高中數(shù)學(xué)蘇教版第三章不等式不等關(guān)系 校賽得獎(jiǎng)

不等關(guān)系

江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)

教材分析：

不等式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是解決許多實(shí)際問(wèn)題的重要工具.將在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)不等式進(jìn)行研究，學(xué)會(huì)用不等式解決有關(guān)問(wèn)題，從中感受數(shù)學(xué)的價(jià)值.本節(jié)課作為起始課，應(yīng)努力通過(guò)具體情境，讓學(xué)生感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景，并能通過(guò)對(duì)實(shí)際背景的分析、概況與抽象，建立不等式模型，為后續(xù)運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法研究不等式模型提供基礎(chǔ).

學(xué)情分析：

在本章學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已有了不等式的一些初步認(rèn)識(shí)，能比較兩數(shù)的大小，已具備研究不等式的一些基礎(chǔ)技能與方法，如解一元一次不等式（組），本節(jié)的學(xué)習(xí)就是在此學(xué)情基礎(chǔ)上，進(jìn)一步讓學(xué)生系統(tǒng)感受不等關(guān)系的存在，能準(zhǔn)確地根據(jù)實(shí)際背景建立不等式模型.

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過(guò)具體情景，感受日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景；

2.根據(jù)實(shí)際背景學(xué)會(huì)列出不等關(guān)系及使用不等關(guān)系解決具體問(wèn)題；

3.通過(guò)自主發(fā)現(xiàn)、小組討論、合作探究等學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯推理能力.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過(guò)具體情景，建立不等式模型；

難點(diǎn)：用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系.

學(xué)法與教學(xué)用具：

學(xué)法：合作探究

教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過(guò)程：

一.情境設(shè)置

“我們欣賞數(shù)學(xué)，我們需要數(shù)學(xué).”——陳省身

(展示第一幅圖片:

蘇州“東方之門”)(直觀不等)

師：看到這幅圖有什么直觀感受呢？

生：感受到“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾樓小”，看到了樓房的高低不等.

(展示第二幅圖片：身高體重真的一樣嗎？)（思考不等）

師：這兩個(gè)武警身高、體重真的完全一樣嗎？

生：要是精確到毫米級(jí)，甚至納米級(jí)，那么兩個(gè)人的身高是不一樣的.

師：很好！說(shuō)明在現(xiàn)實(shí)生活中“相等是相對(duì)的，不等是絕對(duì)的！”不等現(xiàn)象普遍存在于我們生活之中.

(展示第三幅圖片：中國(guó)古代運(yùn)用“不等”現(xiàn)象與杠桿原理制作的器械.)(運(yùn)用不等）

師：我們的祖先就已經(jīng)智慧地將不等關(guān)系和杠桿原理運(yùn)用到生活中去了，制作了方便于生活的器械（如搗谷用的“婁”和提水用的“桔槔”）.

上面三幅圖，我們一起經(jīng)歷了“直觀不等現(xiàn)象——思考不等關(guān)系——運(yùn)用不等關(guān)系”，這就是我們學(xué)習(xí)“不等關(guān)系”的原因.

【評(píng)注】情境設(shè)置中蘊(yùn)含著研究問(wèn)題的視角，即從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，通過(guò)思考和研究模型后，進(jìn)而應(yīng)用模型的過(guò)程.另外，本環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)文化滲透也能彰顯數(shù)學(xué)的哲學(xué)思考與應(yīng)用價(jià)值，從生活現(xiàn)象入手，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)“不等關(guān)系”的理性需求和生活價(jià)值.

二．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1：類比遷移，形成程式

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)很多相等關(guān)系，能根據(jù)相應(yīng)的等量關(guān)系列出方程（組），同樣的道理，我們也能夠根據(jù)某些不等關(guān)系列出不等式（組）.

問(wèn)題1：現(xiàn)實(shí)中“不等關(guān)系”如何數(shù)學(xué)化？

●完成下列填空，并歸納出將不等關(guān)系數(shù)學(xué)化的基本步驟.

(1)我國(guó)《道路交通安全法》第91條明文規(guī)定：血液酒精c含量超過(guò)20mg/ml但不足80mg/ml的為酒駕，達(dá)到或超過(guò)80mg/ml的為醉駕.

“不等”意義詞語(yǔ)：

數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(2)某品牌乳飲料的質(zhì)量檢查規(guī)定，乳飲料中脂肪的含量m應(yīng)不少于%，蛋白質(zhì)的含量n應(yīng)不少于%.

“不等”意義詞語(yǔ)：

數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(3)設(shè)點(diǎn)A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點(diǎn)，則不大于AB.

“不等”意義詞語(yǔ)：

數(shù)學(xué)表達(dá)式：

●總結(jié)思維過(guò)程，形成思維程式

【評(píng)注】首先，從“相等關(guān)系”建構(gòu)方程（組）的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，類比到通過(guò)“不等關(guān)系”建構(gòu)不等式（組），自然地讓學(xué)生在兩類“同構(gòu)”知識(shí)中進(jìn)行同化的心理活動(dòng)，實(shí)際上，“相等”中相關(guān)性質(zhì)、研究方法是研究“不等”的先行組織者.設(shè)置了通過(guò)生活情境（自然語(yǔ)言）向數(shù)學(xué)表達(dá)式（符號(hào)語(yǔ)言）的轉(zhuǎn)化過(guò)程，這是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一，通過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)例幫助學(xué)生形成較為清晰完整的思維程式，為后面學(xué)習(xí)中的思維活動(dòng)提供準(zhǔn)備.

為了更系統(tǒng)地研究不等關(guān)系，需要研究一些基本的“不等模型”.

問(wèn)題2：有哪些基本的“不等模型”呢？

活動(dòng)2：故事串聯(lián)，探求模型

春暖花開(kāi)，適宜踏青，我們開(kāi)啟一段“踏青之旅”：

情境1：班級(jí)打算周末組織同學(xué)去蘇州上方山公園踏青，已知門票為每位50元，40人以上（含40人）時(shí)可以打8折，經(jīng)統(tǒng)計(jì)參加人數(shù)不足40人.

現(xiàn)在有兩種購(gòu)票方式：

一是按照40人購(gòu)團(tuán)體票，

二是按照實(shí)際人數(shù)購(gòu)票;

哪種購(gòu)票方式花費(fèi)更少？(只列式不求解）

教師引導(dǎo)分析與示范：

票價(jià)人數(shù)

50<40

50×≥40

（1）實(shí)際問(wèn)題抽取信息：

（2）解決什么問(wèn)題？

更“少”所指對(duì)象：團(tuán)體票總價(jià)與個(gè)體票總價(jià)；

若前者更“少”，則得到數(shù)量關(guān)系：團(tuán)體票總價(jià)＜個(gè)體票總價(jià)；

（3）將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為表達(dá)式：

解：設(shè)實(shí)際參加人數(shù)為x（x<40，x∈N*）人

50××40<50x

（一元一次不等式模型）

情境2：買好票進(jìn)了公園，管理員又給大家出了一個(gè)問(wèn)題：

公園若以每人50元的價(jià)格出售門票，每周約有游客2萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)調(diào)查，如果采取促銷方案，價(jià)格每降低1元，游客數(shù)則會(huì)增加1000

人，若門票降低了x（x∈N*）元，要使公園的門票收入大于120萬(wàn)元，x應(yīng)定在什么范圍內(nèi)？

采取小組討論，著重探究過(guò)程：

（1）找

量：票價(jià)

人數(shù)

50

20000

50－x

20000+1000x

（2）找關(guān)系：總收入＞120

萬(wàn)元

（3）列

式：（50－x）（20000＋1000x）＞1200000

（一元二次不等式模型）

情境3：游玩了半天后，來(lái)到公園餐廳，能否幫廚師解決這個(gè)問(wèn)題呢？

公園的綠色餐廳營(yíng)養(yǎng)快餐由甲、乙和丙三種食物混合而成（維生素含量如下表）。

維生素A（單位/kg）維生素B（單位/kg）總重量（kg）

甲300700x

乙500100y

丙300300z

廚師現(xiàn)在欲將三種食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000單位的維生素A以及40000單位的維生素B，設(shè)甲、乙、丙各有xkg、ykg、zkg，那么x，y應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

師生共同探究：

（1）認(rèn)真閱讀文本信息和表格信息，讀懂問(wèn)題，弄清題意.

（2）找關(guān)系：（不要忽略實(shí)際問(wèn)題的隱含條件）

總重量=100

維生素A的含量≥35000

維生素B的含量≥40000

（3）列式：

（二元一次不等式組模型）

【評(píng)注】通過(guò)一個(gè)“踏青”故事串聯(lián)了蘇教版教材中的三個(gè)引例，貼近學(xué)生生活實(shí)際，是對(duì)教材的加工運(yùn)用（有時(shí)這樣的加工可使文本理解變得簡(jiǎn)單流暢）；在教學(xué)中分別采用了“教師引導(dǎo)與示范”、“學(xué)生小組討論”、“師生共同探究”等教學(xué)方法加以處理，主要是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的難易程度和學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)進(jìn)行選擇.另外，本環(huán)節(jié)主要是建立模型，不需要對(duì)模型進(jìn)行求解.

三．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用

例1：（蘇教版P74練習(xí)5）已知bg糖水中有ag(b>a>0)，若再添加mg糖（m>0)，則糖水變甜了.試根據(jù)這個(gè)事實(shí)寫(xiě)出所滿足的不等關(guān)系.

學(xué)生自主分析：

生活常識(shí)：“變甜”即糖的濃度變大

添加后的濃度>之前的濃度

數(shù)學(xué)表達(dá)：

問(wèn)題3：有了不等模型，如何用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)研究他們呢？

問(wèn)題在本例中如何從數(shù)學(xué)的角度證實(shí)結(jié)論的準(zhǔn)確性呢？

師生活動(dòng)

點(diǎn)評(píng)：“作差法”是研究不等式大小關(guān)系的基本方法.

【評(píng)注】在建模后，應(yīng)讓學(xué)生清楚接下去的學(xué)習(xí)方向是如何數(shù)學(xué)地研究“模型”，由此讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)的歷程：感受模型——建構(gòu)模型——研究模型——應(yīng)用模型，這是本章的學(xué)習(xí)過(guò)程，應(yīng)在起始課中有所體現(xiàn)，讓學(xué)生明白本章如何進(jìn)行學(xué)習(xí).

四．課堂訓(xùn)練

（1）某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)的要求，600mm

鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍.寫(xiě)出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.

(2)在圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連結(jié)AD、BD.試?yán)眠@個(gè)圖形，比較與的大小.