專題12二次函數圖象性質與應用問題（共38題）-備戰(zhàn)2023年中考數學必刷真題考點分類專練（全國通用）02【解析版】

PAGE38PAGE備戰(zhàn)2023年中考數學必刷真題考點分類專練（全國通用）專題12二次函數圖象性質與應用問題一．選擇題（共23小題）1．（2022?新疆）已知拋物線y＝（x﹣2）2+1，下列結論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線x＝2 C．拋物線的頂點坐標為（2，1） D．當x＜2時，y隨x的增大而增大【分析】根據拋物線a＞0時，開口向上，a＜0時，開口向下判斷A選項；根據拋物線的對稱軸為x＝h判斷B選項；根據拋物線的頂點坐標為（h，k）判斷C選項；根據拋物線a＞0，x＜h時，y隨x的增大而減小判斷D選項．【解析】A選項，∵a＝1＞0，∴拋物線開口向上，故該選項不符合題意；B選項，拋物線的對稱軸為直線x＝2，故該選項不符合題意；C選項，拋物線的頂點坐標為（2，1），故該選項不符合題意；D選項，當x＜2時，y隨x的增大而減小，故該選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了二次函數的性質，掌握拋物線a＞0，x＜h時，y隨x的增大而減小，x＞h時，y隨x的增大而增大；a＜0時，x＜h時，y隨x的增大而增大，x＞h時，y隨x的增大而減小是解題的關鍵．2．（2022?陜西）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對應的函數值分別為y1，y2，y3．當﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【分析】先求出拋物線的對稱軸為直線x＝1，由于﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，于是根據二次函數的性質可判斷y1，y2，y3的大小關系．【解析】拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，而拋物線開口向上，∴y2＜y1＜y3．故選B．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．確定x1，x2，x3離對稱軸的遠近是解決本題的關鍵．3．（2022?嘉興）已知點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A．1 B． C．2 D．【分析】由點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根據ab的最大值為9，得k＝﹣，即可求出c＝2．【解析】∵點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值為9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故選：C．【點評】本題考查一次函數圖象上點坐標的特征及二次函數的最值，解題的關鍵是掌握配方法求函數的最值．4．（2022?寧波）點A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函數y＝（x﹣1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（）A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2【分析】根據y1＜y2列出關于m的不等式即可解得答案．【解析】∵點A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函數y＝（x﹣1）2+n的圖象上，∴y1＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，y2＝（m﹣1）2+n，∵y1＜y2，∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，即﹣2m+3＜0，∴m＞，故選：B．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據已知列出關于m的不等式．本題屬于基礎題，難度不大．5．（2022?泰安）拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x﹣2﹣101y0466下列結論不正確的是（）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸為直線x＝ C．拋物線與x軸的一個交點坐標為（2，0） D．函數y＝ax2+bx+c的最大值為【分析】根據表格中的數據，可以求出拋物線的解析式，然后化為頂點式和交點式，即可判斷各個選項中的說法是否正確．【解析】由表格可得，，解得，∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），∴該拋物線的開口向下，故選項A正確，不符合題意；該拋物線的對稱軸是直線x＝，故選項B正確，不符合題意，∵當x＝﹣2時，y＝0，∴當x＝×2﹣（﹣2）＝3時，y＝0，故選項C錯誤，符合題意；函數y＝ax2+bx+c的最大值為，故選項D正確，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，求出拋物線的解析式．6．（2022?株洲）已知二次函數y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數的圖象可能為（）A． B． C． D．【分析】根據c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D選項，當a＞0時，可知對稱軸＜0，可排除B選項，當a＜0時，可知對稱軸＞0，可知C選項符合題意．【解析】∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D選項不符合題意；當a＞0時，∵b＞0，∴對稱軸x＝＜0，故B選項不符合題意；當a＜0時，b＞0，∴對稱軸x＝＞0，故C選項符合題意，故選：C．