同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)第六章第二節(jié)課件

一、平面圖形的面積二、體積§6.2定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用三、平面曲線的弧長(zhǎng)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)[f上(x)f下(x)]dx,它也就是面積元素.一、平面圖形的面積設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成.

因此平面圖形的面積為在點(diǎn)x處面積增量的近似值為

1.直角坐標(biāo)情形下頁(yè)討論：由左右兩條曲線xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？提示：

面積為面積元素為[j右(y)j左(y)]dy,下頁(yè)

例2

計(jì)算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積.

(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:(4)計(jì)算積分(3)確定左右曲線:[-2,4].

解

(1)畫圖;下頁(yè)

例3

因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為xacost,

ybsint,

所以

解

橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.于是

ydx,橢圓在第一象限部分的面積元素為下頁(yè)曲邊扇形曲邊扇形的面積元素曲邊扇形是由曲線()及射線,

所圍成的圖形.曲邊扇形的面積2.極坐標(biāo)情形下頁(yè)二、體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.

下頁(yè)1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

下頁(yè)二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積元素考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點(diǎn)x處垂直于x軸的厚度為dx的切片,

用圓柱體的體積[f(x)]2dx作為切片體積的近似值,旋轉(zhuǎn)體的體積

于是體積元素為dV[f(x)]2dx.

例6

連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h,

r)的直線、直線xh及x軸圍成一個(gè)直角三角形.將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體.計(jì)算這圓錐體的體積.

旋轉(zhuǎn)體的體積：

解

下頁(yè)

例8

計(jì)算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為下頁(yè)

例8

計(jì)算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解下頁(yè)設(shè)曲線左半邊為x=x1(y),右半邊為x=x2(y).

所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為63a3

.

設(shè)立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,

b],立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).

立體的體積元素為立體的體積為下頁(yè)2.平行截面面積為已知的立體的體積A(x)dx.A(x)三、平面曲線的弧長(zhǎng)設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程yf(x)(axb)給出,其中f(x)在區(qū)間[a,

b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).現(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度.

在曲率一節(jié)中,我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為這也就是弧長(zhǎng)元素.因此,曲線弧的長(zhǎng)度為下頁(yè)直角坐標(biāo)情形

例11

長(zhǎng)度.

因此,所求弧長(zhǎng)為

解

曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)：

下頁(yè)設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出,其中(t)、(t)在[,

]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).于是曲線弧的長(zhǎng)為下頁(yè)曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)：

參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程()()給出,其中()在[,

]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).因?yàn)閤(q)cosq,

y(q)sinq(),

所以弧長(zhǎng)元素為曲線弧的長(zhǎng)為下頁(yè)極坐標(biāo)情形曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)：

曲線x(t)、y(t)(t)的弧長(zhǎng)：曲線()()的弧長(zhǎng)：

例14

求阿基米德螺線a(a>0)相應(yīng)于從0到2

一段的弧長(zhǎng).

解

于是所求弧長(zhǎng)為結(jié)束弧長(zhǎng)元素為曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)：

曲線x(t)、y(t)(t