高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列 全國(guó)獲獎(jiǎng)

2023—2023學(xué)年度第二學(xué)期NCS0407測(cè)試高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷分選擇題、填空題、解答題三部分.2．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效.一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．?dāng)?shù)列的前幾項(xiàng)為，則此數(shù)列的通項(xiàng)可能是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)是奇函數(shù)，則可取一個(gè)值為（）A． B． C． D．3．（）A． B． C． D．4．已知的邊上有一點(diǎn)滿足，則可表示為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，（）A． B． C． D．6．在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足，則△的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形7．設(shè)向量，，若向量與向量垂直，則（）A.B.C.D.8．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，則的面積為（）A.B.C.D.9．《九章算術(shù)》中有一個(gè)“兩鼠穿墻”問(wèn)題：今有垣（墻，讀音）厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日穿（第一天挖）一尺，小鼠也日穿一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天減半）.問(wèn)何日（第幾天）兩鼠相逢（）A.B.C.D.10．已知△中，滿足，的三角形有兩解，則邊長(zhǎng)的取值范圍是（）A.B.C.D.11．已知為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與面積之比為（）A.B.C.D.12．定義，若函數(shù)，且在區(qū)間上的值域?yàn)?，則區(qū)間長(zhǎng)度的最大值為（）A.B.C.D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分.13．若,則.14．已知單位向量的夾角為，，則在上的投影是．15．已知數(shù)列等差數(shù)列，其，，則.16．已知函數(shù)（）的部分圖像如圖所示,與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其一條對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，且，．則.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．(本小題滿分12分)已知渡船在靜水中速度的大小為,河水流速的大小為.如圖渡船船頭方向與水流方向成夾角,且河面垂直寬度為.（Ⅰ）求渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角；（Ⅱ）求渡船過(guò)河所需要的時(shí)間.[提示：]19．(本小題滿分12分)設(shè)的三內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，且（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的面積.

20．(本小題滿分12分)已知，，函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)零點(diǎn)；（Ⅱ）若的三內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，且,求的取值范圍.21．(本小題滿分12分)已知平行四邊形中,，,對(duì)角線交于點(diǎn)，上一點(diǎn)滿足，為上任意一點(diǎn).（Ⅰ）求值；（Ⅱ）若，求的最小值.22．(本小題滿分12分)已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且，.（Ⅰ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問(wèn)是否存在互不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列？若存在，求出，，；若不存在，說(shuō)明理由.

2023—2023學(xué)年度第二學(xué)期NCS0407測(cè)試高一數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見(jiàn)一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．題號(hào)123456789101112答案ABACDACACCDC二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，滿分20分．13．;14.;15.;16.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟.17.【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得：，即，所以，解得……3分……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：.……8分……10分另解:并項(xiàng).……10分18.【解析】方法一:(向量坐標(biāo)法)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系由條件,,知，……3分由，即所以……5分所以，即所以渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角;……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知船垂直方向速度為所以渡船過(guò)河所需要的時(shí)間.……12分方法二:(正、余弦定理)（Ⅰ）如圖所示，，設(shè)渡船的合速度，則由條件,,根據(jù)向量的平行四邊形法則有：,,在中,由余弦定理得……5分在中,由正弦定理得,得所以渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角;……8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知船所走過(guò)路程為所以渡船過(guò)河所需要的時(shí)間.……12分19.【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，由正弦定理得，∴，…?分∴由余弦定理得，∴在中，.……6分（Ⅱ）方法一：因?yàn)?，且，∴∴，∴，在中，又在中，由正弦定理得，∴∴的面積……12分方法二：因?yàn)?，由正弦定理得而，，由余弦定理得，∴∴，即，∴的面積……12分

20.【解析】（Ⅰ）由條件可知:……3分∴……4分所以函數(shù)零點(diǎn)滿足,得,．……6分（Ⅱ）由正弦定理得由（Ⅰ），而，得∴，又，得……8分∵代入上式化簡(jiǎn)得：……10分又在中，有，，則有即：……12分21.【解析】（Ⅰ）由平行四邊形知，∴，∵……3分∴……5分而，，，∴……6分（Ⅱ）方法一：若，∴∴，，設(shè)，由（Ⅰ），得，即……9分再設(shè)，，∴……11分顯然，當(dāng)時(shí)，有最小值為．……12分方法二（坐標(biāo)法）：若，∴∴，，又，如圖建立平面直角坐標(biāo)系：則,,，，設(shè),得又設(shè)，，，得，由（Ⅰ），得……9分∴……11分顯然，當(dāng)時(shí)，有最小值為．……12分22.【解析】（Ⅰ）由令可知，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得，∴，∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴。……4分設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得，，解得，∴……6分（Ⅱ）由（1）可知，假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)