【點評】本題考查了二次函數的圖象，熟練掌握二次函數的圖象與系數的關系是解題的關鍵．7．（2022?溫州）已知點A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在拋物線y＝（x﹣1）2﹣2上，點A在點B左側，下列選項正確的是（）A．若c＜0，則a＜c＜b B．若c＜0，則a＜b＜c C．若c＞0，則a＜c＜b D．若c＞0，則a＜b＜c【分析】根據題目中的拋物線和二次函數的性質，可以判斷當c＜0時，a、b、c的大小關系或當c＞0時，a、b、c的大小關系．【解析】∵拋物線y＝（x﹣1）2﹣2，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1，拋物線開口向上，當x＞1時，y隨x的增大而增大，當x＜1時，y隨x的增大而減小，∵點A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在拋物線y＝（x﹣1）2﹣2上，點A在點B左側，∴若c＜0，則c＜a＜b，故選項A、B均不符合題意；若c＞0，則a＜b＜c，故選項C不符合題意，選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．8．（2022?紹興）已知拋物線y＝x2+mx的對稱軸為直線x＝2，則關于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5【分析】根據拋物線y＝x2+mx的對稱軸為直線x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．【解析】∵拋物線y＝x2+mx的對稱軸為直線x＝2，∴﹣＝2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以寫成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故選：D．【點評】本題考查二次函數的性質、解一元二次方程，解答本題的關鍵是明確題意，求出m的值．9．（2022?舟山）已知點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A． B．2 C． D．1【分析】由點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根據ab的最大值為9，得k＝﹣，即可求出c＝2．【解析】∵點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值為9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故選：B．【點評】本題考查一次函數圖象上點坐標的特征及二次函數的最值，解題的關鍵是掌握配方法求函數的最值．10．（2022?涼山州）已知拋物線y＝ax2+bx+c經過點（1，0）和點（0，﹣3），且對稱軸在y軸的左側，則下列結論錯誤的是（）A．a＞0 B．a+b＝3 C．拋物線經過點（﹣1，0） D．關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個不相等的實數根【分析】根據題意做出拋物線y＝ax2+bx+c的示意圖，根據圖象的性質做出解答即可．【解析】由題意作圖如下：由圖知，a＞0，故A選項說法正確，不符合題意，∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點（1，0）和點（0，﹣3），∴a+b+c＝0，c＝﹣3，∴a+b＝3，故B選項說法正確，不符合題意，∵對稱軸在y軸的左側，∴拋物線不經過（﹣1，0），故C選項說法錯誤，符合題意，由圖知，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1有兩個交點，故關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個不相等的實數根，故D選項說法正確，不符合題意，故選：C．【點評】本題主要考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．11．（2022?瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經平移后，不可能得到的拋物線是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1【分析】根據拋物線的平移規(guī)律，可得答案．【解析】∵將拋物線y＝﹣x2+x+1經過平移后開口方向不變，開口大小也不變，∴拋物線y＝﹣x2+x+1經過平移后不可能得到的拋物線是y＝﹣x2+x+1．故選：D．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，由平移規(guī)律得出a不變是解題的關鍵．12．（2022?成都）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B兩點，對稱軸是直線x＝1，下列說法正確的是（）A．a＞0 B．當x＞﹣1時，y的值隨x值的增大而增大 C．點B的坐標為（4，0） D．4a+2b+c＞0【分析】由拋物線開口方向可判斷A，根據拋物線對稱軸可判斷B，由拋物線的軸對稱性可得點B的坐標，從而判斷C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判斷D．【解析】A、由圖可知：拋物線開口向下，a＜0，故選項A錯誤，不符合題意；B、∵拋物線對稱軸是直線x＝1，開口向下，∴當x＞1時y隨x的增大而減小，x＜1時y隨x的增大而增大，故選項B錯誤，不符合題意；C、由A（﹣1，0），拋物線對稱軸是直線x＝1可知，B坐標為（3，0），故選項C錯誤，不符合題意；D、拋物線y＝ax2+bx+c過點（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：拋物線上橫坐標為2的點在第一象限，∴4a+2b+c＞0，故選項D正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題的關鍵是掌握二次函數圖象的性質，數形結合解決問題．