浙江概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章習題電子版本

1(1)5.在下列句子中隨機地取一單詞,以X表示取到的單詞所包含的字母(zìmǔ)個數(shù),寫出X的分布律并求E(X).“THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT”解共有8個單詞(dāncí),隨機取到每個單詞(dāncí)的概率都是1/8,

X

2349

pk

1/85/81/81/8設(shè)在某一規(guī)定的時間間隔里,某電氣設(shè)備用于最大負荷(fùhè)的時間X(以分計)是一個隨機變量,其概率密度為求E(X).解X的分布律為X的取值為2,3,4,9,第一頁，共21頁。6.7.設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)X的分布律為

X

-202

pk

0.40.30.3求E(X),E(X2),E(3X2+5).解或E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)X的概率密度為求(1)Y=2X;(2)Y=e-2X的數(shù)學(shùxué)期望.解第二頁，共21頁。8.設(shè)(X,Y)的分布(fēnbù)律為X

123Y

00.10.00.3

10.10.10.1

-10.20.10.0P{X=i}0.40.20.41.0P{Y=j}0.30.40.3(1)求E(X),E(Y);(2)設(shè)Z=Y/X,求E(Z);(3)設(shè)Z=(X-Y)2,求E(Z).解(1)先求出關(guān)于X,Y的邊緣(biānyuán)分布律如右故E(X)=10.4+20.2+30.4=2E(Y)=-10.3+00.4+10.3=0(2)先求出Z=Y/X的分布(fēnbù)律如下Zpk-10.2-1/20.1-1/30.000.41/30.11/20.110.1故(3)先求出Z=(X-Y)2的分布律如下Zpk220.2320.1420.0120.1220.0320.3020.1120.1220.1整理得Zpk00.110.240.390.4故E(Z)=00.1+10.2+40.3+90.4=5第三頁，共21頁。9.設(shè)(X,Y)的概率密度為求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).xoy11y=x解如圖,陰影(yīnyǐng)部份是f(x,y)不為零的區(qū)域也可以(kěyǐ)先求邊緣概率密度第四頁，共21頁。11.一工廠(gōngchǎng)生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X(以年計)服從指數(shù)分布,概率密度為工廠(gōngchǎng)規(guī)定,出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若工廠售出一臺設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺設(shè)備廠方需化費300元.試求廠方出售(chūshòu)一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學期望.解設(shè)Y(元)表示廠方出售一臺設(shè)備的凈贏利,則Y只能取兩個值:Y=100和Y=100-300=-200.而{Y=100}時,設(shè)備的壽命必須在一年以上,即{X1}故P{Y=100}=P{X1}而P{Y=-200}=1-P{Y=100}或=P{X<1}=1-P{X1}廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學期望E(Y)=100e-1/4+(-200)(1-e-1/4)=3000.7788-200=33.64(元)第五頁，共21頁。14.設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)X1,X2的概率密度分別為(1)求E(X1+X2),E(2X1-3X22);(2)又設(shè)X1,X2相互(xiānghù)獨立,求E(X1X2).解法一:利用(lìyòng)已知概率密度計算積分(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)E(2X1-3X22)=2E(X1)-3E(X22)(2)E(X1X2)第六頁，共21頁。法二:利用(lìyòng)已知結(jié)果直接求解由所給概率密度可知,X2服從(fúcóng)參數(shù)=1/4的指數(shù)分布,故E(X2)==1/4,D(X2)=2=1/16.從而(cóngér)E(X22)=D(X2)+[E(X2)]2=1/8.X1服從參數(shù)=1/2的指數(shù)分布,E(X1)=1/2.按照數(shù)學期望的性質(zhì),E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=3/4,E(2X1-3X22)=2E(X1)-3E(X22)=5/8,由于X1,X2相互獨立,E(X1X2)=E(X1)E(X2)=1/8.15.將n只球(1~n號)隨機地放進n只盒子(1~n號)中去,一只盒子裝一只球.若一只球裝入與球同號的盒子中,稱為一個配對.記X為總的配對數(shù),求E(X).解設(shè)隨機變量Xi=0,第i號盒子中裝的不是第i號球1,第i號盒子恰好裝第i號球(i=1,2,…,n)而X=X1+X2+…+Xn,第i號球放進n個盒子中有n種放法,故其恰好放進第i號盒子中的概率P{Xi=1}=1/n,由(0-1)分布的數(shù)學期望E(Xi)=P{Xi=1}=1/n,(i=1,2,…,n)故E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=nE(Xi)=1.第七頁，共21頁。16.若有n把看上去樣子相同的鑰匙,其中只有一把能打開門上的鎖,用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖.設(shè)取到每只鑰匙是等可能的.若每把鑰匙試開一次后除去(chúqù).試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學期望.(1)寫出X的分布(fēnbù)律;(2)不寫出X的分布(fēnbù)律.解(1)設(shè)事件Ai表示“第i次試開能打開門”,則Ai表示“第i次試開不能打開門”.由于(yóuyú)第i次試開前,巳試了(i–1)把鑰匙都未打開門,而在剩下的[n-(i-1)]把鑰匙中只有一把能打開門,所以前(i-1)次試開未打開門的條件下,第i次試開能打開門的概率為P(Ai|A1A2…Ai-1)=1/(n-i+1),而第i次試開不能打開門的概率為P(Ai|A1A2…Ai-1)={X=k}表示第1,2,…,k-1次試開不能打開門,第k次試開能打開門,故P{X=k}=P(A1A2…Ak-1Ak)=P(A1)P(A2|A1)…P(Ak-1|A1A2…Ak-2)P(Ak|A1A2…Ak-1)(k=1,2,…,n)第八頁，共21頁。(2)設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)Xi=0,第i次未抽到開門(kāimén)鑰匙1,第i次抽到開門(kāimén)鑰匙(i=1,2,…,n)基本事件是從n把鑰匙中抽取一把,故基本事件總數(shù)為n.而取到每把鑰匙是等可能的.由于只有一把鑰匙能打開門上的鎖,每把鑰匙試開一次后除去,所以第i次抽到開門鑰匙,只能從[n-(i-1)]把中抽取.故P{Xi=1}=(n-i+1)/n,由(0-1)分布的數(shù)學期望E(Xi)=P{Xi=1}=(n-i+1)/n,(i=1,2,…,n)而X=X1+X2+…+Xn,18.設(shè)隨機變量X服從瑞利分布,其概率密度為其中>0是常數(shù),求E(X),D(X).解法一:利用令t=x/,則第九頁，共21頁。法二:利用函數(shù)(hánshù)的定義及性質(zhì)令t=x2/22,則第十頁，共21頁。19.設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)X服從分布,其概率密度為其中(qízhōng)>0,>0是常數(shù),求E(X),D(X).解令t=x/,則x=t,dx=dt,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=(+1)2-22=2討論:(1)當=1時,得到(dédào)參數(shù)為的指數(shù)分布,E(X)=,D(X)=2.(2)當=n/2,=2時,得到自由度為n的2分布,E(X)=n,D(X)=2n.第十一頁，共21頁。19.設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)X服從幾何分布,其分布律為P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中(qízhōng)0<p<1是常數(shù),求E(X),D(X).解先復(fù)習(fùxí)無窮級數(shù)的有關(guān)知識當|x|<1時,兩邊對x求導(dǎo)兩邊乘x兩邊再對x求導(dǎo)令1-p=q,則p=1-q,分布律為P{X=k}=pqk-1,k=1,2,…第十二頁，共21頁。21.設(shè)長方形的高(以m計)X~U(0,2),己知長方形的周長(zhōuchánɡ)(以m計)為20,求長方形面積A的數(shù)學期望和方差.解法一:X的概率密度為A=x(10-x)=10x-x2第十三頁，共21頁。法二:利用已知均勻分布的數(shù)學期望和方差(fānɡchà)的結(jié)果和性質(zhì)求解D(A)=D(10X-X2)=D(10X)+D(X2)-2Cov(10X,X2)=100D(X)+E(X4)-[E(X2)]2-2[E(10X3)-E(10X)E(X2)]=100D(X)+E(X4)-[E(X2)]2-20E(X3)+20E(X)E(X2)第十四頁，共21頁。22.(1)設(shè)隨機變量X1,X2,X3,X4相互(xiānghù)獨立,且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,

