高中數學人教A版1相似三角形的判定及有關性質 學業(yè)分層測評

學業(yè)分層測評(一)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．如圖1-1-13，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一點O，且AO＝OB，則下列結論中錯誤的是()圖1-1-13A．AC＝BD B．AE＝EDC．OC＝OD D．OD＝OB【解析】由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD，由△AOC≌△BOD知AC＝BD，但OD與OB不能確定其大小關系．故選D.【答案】D2．如圖1-1-14，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB，DE∥BC，則DE等于()【導學號：07370003】圖1-1-14A．BC－ACB．AC－BF\f(1,2)(AB－AC)\f(1,2)(BC－AC)【解析】由已知得CE是線段AF的垂直平分線．∴AC＝FC，AE＝EF.∵DE∥BC，∴DE是△ABF的中位線，∴DE＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(1,2)(BC－AC)．【答案】D3．如圖1-1-15所示，過梯形ABCD的腰AD的中點E的直線EF平行于底邊，交BC于F，若AE的長是BF的長的eq\f(2,3)，則FC是ED的()圖1-1-15\f(2,3)倍 \f(3,2)倍C．1倍 \f(1,2)倍【解析】∵AB∥EF∥DC，且AE＝DE，∴BF＝FC.又∵AE＝eq\f(2,3)BF，∴FC＝eq\f(3,2)ED.【答案】B4．如圖1-1-16，在梯形ABCD中，E為AD的中點，EF∥AB，EF＝30cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10cm，則AB＝()圖1-1-16A．30cm B．40cmC．50cm D．60cm【解析】由平行線等分線段定理及推論知，點G，F分別是線段AC，BC的中點，則EG＝eq\f(1,2)DC，FG＝eq\f(1,2)AB，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＋DC＝60，,\f(1,2)AB－\f(1,2)DC＝10，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＋DC＝60，,AB－DC＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝40，,DC＝20.))【答案】B5.如圖1-1-17，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC中點，且AE∥DC，AE交BD于點F，過點F的直線交AD的延長線于點M，交CB的延長線于點N，則FM與FN的關系為()圖1-1-17A．FM>FN B．FM<FNC．FM＝FN D．不能確定【解析】∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形.∴AD＝EC＝eq\f(1,2)BC，即BE＝EC＝AD.∴△ADF≌△EBF，∴AF＝FE，∴△AFM≌△EFN，∴FM＝FN.【答案】C二、填空題6．如圖1-1-18所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F分別為對角線BD，AC的中點，則EF＝____.圖1-1-18【解析】如圖所示，過E作GE∥BC交BA于G.∵E是DB的中點，∴G是AB的中點，又F是AC的中點，∴GF∥BC，∴G，E，F三點共線，∴GE＝eq\f(1,2)AD＝1，GF＝eq\f(1,2)BC＝3，∴EF＝GF－GE＝3－1＝2.【答案】27．如圖1-1-19，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶1，E為BD的中點，AE延長線交BC于F，則BF與FC的比值為__________．【導學號：07370004】圖1-1-19【解析】過D作DG平行于BC，交AF于點G，再根據平行線等分線段定理即可解決．【答案】eq\f(1,2)8．如圖1-1-20，在△ABC中，E是AB的中點，EF∥BD，EG∥AC，CD＝eq\f(1,2)AD，若EG＝5cm，則AC＝________；若BD＝20cm，則EF＝________.圖1-1-20【解析】∵E為AB的中點，EF∥BD，∴F為AD的中點．∵E為AB的中點，EG∥AC，∴G為BD的中點，若EG＝5cm，則AD＝10cm，又CD＝eq\f(1,2)AD＝5cm，∴AC＝15cm.若BD＝20cm，則EF＝eq\f(1,2)BD＝10cm.【答案】15cm10cm三、解答題9．(2023·南京模擬)如圖1-1-21，在梯形ABCD中，CD⊥BC，AD∥BC，E為腰CD的中點，且AD＝2cm，BC＝8cm，AB＝10cm，求BE的長度．圖1-1-21【解】過E點作直線EF平行于BC，交AB于F，作BG⊥EF于G(如圖)，因為E為腰CD的中點，所以F為AB的中點，所以BF＝eq\f(1,2)AB＝5cm，又EF＝eq\f(AD＋BC,2)＝eq\f(2＋8,2)＝5(cm)，GF＝BC－FE＝8cm－5cm＝3cm，所以GB＝eq\r(BF2－GF2)＝eq\r(25－9)＝4cm，EC＝GB＝4cm，所以BE＝eq\r(BC2＋CE2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)(cm)．10．用一張矩形紙，你能折出一個等邊三角形嗎？如圖1-1-22(1)，先把矩形紙ABCD對折，設折痕為MN；再把B點疊在折痕線上，得到Rt△ABE，沿著EB線折疊，就能得到等邊△EAF，如圖(2)．想一想，為什么？圖1-1-22【解】利用平行線等分線段定理的推論2，∵N是梯形ADCE的腰CD的中點，NP∥AD，∴P為EA的中點．∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，∴∠1＝∠3.又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.又∵∠1與和它重合的角相等，∴∠1＝∠2＝30°.在Rt△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°，∴△AEF是等邊三角形．[能力提升]1．如圖1-1-23，AD是△ABC的高，E為AB的中點，EF⊥BC于F，如果DC＝eq\f(1,3)BD，那么FC是BF的()圖1-1-23\f(5,3)倍 \f(4,3)倍\f(3,2)倍 \f(2,3)倍【解析】∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.又E為AB的中點，由推論1知F為BD的中點，即BF＝FD.又∵DC＝eq\f(1,3)BD，∴DC＝eq\f(2,3)BF.∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝eq\f(5,3)BF.【答案】A2．梯形的一腰長10cm，該腰和底邊所形成的角為30°，中位線長為12cm，則此梯形的面積為()A．30cm2 B．40cm2C．50cm2 D．60cm2【解析】如圖，過A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin30°＝5cm.又已知梯形的中位線長為12cm，∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．∴梯形的面積S＝eq\f(1,2)(AD＋BC)·AE＝eq\f(1,2)×5×24＝60(cm2)．【答案】D3．如圖1-1-24，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中點，CM交AB于P，DN∥CP，若AB＝9cm，則AP＝__________；若PM＝1cm，則PC＝__________.【導學號：07370005】圖1-1-24【解析】由AB＝AC和AD⊥BC，結合等腰三角形的性質，得D是BC的中點．再由DN∥CP，可得N是BP的中點．同理可得P是AN的中點，由此可得答案．【答案】3cm4cm4．如圖1-1-25所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝eq\f(1,2)BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于點M，求BM與CG的長．圖1-1-25【解】如圖，取BC的中點P，作PQ∥DH交EH于點Q，則PQ是梯形ADHE的中位線．∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝eq\f(1,2)BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴eq\f(AB