廣東省云浮市素龍第一中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

廣東省云浮市素龍第一中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列不等關(guān)系中正確的是()

參考答案：D2.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：

，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，則的取值范圍為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=ex+x﹣2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g（x）=lnx+x﹣2的零點(diǎn)為b，則下列不等式中成立的是（）A．a(chǎn)＜1＜b B．a(chǎn)＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ex與y=2﹣x，y=lnx與y=2﹣x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行比較即可．【解答】解：由f（x）=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x，由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，作出計(jì)算y=ex，y=lnx，y=2﹣x的圖象如圖：∵函數(shù)f（x）=ex+x﹣2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g（x）=lnx+x﹣2的零點(diǎn)為b，∴y=ex與y=2﹣x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，y=lnx與y=2﹣x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為b，由圖象知a＜1＜b，故選：A．4.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在（﹣∞，0）上是增函數(shù)的是(

)A．y=x B．y=x C．y=x﹣2 D．y=x參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】依次對(duì)選項(xiàng)中的函數(shù)判斷其奇偶性與單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域及基本初等函數(shù)變形．【解答】解：y=x=是偶函數(shù)，在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減；故A錯(cuò)誤；y=x是奇函數(shù)，在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；故B錯(cuò)誤；y=x﹣2是偶函數(shù)，在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；故C正確；y=x的定義域?yàn)椋?，+∞），故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5.下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)相同（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A6.cos510°的值為(

)A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：C【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可．【解答】解：cos510°=cos（360°+150°）=cos150°=﹣cos30°=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，基本知識(shí)的考查．7.當(dāng)a＞1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax與y=logax的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【專題】作圖題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)底數(shù)與指數(shù)（對(duì)數(shù)）函數(shù)單調(diào)性即可判斷．【解答】解：a＞1時(shí)，函數(shù)y=ax與y=logax的均為增函數(shù)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握底數(shù)與指數(shù)（對(duì)數(shù)）函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．8.

若U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2}，N＝{2，3}，則Cu(MUN)＝

(

)

A．{4}

B．{2}

C．{1，3，4}

D．{1，2，3}參考答案：A9.當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.已知，則的大小關(guān)系為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，則通項(xiàng)公式為__________．參考答案：【分析】利用求解，但要注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立.【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，；又，【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題目，解題中需要注意利用公式求解出的通項(xiàng)公式需要驗(yàn)證n=1時(shí)，是否滿足題目條件.

12.直線2x﹣5y﹣10=0與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是．參考答案：5【分析】求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即可求解三角形的面積．【解答】解：直線2x﹣5y﹣10=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），（5，0），所以直線2x﹣5y﹣10=0與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是：=5．故答案為：5．13.已知，則以線段為直徑的圓的方程為

