高中數學蘇教版3第一章計數原理 公開課

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、填空題1．10個人分成甲、乙兩組，其中甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數為________．(用數字作答)【解析】由題意可知，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(6,6)＝210種分法．【答案】210種2．某人決定投資3種股票和4種債券，經紀人向他推薦了6種股票和5種債券，則此人不同的投資方式有________種．【解析】由題意可知，共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(4,5)＝100(種)．【答案】1003．凸十邊形的對角線的條數為________．【解析】Ceq\o\al(2,10)－10＝35(條)．【答案】35條4．已知圓上9個點，每兩點連一線段，所有線段在圓內的交點有________個．【解析】此題可化歸為：圓上9個點可組成多少個四邊形，每個四邊形的對角線的交點即為所求，所以交點有Ceq\o\al(4,9)＝126(個)．【答案】1265．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為________．【解析】6人中選4人的方案有Ceq\o\al(4,6)＝15種，沒有女生的方案只有一種，所以滿足要求的方案總數有14種．【答案】14種6．過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有________對．【解析】3(Ceq\o\al(4,6)－3)＝36(對)．【答案】367．在某種信息傳輸過程中，用4個數字的一個排列(數字允許重復)表示一個信息，不同排列表示不同信息．若所用數字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息個數為________．【解析】與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息包括三類：第一類：與信息0110恰有兩個對應位置上的數字相同，即從4個位置中選2個位置，使對應數字相同，其他2個不同，有Ceq\o\al(2,4)＝6個信息符合．第二類：與信息0110恰有一個對應位置上的數字相同，即從4個位置中選1個位置，使對應數字相同，其他3個不同，有Ceq\o\al(1,4)＝4個信息符合．第三類：與信息0110沒有一個對應位置上的數字相同，即4個對應位置上的數字都不同，有Ceq\o\al(0,4)＝1個信息符合．由分類計數原理知，與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息個數為6＋4＋1＝11.【答案】118．現有6張風景區(qū)門票分配給6位游客，若其中A，B風景區(qū)門票各2張，C，D風景區(qū)門票各1張，則不同的分配方案共有________種.【導學號：29440016】【解析】6位游客選2人去A風景區(qū)，有Ceq\o\al(2,6)種，余下4位游客選2人去B風景區(qū)，有Ceq\o\al(2,4)種，余下2人去C，D風景區(qū)，有Aeq\o\al(2,2)種，所以分配方案共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝180(種)．【答案】180二、解答題9．α，β是兩個平行平面，在α內取四個點，在β內取五個點．(1)這些點最多能確定幾條直線，幾個平面？(2)以這些點為頂點最多能作多少個三棱錐？【解】(1)在9個點中，除了α內的四點共面和β內的五點共面外，其余任意四點不共面且任意三點不共線時，所確定直線才能達到最多，此時，最多能確定直線Ceq\o\al(2,9)＝36條．在此條件下，只有兩直線平行時，所確定的平面才最多．又因為三個不共線的點確定一個平面，故最多可確定Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋2＝72個平面．(2)同理，在9個點中，除了α內的四點共面和β內的五點共面外，其余任意四點不共面且任意三點不共線時，所作三棱錐才能達到最多．此時最多能作Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＝120個三棱錐．10．按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？(1)6個不同的小球放入4個不同的盒子；(2)6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；(3)6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球．【解】(1)每個小球都有4種方法，根據分步計數原理，共有46＝4096種不同放法．(2)分兩類：第1類，6個小球分3,1,1,1放入盒中；第2類，6個小球分2,2,1,1放入盒中，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,4)＝1560(種)不同放法．(3)法一按3,1,1,1放入有Ceq\o\al(1,4)種方法，按2,2,1,1，放入有Ceq\o\al(2,4)種方法，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10(種)不同放法．法二(擋板法)在6個球之間的5個空中插入三個擋板，將6個球分成四份，共有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)不同放法．能力提升]1．身高各不相同的7名同學排成一排照相，要求正中間的同學最高，左右兩邊分別順次一個比一個低，這樣的排法有________種．【解析】最高的同學只能站在中間，它別無選擇；從剩下的6名同學中任選3名，有Ceq\o\al(3,6)種不同的方法，他們由高到低的排列次序唯一；剩下的3名同學由高到低的排列次序也唯一．∴不同的排法共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝20(種)．【答案】202．(2023·泰州高二檢測)若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為奇數，則不同的取法共有________種.【導學號：29440017】【解析】1,2,3，…，9中奇數有1,3,5,7,9，偶數有2,4,6,8.若取出的4個不同數的和為奇數，則有以下幾種可能．(1)取出3個偶數和1個奇數，共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＝20(種)．(2)取出3個奇數和1個偶數，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)＝40(種)．故共有20＋40＝60種不同的取法．【答案】603．設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”【解析】由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考慮x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，設集合M＝{0}，N＝{－1，1}．當x1，x2，x3，x4，x5中有2個取值為0時，另外3個從N中取，共有Ceq\o\al(2,5)×23種方法；當x1，x2，x3，x4，x5中有3個取值為0時，另外2個從N中取，共有Ceq\o\al(3,5)×22種方法；當x1，x2，x3，x4，x5中有4個取值為0時，另外1個從N中取，共有Ceq\o\al(4,5)×2種方法．故總共有Ceq\o\al(2,5)×23＋Ceq\o\al(3,5)×22＋Ceq\o\al(4,5)×2＝130種方法，即滿足題意的元素個數為130.【答案】130個4．將1,2,3，…，9這9個數字填在如圖1-3-1所示的九個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下依次增大．當3,4固定在圖中位置時，所填寫空格的方法共有多少種？34圖1-3-1【解】由