13．（2022?濱州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸相交于點C，小紅同學得出了以下結論：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③當y＞0時，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據二次函數的性質和圖象中的數據，可以分別判斷出各個結論是否正確，從而可以解答本題．【解析】由圖象可得，該拋物線與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞0，故①正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（﹣2，0）、B（6，0），∴該拋物線的對稱軸是直線x＝＝2，∴﹣＝2，∴b+4a＝0，故②正確；由圖象可得，當y＞0時，x＜﹣2或x＞6，故③錯誤；當x＝1時，y＝a+b+c＜0，故④正確；故選：B．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．14．（2022?隨州）如圖，已知開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1．則下列結論正確的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③函數y＝ax2+bx+c的最大值為﹣4a；④若關于x的方程ax2+bx+c＝a+1無實數根，則﹣＜a＜0．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①錯誤．根據拋物線的位置一一判斷即可；②正確．利用拋物線的對稱軸公式求解；③正確．設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），當x＝1時，y的值最大，最大值為﹣4a；④正確．把問題轉化為一元二次方程，利用判別式＜0，解不等式即可．【解析】∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線交y軸于正半軸，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①錯誤．∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故②正確．∵拋物線交x軸于點（﹣1，0），（3，0），∴可以假設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），當x＝1時，y的值最大，最大值為﹣4a，故③正確．∵ax2+bx+c＝a+1無實數根，∴a（x+1）（x﹣3）＝a+1無實數根，∴ax2﹣2ax﹣4a﹣1＝0，Δ＜0，∴4a2﹣4a（﹣4a﹣1）＜0，∴a（5a+1）＜0，∴﹣＜a＜0，故④正確，故選：C．【點評】本題考查二次函數的性質，根的判別式，二次函數的最值等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型，15．（2022?廣元）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，下列結論：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若點A（﹣2，y1）、點B（﹣，y2）、點C（，y3）在該函數圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m為常數）．其中正確的結論有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】根據拋物線的對稱軸方程和開口方向以及與y軸的交點，可得a＜0，b＞0，c＞0，由對稱軸為直線x＝2，可得b＝﹣4a，當x＝2時，函數有最大值4a+2b+c；由經過點（﹣1，0），可得a﹣b+c＝0，c＝﹣5a；再由a＜0，可知圖象上的點離對稱軸越近對應的函數值越大；再結合所給選項進行判斷即可．【解析】∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝2，∴b＞0，∵拋物線交y軸的正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，所以（1）正確；∵對稱軸為直線x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴b+4a＝0，∴b＝﹣4a，∵經過點（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，∵a＜0，∴4a+c﹣2b＜0，∴4a+c＜2b，故（2）不正確；∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正確；∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣2|＝，|﹣2|＝，∴y1＜y2＝y(tǒng)3，故（4）不正確；當x＝2時，函數有最大值4a+2b+c，∴4a+2b+c≥am2+bm+c，4a+2b≥m（am+b）（m為常數），故（5）正確；綜上所述：正確的結論有（1）（3）（5），共3個，故選：C．【點評】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．16．（2022?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，0＜a＜c）經過點（1，0），有下列結論：①2a+b＜0；②當x＞1時，y隨x的增大而增大；③關于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有兩個不相等的實數根．其中，正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據拋物線y＝ax2+bx+c經過點（1，0）、結合題意判斷①；根據拋物線的對稱性判斷②；根據一元二次方程根的判別式判斷③．