i=1,2,3,4.設(shè)求E(Y),D(Y).解第十五頁，共21頁。E(Z2)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=720-640=80.D(Z2)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.故Z2~N(80,1525).E(X+Y)=E(X)+E(Y)=720+640=1360,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.故X+Y~N(1360,1525).P{X>Y}=P{X-Y>0}=P{Z2>0}=1-P{Z20}P{X+Y>1400}=1-P{X+Y1400}設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)X,Y相互獨立,且X~N(720,302),Y~N(640,252),求Z1=2X+Y,Z2=X-Y的分布(fēnbù),并求概率P{X>Y},P{X+Y>1400}.解E(X)=720,D(X)=302,E(Y)=640,D(Y)=252.E(Z1)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2720+640=2080D(Z1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4900+625=4225=652故Z1~N(2080,652)22.(2)第十六頁，共21頁。28.設(shè)二維隨機變量(suíjībiànliànɡ)(X,Y)的概率密度為試驗(shìyàn)證X和Y是不相關(guān)的,但X和Y不是相互獨立的.解先求邊緣(biānyuán)概率密度,xy1-1同理顯然,在單位圓內(nèi),即時,因此X和Y不是相互獨立的.同理Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相關(guān)的.第十七頁，共21頁。29.設(shè)隨機變量(suíjībiànliànɡ)X,Y的分布律為X

-101Y

01/801/8

11/81/81/8

-11/81/81/8P{X=i}3/82/83/81.0P{Y=j}3/82/83/8驗證X和Y是不相關(guān)的,但X和Y不是相互(xiānghù)獨立的.解先求出關(guān)于X,Y的邊緣(biānyuán)分布律如右顯然,對每一組(i,j)(i,j=-1,0,1),都有P{X=i,Y=j}

P{X=i}P{Y=j},因此X和Y不是相互獨立的.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相關(guān)的.第十八頁，共21頁。30.設(shè)A和B是試驗(shìyàn)E的兩個事件,且P(A)>0,P(B)>0并定義隨機變量X,Y如右X=1,若A發(fā)生(fāshēng)0,若A不發(fā)生(fāshēng)Y=1,若B發(fā)生0,若B不發(fā)生證明,若XY=0,則X和Y必定相互獨立.證P{X=1}=P(A),故P{X=0}=1-P(A),P{Y=1}=P(B),故P{Y=0}=1-P(B),由此得X,Y的邊緣分布并設(shè)其聯(lián)合分布如右X

01Y

0a11a12

1a21a22P{X=i}1-P(A)P(A)1.0P{Y=j}

1-P(B)P(B)由表中得①a11+a21=1-P(A)

②a12+a22=P(A)③a11+a12=1-P(B)

④a21+a22=P(B)

顯然E(X)=P(A),E(Y)=P(B),而E(XY)=00a11+10a12+01a21+11a22=a22

由于XY=0,故Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)