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學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(四)(建議用時(shí):45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.(2023·廣州高二檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于()A.40 B.42C.43 D.45【解析】法一:a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=13,又∵a1=2,∴d=3,a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=3×2+12×3=42.法二:a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5,d=3,a5=a1+4d=14.∴a4+a5+a6=3a5=3×14=42.【答案】B2.在-1和8之間插入兩個(gè)數(shù)a,b,使這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則()A.a(chǎn)=2,b=5 B.a(chǎn)=-2,b=5C.a(chǎn)=2,b=-5 D.a(chǎn)=-2,b=-5【解析】由等差中項(xiàng)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a=b-1,,2b=8+a,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=5.))【答案】A3.(2023·阜陽高二檢測(cè))已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,則m為()A.12 B.8C.6 D.4【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8,又d≠0,∴m=8.【答案】B4.(2023·吉安高二檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,則a7-eq\f(1,2)a8的值為()A.4 B.6C.8 D.10【解析】由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,∴a7-eq\f(1,2)a8=eq\f(1,2)(2a7-a8)=eq\f(1,2)(a6+a8-a8)=eq\f(1,2)a6=8.【答案】C5.設(shè){an}是遞增等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是()A.1 B.2C.4 D.6【解析】由題意知,a1+a2+a3=3a2=12,∴a2=4,又a1·a2·a3=48,∴a1·a3=12,即a1·(a1+2d)=12.又a1=4-d,∴(4-d)(4+d)=12,∴d=±2,又{an}為遞增數(shù)列,∴d>0,∴d=2.∴a1=4-d=2.【答案】B二、填空題6.(2023·陜西高考)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為__________.【解析】設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為a1,則eq\f(a1+2015,2)=1010,故a1=5.【答案】57.(2023·西安高二檢測(cè))若{an}是等差數(shù)列,a15=8,a60=20,則a75=________.【解析】∵a60=a15+45d,∴d=eq\f(4,15),∴a75=a60+15d=20+4=24.【答案】248.一個(gè)直角三角形三邊長a,b,c成等差數(shù)列且數(shù)列是遞增的,面積為12,則它的周長是________.【解析】易知c為斜邊,公差為d(d>0),則a=b-d,c=b+d,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)bb-d=12,,b+d2=b2+b-d2,))解得b=4eq\r(2),d=eq\r(2),從而a=3eq\r(2),c=5eq\r(2),a+b+c=12eq\r(2).【答案】12eq\r(2)三、解答題9.(1)已知{an}是等差數(shù)列,且a1-a4+a8-a12+a15=2,求a3+a13的值;(2)已知在等差數(shù)列{an}中,若a49=80,a59=100,求a79.【解】(1)∵{an}是等差數(shù)列,∴a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8.又∵a1-a4+a8-a12+a15=2,∴a8=2,即a3+a13=2a8=2×2=4.(2)∵{an}是等差數(shù)列,可設(shè)公差為d.由a59=a49+10d,知10d=100-80,解得d=2.又∵a79=a59+20d,∴a79=100+20×2=140.10.已知a,b,c成等差數(shù)列,證明:a2(b+c),b2(a+c),c2(a+b)成等差數(shù)列.【證明】∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b,∴a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,∴a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),∴a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)能構(gòu)成等差數(shù)列.[能力提升]1.已知等差數(shù)列{an}單調(diào)遞增且滿足a1+a10=4,則a8的取值范圍是()A.(2,4) B.(-∞,2)C.(2,+∞) D.(4,+∞)【解析】設(shè)公差為d,則由a1+a10=4得2a1+9d=4,所以a1=2-eq\f(9,2)d,所以a8=a1+7d=2+eq\f(5,2)d,因?yàn)閐>0,所以a8=2+eq\f(5,2)d>2.【答案】C2.(2023·南昌高二檢測(cè))設(shè)公差為-2的等差數(shù)列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào):67940010】A.-182 B.-78C.-148 D.-82【解析】a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+…+a97)+2d×33=50+2×(-2)×33=-82.【答案】D3.已知數(shù)列{an}中,a3=7,a7=3,且eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an-1)))是等差數(shù)列,則a13=________.【解析】由題意可得eq\f(1,a3-1)=eq\f(1,6),eq\f(1,a7-1)=eq\f(1,2),設(shè)等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an-1)))的公差為d,則有eq\f(1,2)=eq\f(1,6)+4d,解得d=eq\f(1,12),故eq\f(1,a13-1)=eq\f(1,a7-1)+6d=eq\f(1,2)+6×eq\f(1,12)=1,所以a13-1=1,即a13=2.【答案】24.已知f(x)=x2-2x-3,等差數(shù)列{an}中,a1=f(x-1),a2=-eq\f(3,2),a3=f(x),求:(1)x的值;(2)通項(xiàng)an.【解】(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,又因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以2a2=a1+a3.即-3=x2-
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