【解析】①∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小題結論正確；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴對稱軸x＝﹣＞1，∴當1＜x＜﹣時，y隨x的增大而減小，本小題結論錯誤；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，對于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有兩個不相等的實數根，本小題結論正確；故選：C．【點評】本題考查的是二次函數圖象與系數的關系、一元二次方程根的判別式、拋物線與x軸的交點，熟記二次函數的對稱軸、增減性以及一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．17．（2022?陜西）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對應的函數值分別為y1，y2，y3．當﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【分析】首先求出拋物線的對稱軸，根據二次函數的增減性即可解決問題．【解析】∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴對稱軸x＝1，頂點坐標為（1，﹣4），當y＝0時，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為：（﹣1，0），（3，0），∴當﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y2＜y1＜y3，故選：D．【點評】本題考查拋物線的性質，熟練掌握拋物線的性質是解決問題的關鍵，記住在拋物線的左右函數的增減性不同，確定對稱軸的位置是關鍵，屬于中考?？碱}型．18．（2022?杭州）已知二次函數y＝x2+ax+b（a，b為常數）．命題①：該函數的圖象經過點（1，0）；命題②：該函數的圖象經過點（3，0）；命題③：該函數的圖象與x軸的交點位于y軸的兩側；命題④：該函數的圖象的對稱軸為直線x＝1．如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④【分析】假設拋物線的對稱軸為直線x＝1，利用二次函數的性質進行分析判斷．【解析】假設拋物線的對稱軸為直線x＝1，則﹣＝1，解得a＝﹣2，∵函數的圖象經過點（3，0），∴3a+b+9＝0，解得b＝﹣3，故拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，當y＝0時，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，故拋物線與x軸的交點為（﹣1，0）和（3，0），函數的圖象與x軸的交點位于y軸的兩側；故命題②③④都是正確，①錯誤，故選：A．【點評】本題主要考查二次函數的圖象與性質以及對稱軸公式的求法．19．（2022?達州）二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于（0，﹣1），對稱軸為直線x＝1．下列結論：①abc＞0；②a＞；③對于任意實數m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在該函數圖象上，則y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為4．其中正確結論有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①正確，判斷出a，b，c的正負，可得結論；②正確．利用對稱軸公式可得，b＝﹣2a，當x＝﹣1時，y＞0，解不等式可得結論；③錯誤．當m＝1時，m（am+b）＝a+b；④錯誤．應該是y2＜y3＜y1，；⑤錯誤．當有四個交點或3個時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為4，當有兩個交點時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為2．【解析】∵拋物線開口向上，∴a＞0，∴拋物線與y軸交于點（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正確，∵y＝ax2﹣2ax﹣1，當x＝﹣1時，y＞0，∴a+2a﹣1＞0，∴a＞，故②正確，當m＝1時，m（am+b）＝a+b，故③錯誤，∵點（﹣2，y1）到對稱軸的距離大于點（2，y3）到對稱軸的距離，∴y1＞y3，∵點（，y2）到對稱軸的距離小于點（2，y3）到對稱軸的距離，∴y3＞Y2，∴y2＜y3＜y1，故④錯誤，∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的解，是拋物線與直線y＝±k的交點，當有四個交點或3個時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為4，當有兩個交點時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為2，故⑤錯誤，故選：A．【點評】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．20．（2022?自貢）九年級2班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準備圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，最佳方案是（）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【分析】分別計算三個方案的菜園面積進行比較即可．【解析】方案1：設AD＝x米，則AB＝（8﹣2x）米，則菜園面積＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，當x＝2時，此時菜園最大面積為8米2；方案2：當∠BAC＝90°時，菜園最大面積＝×4×4＝8米2；方案3：半圓的半徑＝，∴此時菜園最大面積＝＝米2＞8米2；故選：C．