；參考答案：略14.若不等式恒成立，則的范圍__________．參考答案：見解析設(shè)．∴是關(guān)于遞增數(shù)列，∴，∴．15.已知log163=m，則用m表示log916=．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則、換底公式直接求解．【解答】解：∵log163=m，∴l(xiāng)og916===．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)求值，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則、換底公式的合理運(yùn)用．16.如圖是一正方體的表面展開圖.B、N、Q都是所在棱的中點(diǎn).則在原正方體中：①M(fèi)N與CD異面；②MN∥平面PQC；③平面MPQ⊥平面CQN；④EQ與平面AQB形成的線面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值為.其中真命題的序號(hào)是______.參考答案：①②④【分析】將正方體的表面展開圖還原成正方體，利用正方體中線線、線面以及面面關(guān)系，以及直線與平面所成角的定義和二面角的定義進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)條件將正方體進(jìn)行還原如下圖所示：對(duì)于命題①，由圖形可知，直線與異面，命題①正確；對(duì)于命題②，、分別為所在棱的中點(diǎn)，易證四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，命題②正確；對(duì)于命題③，在正方體中，平面，由于四邊形為平行四邊形，，平面.、平面，，.則二面角所成的角為，顯然不是直角，則平面與平面不垂直，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，易知平面，則與平面所成的角為，由勾股定理可得，，在中，，即直線與平面所成線面角的正弦值為，命題④正確；對(duì)于命題⑤，在正方體中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角為，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命題⑤錯(cuò)誤.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面關(guān)系的判斷以及線面角、二面角的計(jì)算，判斷時(shí)要從空間中有關(guān)線線、線面、面面關(guān)系的平行或垂直的判定或性質(zhì)定理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，在計(jì)算空間角時(shí)，則應(yīng)利用空間角的定義來求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.17.已知a+a﹣1=3，則a+a=．參考答案：【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用a+a=，即可得出．【解答】解：∵a＞0，∴a+a==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若x∈[﹣，]，求函數(shù)g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）首先，結(jié)合輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后，利用降冪公式進(jìn)行處理即可，然后，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期進(jìn)行求解；（2）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）的解析式，然后，結(jié)合所給角度的范圍，換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的區(qū)間最值問題進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．=[2sin（x+）]2﹣2=4sin2（x+）﹣2=2[1﹣cos（2x+）]﹣2=﹣2cos（2x+），∴f（x）=﹣2cos（2x+），可以令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，∴kπ﹣≤x≤+kπ，∵x∈[0，]，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[0，]．（2）g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1=×4cos2（2x+）+2cos[2（x+）+]﹣1=2cos2（2x+）+2cos（2x++）﹣1=2cos2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=2﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1∴g（x）=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1令sin（2x+）=t，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x≤，∴≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴t∈[﹣，1]，∴y=﹣2t2﹣2t+1，t∈[﹣，1]，=﹣2（t+）2+1+=﹣2（t+）2+，∴最大值為，最小值為﹣3．∴值域?yàn)閇﹣3，]．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角公式、輔助角公式、降冪公式、兩角和與差的三角公式等知識(shí)，屬于中檔題．19.已知函數(shù).（1）求證：f(x)是R上的奇函數(shù)；（2）求的值；（3）求證：f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增，在[1,+∞)上單調(diào)遞減；（4）求f(x)在[－1,+∞)上的最大值和最小值；（5）直接寫出一個(gè)正整數(shù)n，滿足．參考答案：（1）證明見解析；（2）0；（3）證明見解析；（4）最大值，最小值；（5）答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）利用奇偶性的定義證明即可；（2）代值計(jì)算即可得出的值；（3）任取，作差，通分、因式分解后分和兩種情況討論的符號(hào)，即可證明出結(jié)論；（4）利用（3）中的結(jié)論可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（5）可取滿足的任何一個(gè)整數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)可推導(dǎo)出成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，因此，函數(shù)是上的奇函數(shù)；（2）；（3）任取，.當(dāng)時(shí)，，，，則；當(dāng)時(shí)，，，，則.因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（4）由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即；當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，即.綜上所述，函數(shù)在上的最大值為，最小值為；（5）由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，滿足任何一個(gè)整數(shù)均滿足不等式.可取，滿足條件.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的證明、利用單調(diào)性求最值，同時(shí)也考查了函數(shù)值的計(jì)算以及函數(shù)不等式問題，考查分析問題和解決問題能力，屬于中等題.20.求值：（1）（2）sin45°cos15°﹣cos45°sin15°．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡(jiǎn)運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；（2）直接利用兩角差的正弦得答案．【解答】解：（1）==9﹣25+9+2=﹣5；（2）sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及化簡(jiǎn)運(yùn)算，考查了兩角和與差的正弦，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．21.設(shè)函數(shù)（且）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).（1）求k的值；（2）若，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)t的最小值.參考答案：解：（1）是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），故任取且，則由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，故函數(shù)是上的減函數(shù)，由函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，知，即在上恒成立則，即實(shí)數(shù)的最小值是2.22.已知函數(shù)f（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）若y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(，2)，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0，求x的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)，代入點(diǎn)