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文檔簡介
章末分層突破平面直角坐標(biāo)系下圖形的變換平面圖形的伸縮變換可由坐標(biāo)伸縮變換來實(shí)現(xiàn),在使用坐標(biāo)變換公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X=axa>0,Y=byb>0))時(shí),一定要分清變換前后的新舊坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系中,已知伸縮變換:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X=3x,,2Y=y(tǒng).))求直線l:y=6x經(jīng)過變換后所得直線l′的方程.【精彩點(diǎn)撥】由伸縮變換公式,用X,Y表示x,y,并代入變換前方程,求得X,Y間的關(guān)系.【規(guī)范解答】設(shè)P′(X,Y)是直線l′上任意一點(diǎn).由伸縮變換φ:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X=3x,2Y=y(tǒng))),得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(X,3),,y=2Y,))代入y=6x,得2Y=6·eq\f(X,3)=2X,∴Y=X為所求直線l′的方程.因此變換后直線l′的方程為x-y=0.求曲線的極坐標(biāo)方程求曲線的極坐標(biāo)的方法和步驟,和求直角坐標(biāo)方程類似,就是把曲線看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡,將已知條件用曲線上的極坐標(biāo)ρ,θ的關(guān)系式f(ρ,θ)表示出來,就得到曲線的極坐標(biāo)方程.圓心為C(3,eq\f(π,6)),半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程是什么?【精彩點(diǎn)撥】在圓C上任取一點(diǎn)M(ρ,θ),建立ρ與θ的等量關(guān)系.【規(guī)范解答】如圖,設(shè)圓上任一點(diǎn)為P(ρ,θ),則|OP|=ρ,∠POA=|θ-eq\f(π,6)|,|OA|=2×3=6.在Rt△POA中,|OP|=|OA|cos∠POA,則ρ=6cos(θ-eq\f(π,6)),即圓的極坐標(biāo)方程為ρ=6cos(θ-eq\f(π,6)).已知定點(diǎn)A(a,0),動(dòng)點(diǎn)P對(duì)極點(diǎn)O和點(diǎn)A的張角∠OPA=eq\f(π,3).在OP的延長線上取點(diǎn)Q,使|PQ|=|PA|.當(dāng)P在極軸上方運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程.【精彩點(diǎn)撥】求極坐標(biāo)方程,往往是構(gòu)造三角形,利用三角形的邊角關(guān)系,或余弦定理列出關(guān)系式.【規(guī)范解答】設(shè)Q,P的坐標(biāo)分別是(ρ,θ),(ρ1,θ1),則θ=θ1.在△POA中,ρ1=eq\f(a,sin\f(π,3))·sin(eq\f(2π,3)-θ),|PA|=eq\f(asinθ,sin\f(π,3)).又|OQ|=|OP|+|PA|,∴ρ=2acos(eq\f(π,3)-θ).極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系是兩種不同的坐標(biāo)系.同一個(gè)點(diǎn)可以有極坐標(biāo),也可以有直角坐標(biāo);同一條曲線可以有極坐標(biāo)方程,也可以有直角坐標(biāo)方程.為了研究問題的方便,有時(shí)需要把在一種坐標(biāo)系中的方程化為在另一種坐標(biāo)系中的方程.它們之間的互化關(guān)系為:x=ρcosθ,y=ρsinθ;ρ2=x2+y2,tanθ=eq\f(y,x)(x≠0).⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)求經(jīng)過⊙O1,⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.【規(guī)范解答】以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0為⊙O1的直角坐標(biāo)方程,同理x2+y2+4y=0為⊙O2的直角坐標(biāo)方程.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2-4x=0,,x2+y2+4y=0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1=0,,y1=0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2=2,,y2=-2.))即⊙O1,⊙O2交于點(diǎn)(0,0)和(2,-2),故過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x.轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想,是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移解決問題.具體表現(xiàn)為化未知為已知,化抽象為具體,化一般為特殊.如本章中直角坐標(biāo)與極坐標(biāo),直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程,都是這種思想的體現(xiàn).當(dāng)ρ≥0,0≤θ<2π時(shí),極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化就是等價(jià)轉(zhuǎn)化.已知極坐標(biāo)方程C1:ρ=10,C2:ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ-\f(π,3)))=6,(1)化C1、C2的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程,并分別判斷曲線形狀;(2)求C1、C2交點(diǎn)間的距離.【規(guī)范解答】(1)由C1:ρ=10,得ρ2=100,∴x2+y2=100,所以C1為圓心在(0,0),半徑等于10的圓.由C2:ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ-\f(π,3)))=6,得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinθ-\f(\r(3),2)cosθ))=6.∴y-eq\r(3)x=12,即eq\r(3)x-y+12=0.所以C2表示直線.(2)由于圓心(0
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