【點評】本題考查了計算同周長的幾何圖形的面積的問題，根據題意計算三個方案的邊長及半徑是解本題的關鍵．21．（2022?自貢）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）頂點在線段AB上運動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點（C在D的右側），下列結論：①c≥﹣2；②當x＞0時，一定有y隨x的增大而增大；③若點D橫坐標的最小值為﹣5，則點C橫坐標的最大值為3；④當四邊形ABCD為平行四邊形時，a＝．其中正確的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【分析】根據頂點在線段AB上拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，得到①正確；根據二次函數的增減性判斷出②錯誤；先確定x＝1時，點D的橫坐標取得最大值，然后根據二次函數的對稱性求出此時點C的橫坐標，即可判斷③正確；令y＝0，利用根與系數的關系與頂點的縱坐標求出CD的長度的表達式，然后根據平行四邊形的對邊平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判斷出④正確．【解析】∵點A，B的坐標分別為（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），∴線段AB與y軸的交點坐標為（0，﹣2），又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），∴c≥﹣2，（頂點在y軸上時取“＝”），故①正確；∵拋物線的頂點在線段AB上運動，開口向上，∴當x＞1時，一定有y隨x的增大而增大，故②錯誤；若點D的橫坐標最小值為﹣5，則此時對稱軸為直線x＝﹣3，C點的橫坐標為﹣1，則CD＝4，∵拋物線形狀不變，當對稱軸為直線x＝1時，C點的橫坐標為3，∴點C的橫坐標最大值為3，故③正確；令y＝0，則ax2+bx+c＝0，CD2＝（﹣）2﹣4×＝，根據頂點坐標公式，＝﹣2，∴＝﹣8，即＝8，∴CD2＝×8＝，∵四邊形ACDB為平行四邊形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴＝42＝16，解得a＝，故④正確；綜上所述，正確的結論有①③④．故選：D．【點評】本題考查了二次函數的綜合題型，主要利用了二次函數的頂點坐標，二次函數的對稱性，根與系數的關系，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，①要注意頂點在y軸上的情況．22．（2022?南充）已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，當x1+x2＞4且x1＜x2時，都有y1＜y2，則m的取值范圍為（）A．0＜m≤2 B．﹣2≤m＜0 C．m＞2 D．m＜﹣2【分析】根據題意和題目中的拋物線，可以求得拋物線的對稱軸，然后分類討論即可得到m的取值范圍．【解析】∵拋物線y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），∴該拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝m，∵當x1+x2＞4且x1＜x2時，都有y1＜y2，∴當m＞0時，0＜2m≤4，解得0＜m≤2；當m＜0時，2m＞4，此時m無解；由上可得，m的取值范圍為0＜m≤2，故選：A．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．23．（2022?湖州）將拋物線y＝x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2【分析】根據二次函數變化規(guī)律：左加右減，上加下減，進而得出變化后解析式．【解析】∵拋物線y＝x2向上平移3個單位，∴平移后的解析式為：y＝x2+3．故選：A．【點評】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的性質，熟練記憶平移規(guī)律是解題關鍵．二．填空題（共8小題）24．（2022?武漢）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數）開口向下，過A（﹣1，0），B（m，0）兩點，且1＜m＜2．下列四個結論：①b＞0；②若m＝，則3a+2c＜0；③若點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，則y1＞y2；④當a≤﹣1時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有兩個不相等的實數根．其中正確的是①③④（填寫序號）．【分析】①正確．根據對稱軸在y軸的右側，可得結論；②錯誤．3a+2c＝0；③正確．由題意，拋物線的對稱軸直線x＝a，0＜a＜0.5，由點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出點M到對稱軸的距離＜點N到對稱軸的距離，推出y1＞y2；④正確，證明判別式＞0即可．【解析】∵對稱軸x＝＞0，∴對稱軸在y軸右側，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，故①正確；當m＝時，對稱軸x＝﹣＝，∴b＝﹣，當x＝﹣1時，a﹣b+c＝0，∴c＝0，∴3a+2c＝0，故②錯誤；由題意，拋物線的對稱軸直線x＝a，0＜a＜0.5，∵點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線上，x1＜x2，且x1+x2＞1，∴點M到對稱軸的距離＜點N到對稱軸的距離，∴y1＞y2，故③正確；設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）＝a2（m+1）2+4a，∵0＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞0，∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有兩個不相等的實數根．