的逆否命題即可．【解答】解：命題“若x=2，則x2﹣3x+2=0”的逆否命題是“若x2﹣3x+2≠0，則x≠2”．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最大值為____．參考答案：1【分析】先寫出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性即可得函數(shù)最值.【詳解】函數(shù)f(x)的定義域為，對函數(shù)求導(dǎo)得，=0，x=1,當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)x=1時函數(shù)f(x)取得最大值為f(1)=1,故答案為：1【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.12.三個平面最多把空間分割成

個部分。參考答案：813.經(jīng)過圓x2＋2x＋y2＝0的圓心C，且與直線x＋y＝0垂直的直線方程是__________參考答案：14.雙曲線的離心率=________；焦點到漸近線的距離=________.參考答案：

1【分析】由雙曲線得，再求出，根據(jù)公式進行計算就可得出題目所求?！驹斀狻坑呻p曲線得，，，一個焦點坐標為，離心率，又其中一條漸近線方程為：，即，焦點到漸近線的距離故答案為：

1【點睛】本題考查雙曲線的相關(guān)性質(zhì)的計算，是基礎(chǔ)題。

15.甲、乙兩人獨立的解決一個問題，甲能解決這個問題的概率為0.6，乙能解決這個問題的概率為0.7，那么甲乙兩人中至少有一人解決這個問題的概率是

.參考答案：0.8816.函數(shù)y=lg（12+x﹣x2）的定義域是．參考答案：{x|﹣3＜x＜4}【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】令12+x﹣x2＞0，解不等式即可．【解答】解：由12+x﹣x2＞0，即x2﹣x﹣12＜0解得﹣3＜x＜4．所以函數(shù)的定義域為{x|﹣3＜x＜4}．故答案為：{x|﹣3＜x＜4}．17.不等式|x﹣1|≥5的解集是．參考答案：{x|x≥6或x≤﹣4}【考點】絕對值不等式的解法．【分析】問題轉(zhuǎn)化為x﹣1≥5或x﹣1≤﹣5，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|x﹣1|≥5，∴x﹣1≥5或x﹣1≤﹣5，解得：x≥6或x≤﹣4，故答案為：{x|x≥6或x≤﹣4}．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知（a＞0），定義.（1）求函數(shù)的極值（2）若，且存在使，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，試討論函數(shù)（x＞0）的零點個數(shù).參考答案：解：（1）∵函數(shù)，∴令，得或，∵，∴，列表如下：0+0－0+極大值極小值∴的極大值為，極小值為.（2），∵存在使，∴在上有解，即在上有解，即不等式在上有解，設(shè)（），∵對恒成立，∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，的最大值為.∴，即.（3）由（1）知，在(0,+∞)上的最小值為，①當(dāng)，即時，在(0,+∞)上恒成立，∴在(0,+∞)上無零點.②當(dāng)，即時，，又，∴在(0,+∞)上有一個零點.③當(dāng)，即時，設(shè)（），∵，∴在(0,1)上單調(diào)遞減，又，，∴存在唯一的，使得.Ⅰ.當(dāng)時，∵，∴且為減函數(shù)，又，，∴在上有一個零點；Ⅱ.當(dāng)時∵，∴且為增函數(shù).∵，∴在上有一個零點；從而在(0,+∞)上有兩個零點.綜上所述，當(dāng)時，有兩個零點；當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，有無零點.

19.已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）+g（x）有兩個不同的極值點x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，再分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（Ⅱ）函數(shù)由兩個不同的極值點轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)等于0的方程有兩個不同的實數(shù)根，進而轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題，由此可得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，∴∴①0＜t＜，時，函數(shù)f（x）在（t，）上單調(diào)遞減，在（，t+2）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值為f（）=﹣，②當(dāng)t≥時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（Ⅱ）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，則y′=lnx﹣2x+1+a題意即為y′=lnx﹣2x+1+a=0有兩個不同的實根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有兩個不同的實根x1，x2（x1＜x2），等價于直線y=a與函數(shù)G（x）=﹣lnx+2x﹣1的圖象有兩個不同的交點∵G′（x）=﹣+2，∴G（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖象的大致形狀（如右圖），由圖象知，當(dāng)a＞G（x）min=G（））=ln2時，x1，x2存在，且x2﹣x1的值隨著a的增大而增大而當(dāng)x2﹣x1=ln2時，由題意，兩式相減可得ln=2（x1﹣x2）=﹣2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，此時a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，實數(shù)a的取值范圍為a＞ln2﹣ln（）﹣1；【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查的知識點比較多，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，綜合性強．20.已知數(shù)列{an}滿足a1=，﹣=0，n∈N*．（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）設(shè)bn=﹣1，數(shù)列{bn}的前n項之和為Sn，求證：Sn＜．參考答案：【考點】數(shù)列與不等式的綜合．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）把已知的數(shù)列遞推式變形，得到，然后代入即可得到答案；（2）由（1）中的等差數(shù)列求出數(shù)列{an}的通項公式，代入bn=﹣1并整理，然后利用裂項相消法求數(shù)列{bn}的前n項和后得答案．【解答】證明：（1）由﹣=0，得=，∴，即，∴．則=．∴數(shù)列{}是以﹣1為公差的等差數(shù)列；（2）由數(shù)列{}是以﹣1為公差的等差數(shù)列，且，∴，則．bn=﹣1=．Sn=b1+b2+…+bn===．【點評】本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．21.（本小題滿分14分）等比數(shù)列滿足的前n項和為,且(I)求;(II)數(shù)列的前n項和,是否存在正整數(shù)m,,使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.參考答案：解:(Ⅰ),所以公比

得

所以

略22.當(dāng)前《奔跑吧兄弟第三季》正在熱播，某校一興趣小組為研究收看《奔跑吧兄弟第三季》與年齡是否相關(guān)，在某市步行街隨機抽取了110名成人進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)45歲及以上的被調(diào)查對象中有10人收看，有25人未收看；45歲以下的被調(diào)查對象中有50人收看，有25人未收看．（1）試根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表，并說明是否有99.9%的把握認為收看《奔跑吧兄弟第三季》與年齡有關(guān)；

收看不收看總計45歲及以上

45歲及以下

總計

（2）采取分層抽樣的方法從45歲及以上的被調(diào)查對象中抽取了7人．從這7人中任意抽取2人，求至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》的概率．附參考公式與數(shù)據(jù)：．

0.0100.0050.0016.6357.87910.