空間解析幾何課件

《解析幾何》

－Chapter50引言一、問題的提出二、二次曲線的概念三、本章內(nèi)容概要四、平面上的虛元素五、二次曲線的有關(guān)記號(hào)一、問題的提出平面上的二次曲線有哪些？還有沒有別的？如何從所給的二次方程判別它代表什么二次曲線？它的形狀和位置如何？二次曲線有哪些幾何性質(zhì)？二、二次曲線的概念由二元二次方程

所表示的曲線叫做二次曲線.注：1.不全為零；2.方程中系數(shù)的規(guī)律:下標(biāo)“1”代表“x”，下標(biāo)“2”代表“y”，下標(biāo)“3”代表“1”，交叉項(xiàng)前有2.三、本章內(nèi)容概要二次曲線的幾何性質(zhì)二次曲線方程的化簡二次曲線的分類四、平面上的虛元素1.虛點(diǎn)2.虛向量3.虛直線五、二次曲線的有關(guān)記號(hào)例寫出二次曲線的11種符號(hào)討論二次曲線與直線的交點(diǎn)，可以采用把直線方程（2）代入曲線方程（1）然后討論關(guān)于t的方程（1）（2）§5.1二次曲線與直線的相關(guān)位置（3）（4）對(duì)（3）或（4）可分以下幾種情況來討論：兩個(gè)實(shí)線線兩個(gè)實(shí)點(diǎn)方程（4）有兩個(gè)共軛的虛根，直線（2）與二次曲線交于兩個(gè)共軛的虛點(diǎn).1.二次曲線的漸近方向

定義5.2.1滿足條件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向.

定義5.2.2沒有實(shí)漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的，有一個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的，有兩個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的.即1)橢圓型：I2>02)拋物型：I2＝03)雙曲型：I2<0§5.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線2.二次曲線的中心與漸近線定義5.2.3

如果點(diǎn)C是二次曲線的通過它的所有弦的中點(diǎn)(C是二次曲線的對(duì)稱中心)，那么點(diǎn)C叫做二次曲線的中心.定理5.2.1

點(diǎn)C(x0,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：推論坐標(biāo)原點(diǎn)是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含x與y的一次項(xiàng).二次曲線(1)的的中心坐標(biāo)由下方程組決定：

1.如果I2≠0，則(5.2－2)有唯一解，即為唯一中心坐標(biāo)2.如果I2＝0，分兩種情況：

定義5.2.4

有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線，沒有中心的二次曲線叫無心二次曲線，有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線，無心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線.定義5.2.5

通過二次曲線的中心，而且以漸近方向?yàn)榉较虻闹本€叫做二次曲線的漸近線.定理5.2.2

二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點(diǎn)，或者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的組成部分.

定義5.3.1

如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個(gè)點(diǎn)，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個(gè)重合的交點(diǎn)叫做切點(diǎn)，如果直線全部在二次曲線上，我們也稱它為二次曲線的切線，直線上的每個(gè)點(diǎn)都可以看作切點(diǎn).

定義5.3.2

二次曲線(1)上滿足條件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的點(diǎn)(x0,y0)叫做二次曲線的奇異點(diǎn)，簡稱奇點(diǎn)；二次曲線的非奇異點(diǎn)叫做二次曲線的正常點(diǎn).§5.3二次曲線的切線

定理5.3.1

如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點(diǎn)，那么通過(x0,y0)的切線方程是(x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0，(x0,y0)是它的切點(diǎn).如果(x0,y0)是二次曲線(1)的奇異點(diǎn)，那么通過(x0,y0)的切線不確定，或者說過點(diǎn)(x0,y0)的每一條直線都是二次曲線(1)的切線.推論如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點(diǎn)，那么通過(x0,y0)的切線方程是：例1

求二次曲線x2-xy+y2+2x-4y-3=0在點(diǎn)(2,1)的切線方程

解：因?yàn)镕(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,且F1(2,1)=5/2≠0,F

2

(2,1)=-2≠0

所以(2,1)是二次曲線上的正常點(diǎn)，因此得在點(diǎn)(2,1)的切線方程為：

5/2(x-2)-2(y-1)=0

即：5x-4y-6=01.二次曲線的直徑

定理5.4.1

二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡是一條直線.

定義5.4.1

二次曲線的平行弦中點(diǎn)軌跡叫做這個(gè)二次曲線的直徑，它所對(duì)應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑.§5.4二次曲線的直徑推論二次曲線的一族平行弦的斜率為k，那么共軛于這族平行弦直徑方程為F1(x,y)+kF2(x,y)=0定理5.4.2

中心二次曲線的直徑通過曲線的中心，無心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向，線心二次曲線的直徑只有一條，即曲線的中心直線2.共軛方向與共軛直徑命題中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向.

定義5.4.2

中心曲線的一對(duì)具有相互共軛方向的直徑叫做一對(duì)共軛直徑.

定義5.5.1

二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑叫做二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向.§5.5二次曲線的主直徑和主方向X:Y成為中心二次曲線的充要條件是對(duì)應(yīng)的有

定義5.5.2

方程(5.5-2)或(5.5-3)叫做二次曲線(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲線的特征根.定理5.5.1

二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù).定理5.5.2

二次曲線的特征根不能全為零.

定理5.5.3

由二次曲線(1)的特征根λ確定的主方向X:Y，當(dāng)λ≠0時(shí)，為二次曲線的非漸近主方向；當(dāng)λ＝0時(shí)，為二次曲線的漸近主方向.

定理5.5.4

中心二次曲線至少有兩條主直徑，非中心二次曲線只有一條主直徑.1.平面直角坐標(biāo)變換為轉(zhuǎn)軸公式，其中α為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角.§5.6二次曲線方程的化簡與分類2.