故④正確，故答案為：①③④．【點評】本題考查二次函數的性質，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．25．（2022?新疆）如圖，用一段長為16m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），則這個圍欄的最大面積為32m2．【分析】設與墻垂直的一邊長為xm，然后根據矩形面積列出函數關系式，從而利用二次函數的性質分析其最值．【解析】設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（16﹣2x）m，∴矩形圍欄的面積為x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴當x＝4時，矩形有最大面積為32m2，故答案為：32．【點評】本題考查二次函數的應用，準確識圖，理解二次函數的性質是解題關鍵．26．（2022?武威）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系：h＝﹣5t2+20t，則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間t＝2s．【分析】把一般式化為頂點式，即可得到答案．【解析】∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴當t＝2時，h取最大值20，故答案為：2．【點評】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是掌握將二次函數一般式化為頂點式．27．（2022?連云港）如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y＝﹣0.2x2+x+2.25運行，然后準確落入籃筐內，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m，則他距籃筐中心的水平距離OH是4m．【分析】根據所建坐標系，水平距離OH就是y＝3.05時離他最遠的距離．【解析】當y＝3.05時，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距籃筐中心的水平距離OH是4m．故答案為：4．【點評】此題考查二次函數的運用，根據所建坐標系確定水平距離的求法是此題關鍵．28．（2022?涼山州）已知實數a、b滿足a﹣b2＝4，則代數式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是6．【分析】根據a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代數式a2﹣3b2+a﹣14中，然后結合二次函數的性質即可得到答案．【解析】∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴當a≥4時，原式的值隨著a的增大而增大，∴當a＝4時，原式取最小值為6，故答案為：6．【點評】本題考查了代數式的知識，解題的關鍵是熟練掌握代數式的性質，靈活應用配方法，從而完成求解．29．（2022?南充）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發(fā)現，噴頭高2.5m時，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時，水柱落點距O點3m．那么噴頭高8m時，水柱落點距O點4m．【分析】由題意可知，在調整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，則當噴頭高2.5m時，可設y＝ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；噴頭高4m時，可設y＝ax2+bx+4；將（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，聯(lián)立可求出a和b的值，設噴頭高為h時，水柱落點距O點4m，則此時的解析式為y＝ax2+bx+h，將（4，0）代入可求出h．【解析】由題意可知，在調整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當噴頭高2.5m時，可設y＝ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0①；噴頭高4m時，可設y＝ax2+bx+4；將（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，聯(lián)立可求出a＝﹣，b＝，設噴頭高為h時，水柱落點距O點4m，∴此時的解析式為y＝﹣x2+x+h，將（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案為：8．【點評】本題考查了二次函數在實際生活中的運用，重點是二次函數解析式的求法，直接利用二次函數的平移性質是解題關鍵．30．（2022?遂寧）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）的部分圖象如圖所示，設m＝a﹣b+c，則m的取值范圍是﹣4＜m＜0．【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置及拋物線經過（1，0）可得a，b，c的等量關系，然后將x＝﹣1代入解析式求解．【解析】∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸在y軸左側，∴﹣＜0，∴b＞0，∵拋物線經過（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵拋物線經過（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，當x＝﹣1時，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案為：﹣4＜m＜0．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵是掌握二次函數的性質，掌握二次函數與方程的關系．31．（2022?成都）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度h（米）與物體運動的時間t（秒）之間滿足函數關系h＝﹣5t2+mt+n，其圖象如圖所示，物體運動的最高點離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒．設w表示0秒到t秒時h的值的“極差”（即0秒到t秒時h的最大值與最小值的差），則當0≤t≤1時，w的取值范圍是0≤w≤5；當2≤t≤3時，w的取值范圍是5≤w≤20．【分析】利用待定系數法求得拋物線的解析式，再利用配方法求得拋物線的頂點坐標，結合函數圖象即可求解．【解析】∵物體運動的最高點離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒，∴拋物線h＝﹣5t2+mt+n的頂點的縱坐標為20，且經過（3，0）點，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴拋物線的解析式為h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴拋物線的最高點的坐標為（1，20）．∵20﹣15＝5，∴當0≤t≤1時，w的取值范圍是：0≤w≤5；當t＝2時，h＝15，當t＝3時，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴當2≤t≤3時，w的取值范圍是：5≤w≤20．故答案為：0≤w≤5；5≤w≤20．【點評】本題主要考查了二次函數的應用，待定系數法確定函數的解析式，二次函數的性質，理解“極差”的意義是解題的關鍵．三．解答題（共7小題）32．（2022?常德）如圖，已知拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，當△OAB的面積為15時，求B的坐標；（3）P是拋物線上的動點，當PA﹣PB的值最大時，求P的坐標以及PA﹣PB的最大值．【分析】（1）運用待定系數法即可求得答案；（2）設B（2，m）（m＞0），運用待定系數法求得直線OA的解析式為y＝x，設直線OA與拋物線對稱軸交于點H，則H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面積公式建立方程求解即可得出答案；（3）運用待定系數法求得直線AB的解析式為y＝﹣x+10，當PA﹣PB的值最大時，A、B、P在同一條直線上，聯(lián)立方程組求解即可求得點P的坐標，利用兩點間距離公式可求得AB，即PA﹣PB的最大值．【解析】（1）∵拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（4，0），設拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；（2）∵點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，∴設B（2，m）（m＞0），設直線OA的解析式為y＝kx，則5k＝5，解得：k＝1，∴直線OA的解析式為y＝x，設直線OA與拋物線對稱軸交于點H，則H（2，2），∴BH＝m﹣2，∵S△OAB＝15，∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴點B的坐標為（2，8）；（3）設直線AB的解析式為y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+10，當PA﹣PB的值最大時，A、B、P在同一條直線上，∵P是拋物線上的動點，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12），此時，PA﹣PB＝AB＝＝3．【點評】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，三角形面積，利用三角形三邊關系定理求線段差的最大值，利用線段和差求最值問題是解題的關鍵．33．（2022?湘潭）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大面積為多少？【分析】（1）設水池的長為am，根據Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形面積減水池面積等于種植面積列方程求解即可得出結論；（2）設BC長為xm，則CD長度為21﹣3x，得出面積關于x的關系式，利用二次函數的性質求最值即可．【解析】（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設BC長為xm，則CD長度為21﹣3x，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）+，∵﹣3＜0，∴當x＝時，總種植面積有最大值為m2，即BC應設計為m總種植面積最大，此時最大面積為m2．【點評】本題主要考查二次函數的應用，熟練根據二次函數的性質求最值是解題的關鍵．34．（2022?隨州）2022年的冬奧會在北京舉行，其中冬奧會吉祥物“冰墩墩”深受人們喜愛，多地出現了“一墩難求”的場面．某紀念品商店在開始售賣當天提供150個“冰墩墩”后很快就被搶購一空，該店決定讓當天未購買到的顧客可通過預約在第二天優(yōu)先購買，并且從第二天起，每天比前一天多供應m個（m為正整數）．經過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計，得到第x天（1≤x≤15，且x為正整數）的供應量y1（單位：個）和需求量y2（單位：個）的部分數據如下表，其中需求量y2與x滿足某二次函數關系．（假設當天預約的顧客第二天都會購買，當天的需求量不包括前一天的預約數）第x天12…6…11…15供應量y1（個）150150+m…150+5m…150+10m…150+14m需求量y2（個）220229…245…220…164（1）直接寫出y1與x和y2與x的函數關系式；（不要求寫出x的取值范圍）（2）已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預約就能購買到（即前9天的總需求量超過總供應量，前10天的總需求量不超過總供應量），求m的值；（參考數據：前9天的總需求量為2136個）（3）在第（2）問m取最小值的條件下，若每個“冰墩墩”售價為100元，求第4天與第12天的銷售額．【分析】（1）由已知直接可得y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，設y2＝ax2+bx+c，用待定系數法可得y2＝﹣x2+12x+209；（2）求出前9天的總供應量為（1350+36m）個，前10天的供應量為（1500+45m）個，根據前9天的總需求量為2136個，前10天的總需求量為2136+229＝2365（個），可得，而m為正整數，即可解得m的值為20或21；（3）m最小值為20，從而第4天的銷售量即供應量為y1＝210，銷售額為21000元，第12天的銷售量即需求量為y2＝209，銷售額為20900元．【解析】（1）根據題意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，設y2＝ax2+bx+c，將（1，220），（2，229），（6，245）代入得：，解得，∴y2＝﹣x2+12x+209；（2）前9天的總供應量為150+（150+m）+（150+2m）++（150+8m）＝（1350+36m）個，前10天的供應量為1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）個，在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，∵前9天的總需求量為2136個，∴前10天的總需求量為2136+229＝2365（個），∵前9天的總需求量超過總供應量，前10天的總需求量不超過總供應量，∴，解得19≤m＜21，∵m為正整數，∴m的值為20或21；（3）由（2）知，m最小值為20，∴第4天的銷售量即供應量為y1＝4×20+150﹣20＝210，∴第4天的銷售額為210×100＝21000（元），而第12天的銷售量即需求量為y2＝﹣122+12×12+209＝209，∴第12天的銷售額為209×100＝20900（元），答：第4天的銷售額為21000元，第12天的銷售額為20900元．【點評】本題考查二次函數，一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數關系式和不等式組解決問題．35．（2022?武漢）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑球前面70cm處．小聰測量黑球減速后的運動速度v（單位：cm/s）、運動距離y（單位：cm）隨運動時間t（單位：s）變化的數據，整理得下表．運動時間t/s01234運動速度v/cm/s109.598.58運動距離y/cm09.751927.7536小聰探究發(fā)現，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數關系，運動距離y與運動時間t之間成二次函數關系．（1）直接寫出v關于t的函數解析式和y關于t的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）當黑球減速后運動距離為64cm時，求它此時的運動速度；（3）若白球一直以2cm/s的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球？請說明理由．【分析】（1）設v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系數法可求出m和n；設y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系數法求解即可；（2）令y＝64，代入（1）中關系式，可先求出t，再求出v的值即可；（3）設黑白兩球的距離為wcm，根據題意可知w＝70+2t﹣y，化簡，再利用二次函數的性質可得出結論．【解析】（1）設v＝mt+n，將（0，10），（2，9）代入，得，解得，，∴v＝﹣t+10；設y＝at2+bt+c，將（0，0），（2，19），（4，36）代入，得，解得，∴y＝﹣t2+10t．（2）令y＝64，即﹣t2+10t＝64，解得t＝8或t＝32，當t＝8時，v＝6；當t＝32時，v＝﹣6（舍）；（3）設黑白兩球的距離為wcm，根據題意可知，w＝70+2t﹣y＝t2﹣8t+70＝（t﹣16）2+6，∵＞0，∴當t＝16時，w的最小值為6，∴黑白兩球的最小距離為6cm，大于0，黑球不會碰到白球．另解1：當w＝0時，t2﹣8t+70＝0，判定方程無解．另解2：當黑球的速度減小到2cm/s時，如果黑球沒有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不會碰到白球．先確定黑球速度為2cm/s時，其運動時間為16s，再判斷黑白兩球的運動距離之差小于70cm．【點評】本題屬于函數綜合應用，主要考查待定系數法求函數解析式，函數上的坐標特點等知識，（3）關鍵是弄明白如何判斷黑白兩球是否碰到．36．（2022?孝感）為增強民眾生活幸福感，市政府大力推進老舊小區(qū)改造工程．和諧小區(qū)新建一小型活動廣場，計劃在360m2的綠化帶上種植甲乙兩種花卉．市場調查發(fā)現：甲種花卉種植費用y（元/m2）與種植面積x（m2）之間的函數關系如圖所示，乙種花卉種植費用為15元/m2．（1）當x≤100時，求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（2）當甲種花卉種植面積不少于30m2，且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍時．①如何分配甲乙兩種